対数 指数 数Ⅱ 数Ⅲ

【指数/対数まとめ】もう迷わない!中学数学の指数から、対数微分まで徹底解説

こんなあなたに読んでほしい!

「指数・対数計算が苦手。どうにか得点源にしたい。」  

「指数は大丈夫だけど、対数の意味がいまいちよくわからない。」

この記事では、僕が文系のときに犯していたミスをもとに『意味がわかる/使い方もわかる指数・対数』について書いています。
文系の時に犯していたミス?何それ、ちょっと怖いなぁ。
小春

 

指数、対数は膨大な計算を、なるべく簡略的に行えるように編み出された便利なツール。

それなのに、高校数学では暗記単元となってしまっており、理解するのにかなり遠回りをしていように思います。

 

今回は理転する時に、最短で『指数・対数』を身につけたカリキュラムに沿って、最も効率的かつ効果的な勉強法をご紹介します。

しっかりと理解が深まるように、5つのステップで構成しています。

  •  
    STEP1
    指数法則
    指数・対数の考え方の根源になっている部分。ここさえできれば難しくない!
  •  
    STEP2
    指数関数
    指数法則を理解した上で指数関数に触れると、『あるギャップ』に気づけます。実はここが、理解への近道。
  •  
    STEP3
    対数
    対数の定義を、指数法則と比較してじっくり観察します。対数を簡単に考えるコツも、ここで習得できます。
  •  
    STEP4
    対数の使い方
    対数をより実践的なレベルで使えるような考え方を習得します。
  •  
    STEP5
    対数関数
    対数関数の定義と考え方、重要な性質を網羅します。これまでの総復習のような単元です。

 

STEP1:指数法則を完璧にする

指数法則を完璧にする

 

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    STEP1
    指数法則
    指数・対数の考え方の根源になっている部分。ここさえできれば難しくない!
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    STEP2
    指数関数
    指数法則を理解した上で指数関数に触れると、『あるギャップ』に気づけます。実はここが、理解への近道。
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    STEP3
    対数
    対数の定義を、指数法則と比較してじっくり観察します。対数を簡単に考えるコツも、ここで習得できます。
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    STEP4
    対数の使い方
    対数をより実践的なレベルで使えるような考え方を習得します。
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    STEP5
    対数関数
    対数関数の定義と考え方、重要な性質を網羅します。これまでの総復習のような単元です。

 

この記事のまとめを最初に述べると、全ては指数法則をもとに考えると簡単に理解できます

まずはその指数法則を、十分に理解しておきましょう。

 

指数は中学校で初登場しますが、その指数は自然数だけで定義されています。

高校数学はその指数を自然数だけでなく、実数にまで拡大するところから始めます。

実数にまで拡大することで、指数関数\(y=a^x\)を\(xy\)平面で考えることができます。

 

指数を実数にまで拡大する、その中で登場する数々の妥協を理解しておくと指数関数への理解が深まります。

まずは全てのルーツとなっている、指数法則を完璧に理解してください!!!

 

この記事では指数法則と、重要な着眼点についてまとめています。

整数の指数法則
【整数の指数法則】なぜ0乗が1なのか、息をするようにわかる指数法則

続きを見る

 

まじで、マジで!マジでお願い。指数法則が超大事なの!!
ね、熱意がすごい・・・・
小春

 

指数関数\(y=a^x\)の特性|指数法則とのギャップ

指数関数の考え方

 

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    STEP1
    指数法則
    指数・対数の考え方の根源になっている部分。ここさえできれば難しくない!
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    STEP2
    指数関数
    指数法則を理解した上で指数関数に触れると、『あるギャップ』に気づけます。実はここが、理解への近道。
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    STEP3
    対数
    対数の定義を、指数法則と比較してじっくり観察します。対数を簡単に考えるコツも、ここで習得できます。
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    STEP4
    対数の使い方
    対数をより実践的なレベルで使えるような考え方を習得します。
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    STEP5
    対数関数
    対数関数の定義と考え方、重要な性質を網羅します。これまでの総復習のような単元です。

 

指数法則を理解した上で、指数関数\(y=a^x\)を定義する、先人の気持ちを考えてみましょう。

座標上にグラフを描くということは、その区間グラフは常に連続であった方が扱いやすいはず。

ところどころ途切れている関数って、嫌じゃない?場合分け必要だし・・・。

 

そのためには、指数関数を都合よく定義してあげる必要がありました。

ここで、指数法則と指数関数にちょっとしたギャップが生まれます。

 

例えば、指数関数\(y=a^x\)では、\(a\)の値が負のときを定義していません

別に\(a\)の値が負でも指数法則は成り立ちますが、指数関数的には都合が悪いというわけです。

この数学の事情というのは、今後もよくあることなのでぜひ理解してあげてください笑

 

この記事では指数関数の定義と、忘れちゃいけないポイントをまとめています。

指数関数
【指数関数の定義】なぜ底が負のときは定義しないのか→ダルいから

続きを見る

 

対数は指数法則から考えよう

対数の定義と考え方

 

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    STEP1
    指数法則
    指数・対数の考え方の根源になっている部分。ここさえできれば難しくない!
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    STEP2
    指数関数
    指数法則を理解した上で指数関数に触れると、『あるギャップ』に気づけます。実はここが、理解への近道。
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    STEP3
    対数
    対数の定義を、指数法則と比較してじっくり観察します。対数を簡単に考えるコツも、ここで習得できます。
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    STEP4
    対数の使い方
    対数をより実践的なレベルで使えるような考え方を習得します。
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    STEP5
    対数関数
    対数関数の定義と考え方、重要な性質を網羅します。これまでの総復習のような単元です。

 

指数をある程度理解できたら、対数について考えます。

この『ある程度』というのは、指数法則を理解していれば十分というレベルです。

 

対数は指数法則の指数に着目したツールで、

$$2^3=8 \iff \log_2 8 =3 $$

を覚えておくと、指数を意識しやすくなります。

 

つまり、

ポイント

\(\log_2 8\)は「8は2を何乗した数ですか?」と訳せばいい

英単語のように覚えましょう。

すると、対数の演算法則の意味が簡単に理解できるようになります。

 

この記事では対数の定義と、簡単な覚え方についてまとめています。

log(ログ)って何?常用対数、自然対数とは?対数を徹底解説!!

続きを見る

 

対数の使い方|桁数、小数点の位置を求める

対数の使い方と着眼点

 

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    STEP1
    指数法則
    指数・対数の考え方の根源になっている部分。ここさえできれば難しくない!
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    STEP2
    指数関数
    指数法則を理解した上で指数関数に触れると、『あるギャップ』に気づけます。実はここが、理解への近道。
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    STEP3
    対数
    対数の定義を、指数法則と比較してじっくり観察します。対数を簡単に考えるコツも、ここで習得できます。
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    STEP4
    対数の使い方
    対数をより実践的なレベルで使えるような考え方を習得します。
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    STEP5
    対数関数
    対数関数の定義と考え方、重要な性質を網羅します。これまでの総復習のような単元です。

 

対数は、指数法則の指数に着目したツールです。

そのため、指数を求める作業や、指数を考えやすくする作業に用いられることが多いです。

 

小春
でも、指数を求める作業ってなに?
例えば、桁数を求められるね。

 

対数を使えば10の指数なんて、簡単に求められます。

文系の方や、特に経済の分野に進みたい方には、この桁数を求めるというスキルは大変重要なもの。

でもそこまで難しくないので、気合を入れずにマスターしちゃってくださいな。

 

この記事では常用対数の定義や、問題での応用の仕方をまとめています。

【感覚で理解できる!】常用対数とは?意味と使い方を徹底解説!!

続きを見る

『第何位に0位外の数が現れるか』解法パターン→とりあえず常用対数と『10と小数点』を把握しておけばOK

続きを見る

 

対数関数\(y=\log_a x\)の特性|指数関数との関係

対数関数の性質

 

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    STEP1
    指数法則
    指数・対数の考え方の根源になっている部分。ここさえできれば難しくない!
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    STEP2
    指数関数
    指数法則を理解した上で指数関数に触れると、『あるギャップ』に気づけます。実はここが、理解への近道。
  •  
    STEP3
    対数
    対数の定義を、指数法則と比較してじっくり観察します。対数を簡単に考えるコツも、ここで習得できます。
  •  
    STEP4
    対数の使い方
    対数をより実践的なレベルで使えるような考え方を習得します。
  •  
    STEP5
    対数関数
    対数関数の定義と考え方、重要な性質を網羅します。これまでの総復習のような単元です。

 

指数関数と、対数関数には以下のような関係が成り立ちます。

$$\log_a x = y \iff a^y =x$$
小春
指数関数\(y=a^x\)と見比べると、\(x,y\)の値が入れ替わってるね

 

これはまさに、逆関数ですよ〜といっている重要な証拠になります。

逆関数とは?グラフから考える『入れ替える』意味とその性質

続きを見る

 

これにより、対数関数は感覚として、指数関数とは逆のようなイメージが得られます。

例えば指数関数は値がボーーンッと爆発しやすいのに対して、対数関数は全然値が増えないからね笑

 

グラフをイメージできる力はとても大切。

対数関数の性質を視覚的に捉えられると、数Ⅲの微分などでも理解がしやすくなりますよ!

 

 

この記事では対数関数の定義と意味、性質についてまとめています。

対数関数 攻略の6ポイント→値の増え方と指数関数に着目

続きを見る

 

数Ⅲ【理系 必須】対数のより発展的な使い方

対数は基本的に桁数を求めるためのツールとして利用することができます。

経済分野で使われると言った通り、お金の分野と相性がいいです。

 

お金問題といえば、借金問題がすぐに思い浮かぶと思います(?)が、その借金の概念からネイピア数\(e\)という数を捉えることができます

理系の方であれば必死にネイピア数の定義を暗記するのですが、借金問題で捉えると簡単に自分で導出できます。

 

下の記事では、欲にまみれた借金取りを例に、ネイピア数の定義をわかりやすく理解できるように仕上げました。

 

この記事ではネイピア数の定義と考え方についてまとめています。

自然対数、ネイピア数とは?なぜあの定義なのか、何が自然なのか。お金の話で超簡単に理解できる!!

続きを見る

 

また、桁数を求めるときにも使われる対数ですが、指数を考えやすくできるというメリットから複雑な関数を捉えやすくしてくれることもあります。

その代表例として、

$$y=x^x$$

という不気味な関数が登場します。

 

このグラフを描くために微分を試みるのですが、指数\(x\)が邪魔でなかなか微分できません。

そこで対数微分法という指数を下に降ろして微分する方法を導入します。

そうすることで、微分ができるようになり、グラフをしっかり描くことができるようになるのよ。

$$y=x^x$$

 

 

この記事では対数微分法のやり方や使う場面、コツをまとめています。

【対数関数の微分公式】証明と式変形のコツ→ネイピア数の定義に帰着

続きを見る

 

まとめ

指数対数を理解してくると、結局全ては指数法則じゃんと思えます。

そして対数の使い方も理解できれば、もう怖いものなんてありません。

基本的に対数は、値の大きい数の桁数を落として考えたりするために使うよ。

 

まぁ、そんなに難しい話はなくて、

指数はわかるけど、対数の意味が・・・

って人は指数法則を十分理解せずになんとなく雰囲気でやってきたってだけです。

 

ですが、繰り返しますが結局は指数法則が全てです。

焦らず着実にステップアップしよう!

\今回の記事はいかがでしたか?/

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