Today's Topic

楓

さて、今回から命題に入るよ！数学の中で最も理解しておくべき内容だよ。

そうなの？！

小春

楓

正直、この命題がわからないと証明問題はほぼ解けなくなる。今回は命題の考え方と、その回答のアプローチを教えるね。

ということは、全ての証明問題に通ずるのか。。（ゴクリ）

小春

この記事を読むと、この問題が解ける！

• 実数\(a, \ b\)において\(a>0, \ b>0\)ならば\(\frac{a+b}{2} ≧ \sqrt{ab}\)
• 実数\(a, \ b\)において\(a>b>0\)ならば\(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)

楓

答えは一番最後に扱うよ！

数学における命題とは

「命題」とは、数学に限らず世間一般でも使われることのある言葉です。

意味にそれほど違いはありませんが、しっかり定義しようとすれば次のようになります。

例えば

は人や比較対象によって真偽が変わりますね。なので命題にはなり得ません。

楓

例えば1クラスの人数100人は多いけど、地球の人口に対して100人は小さいよね。

真偽が人によって変わる曖昧な文章は命題じゃないってことね

小春

では次の文章はどうでしょうか？

小春

なるほど、これは誰が見ても1番目は真、2番目は偽ってなりそうだね。

これは比較対象の\(x\)や7によって、文章に人の曖昧さが介入できないような制限がついたってことね。

楓

このように命題では、比較対象の\(x\)や7みたいな、大小関係や文字式などの条件が含まれることが多いです。

小春

そうすることで、なるべく曖昧さが含まれないようにしているんだね！

なのでまずは条件を捉えるところが大事。

楓

仮定と結論

数学では命題を記号で略記することが多いです。

具体例を見ていきましょう。

とします。

このとき、命題「\(x > 3\)ならば、\(x>1\)」は

と書くことができます。

またこの条件\(A\)のように\(\Rightarrow\)より前にある部分を仮定、条件\(B\)のように\(\Rightarrow\)より後ろにある部分を結論と言います。

数学における命題は必ずこの形で書くことができ、仮定が前提条件、結論が示すべきことがらとなっています。

例えば先程の具体例

を命題に直すと、

のようになります。

命題が真か偽かは命題の定義には含まれていないので、1、2のどちらも、真偽に関係なく命題となります。

楓

ただし、1を真の命題、2を偽の命題のように区別はするよ。

【重要】仮定の考え方

命題を理解するためのポイントは仮定にあります。

突然ですが、命題が真であると認められるときはどういうときでしょうか？

小春

えっ、、、命題が正しいときじゃないの・・・？

なるほど、じゃあ正しいってなんなの？？

楓

小春

ふぇええええ。。。

答えられましたか？

数学がわからなくなる要因の1つに、何を示せば命題が真として認められるのか把握していないことが起因していることが多いです。

それでは答えを発表します。

具体例を通して見ていきましょう。

1では、仮定が\(99 > x > 1\)となっています。

このとき仮定を満たすすべての要素とは、\(99> x > 1\)を満たすすべての数になります。

そのため

のすべての数において、\(100 > x\)が認められればこの命題は真となるというわけです。

小春

どれも100よりも小さから、この命題は真となるんだね。

2では、仮定が\(x=7\)となっています。

これを満たすすべての要素、といっても7しかありませんね。

よって\(x=7\)が\(x  >11\)を満たしていればこの命題は真となるわけです。

小春

これは満たしてないから偽だね！

数の集合を用いた前提条件

早速ですが、この命題は真でしょうか？

正解は命題になっていない、が答えです。

小春

ひ、引っかけだ〜〜〜〜。性格わるいわ〜

数学における数には自然数や整数、実数などの数の世界がありましたね。

参考【数の集合】自然数とは？整数とは？感覚だけでわかる数の集合

上の命題では、仮定における\(x\)がどの数の集合かが決められていません。

そのため、仮定が次のように数の集合によって変化してしまいます。

これはつまり、\(x\)を自然数として認識した人と整数として認識した人で結論が分かれることを意味します。

小春

自然数の場合であれば結論\(0<x\)を満たすので真となるけど、整数の場合は普通に\(x=-3\)のときとかアウトだね。。。

よって、上記を正しく命題として表記するのであれば

のように注釈を付け加える必要があり、略記で表すと

のように書く必要がありますね。

以上のことから、命題として成立させる上で

数の集合が重要な前提条件となる

ことがお分かりいただると思います。

反例

大事なことなので、もう一度掲載しておきましょう。

小春

そういえば、すべての数が満たしているって示すの結構大変じゃない？

ほぅ、例えば・・・？

楓

小春

そうだな〜、、、例えば仮定が「\(x\)は整数ならば・・・」とかなってたら、整数全てを列挙しなきゃいけないわけでしょ。。。

いいところに気がついたね！

楓

これはその通りで、仮定を満たすすべての要素を列挙して結論が成り立っていることを証明するのは難しい場合があります。

そこで考え方を変えて、偽であることを示すためにはどうすれば良いでしょうか？

答えは、

そしてこの「仮定で述べられる条件を満たした要素の中で、結論を満たしていない要素」のことを反例と言います。

楓

つまり反例を1つでも示せたら、命題を偽として扱うことができるんだっ！

そっか、、、！1つでも反例が上がれば、「仮定を満たすすべての要素が結論を満たす」真の場合に反するのね。。。

小春

楓

そゆこと。すべての要素が結論を満たしていると証明するより、こっちは1つだけ示せばOKだからちょっと楽でしょ？

反例を1つ示せば、その命題は偽となる

後ほど、練習問題でこの反例を実際に使ってみることにしましょう。

集合とのリンク

命題は、これまで扱っていた集合として捉えることもできます。

次の命題を考えて見ましょう。

実数全体の集合を全体集合\(U\)としたとき、仮定\(p\)を満たす数の集合\(P\)と、結論\(q\)を満たす数の集合\(Q\)とします。

命題が真の場合の集合関係

命題\(p \Rightarrow q\)が真の場合とは、仮定を満たすすべての要素が結論を満たすことでした。

これを集合で捉えると、

となります。

小春

ん、、、？これどっかで見た気がする。。。

そしてこれは「集合\(P\)が集合\Q\)の部分集合である」の定義とそのまんま一致しています。

参考【集合の包括関係・部分集合】部分集合の捉え方と等しい集合の条件を解説

つまり、

命題が偽である場合の集合関係

では命題が偽の場合はどうでしょうか？

真の場合とは反対に、

特に最初の集合関係にあるとき、\(x\in P かつx \notin P\cap Q\)に含まれる要素たちが反例と言われるわけです。

小春

つまり「反例を1つでも示せれば命題を偽と扱える」のは、反例が上がった時点で\(P\)が\(Q\)の部分集合でないことが確定するからなんだね。

【命題の捉え方】真or偽を示す極意

命題は、数学における問題文と言っても過言ではありません。

命題を理解できなければ、数学の問題を理解していないことになるので、証明をはじめとして様々な問題が難解となります。

そんな基礎的な命題ですが、コツを掴めば特に気負う必要もなく、また証明問題では何を論点として証明を展開すればいいかが鮮明になります。

ここからは命題の真偽を証明するための考え方を見ていきましょう。

やることは次の3ステップです。

•  
  STEP1
  命題の仮定と結論を把握し、略記に直す
  日本語で表された文章を、数学の命題として考えやすいように略記に直してみます。
•  
  STEP2
  仮定の要素を考えてみて、全ての要素を列挙できるか考える
  仮定を満たす要素を、もれなくダブりなく列挙できるか考えてみましょう。
•  
  STEP3
  仮定の条件から式変形して、結論の式に持っていけないか考えてみましょう。
  仮定を満たす全ての要素が列挙できない場合、条件式を式変形することで結論の式と一致することが示せないか考えましょう。
•  
  STEP4
  全ての要素について証明できないなら、反例を考える
  上記までで仮定が結論を満たしていると証明できない場合、反例をあげられないか考えてみましょう。

命題　練習問題

それでは例題を通して、上記4ステップを身につけてみましょう。

問題1

step
1略記に直す

「〜を満たせば」の部分が仮定、「〜である」の部分が結論

step
2仮定を満たす全ての要素を列挙できるか

今回の場合、列挙していると実数全てを列挙しないといけなくなります。

そんなこと不可能ですね。。。

そこで仮定の式を、結論に向けて式変形できるか試みます。

小春

式変形で結論の式と一致すればいいの、、、？なんで？？

step
3仮定の式を変形して、結論の式と一致させられるか

先に説明しておくと、仮定の条件だけで行う式変形は、仮定の式と同じ要素を指し示します。

楓

例えば\(x = a+b\)を満たす全ての要素\(x\)は、\(2x = 2(a+b)\)を満たす要素\(x\)と一致するよね？

つまり

ということです。

今回の場合、

を満たす実数\(a, b, c\)は、両辺に\(-b\)を足した

も満たします。

そしてこれはまさしく、結論の式

になりますねっ！

step
4反例を考える

今回はすでに証明できたので、このステップはいりません。

問題2

step
1略記に直す

step
2仮定を満たす全ての要素を列挙できるか

全ての実数と整数の組み合わせを列挙するのは不可能です。

次のステップにいきましょう。

step
3仮定の式を変形して、結論の式と一致させられるか

今回の場合、仮定の条件が少ないのでかなり難しい戦いになります。

楓

仮定の条件が少ないほど、命題の真偽判定は難しくなるよ。

つまり文が短い命題ほど難しくなるってことね。。。

小春

\(a>b\)の式変形としては、\(a-b>0\)や\(-a-b<-2b\)などがありますが、結論の\(a^n > b^n\)に持っていくのは、厳しいです。

そこで見方を変えて、反例があげられないか考えましょう。

step
4反例を考える

実数\(a,\ b\)と正の整数\(n\)の組み合わせで、仮定は満たしつつ、結論を満たしていないものを探していきましょう。

もう一度言いますが、反例は1つ示せればその命題が偽であることを示していることになります。

例えば\(a=1, b=-3, n=2\)のときを考えてみましょう。

このとき\(a > b\)はしっかり満たしていますね。

ところが、結論の式に当てはめてみると、\(1^2 > (-3)^2\)となり、これは\(1>9\)となるため正しくありません。

つまり仮定を満たす条件\(a=1, b=-3, n=2\)は、結論が成立しない反例となるわけです。

日常生活での命題

ちょっとだけ脱線した内容を書きますね。

疲れた方は読み飛ばしてください。

この命題の理解は、論理的に人の話を理解する力を圧倒的に高めてくれます。

つまり日常生活で最も役立つ数学の分野と言っても過言ではありません。

社会を見渡してみると、多くの人が騙されている胡散臭い広告なんかがたくさんあります。

「あなたは私の親友よ。だから私はあなたを裏切るはずないわ！（だからこの書類に印鑑を・・・）」

「この仕事は社会に何も貢献できてない。つまりこの仕事をしている人は無意味な人だ。」

「私は人が好きです。だからこのビジネスを始めてあなたがお金持ちになることで、私も幸せです。」

などなど。。。

これらを命題にしてみるとどうでしょう。

反例を挙げること、できませんか？？

小春

1つ目は親友に裏切られた人はいっぱいいるから、それが反例になるね。。。

楓

2つ目はその仕事が誰に影響して、どんな作用が及んでいるかが説明されていないので結論を鵜呑みにできないよね。

では3つ目はどうでしょう。。。

「あなたと私の幸せは違うでしょう？例えば私が殺しに快感を覚える殺人鬼であなたの前で人を殺してもあなたは幸せなの・・・？」

小春

えっ、、、こわっ、、、！

一般的に命題は、仮定の範囲が大きくなるほど反例が出やすくなります。

例えば

「女性たちは皆、身長の高い男性と結婚したい」

という命題は、世界中探せば身長の低い人と付き合っている方（反例）はたくさんいますね。

しかし範囲を限定した

「私の友達の女性たちは皆、身長の高い男性と結婚したい」

であれば、その人の友達全員を調査すれば真であると示せます。

何が言いたいかというと、論理的に説明しているように見えて実は

などのポンコツ理論が押し付けられることはよくあります。

なので人の話は信じる前に、よく聞いて反例がないかを考えてみてください。

まとめ

楓

それじゃあまとめよう！

命題は数学の根幹であり、問題文とも言える部分。

どんなにあなたが正しいと思っても、反例が示せたり、仮定から導けないのであれば、その結論は間違っていることになります。

楓

これは日常生活でも同じ。変な人に騙されないようにしようね。。。

以上、「命題について」でした。

チェック問題

step
1略記に直す

step
2仮定を満たす全ての要素を列挙できるか

仮定の\(a, b\)は実数を表しているので、全数を列挙して示すのは無理。

step
3仮定の式を変形して、結論の式と一致させられるか

\(a>0,\  b>0\)のとき、\(a+b -2\sqrt{ab}\)について考えることができる。

小春

ルートの中身は必ず正じゃないといけなかったから、\(a>0,\  b>0\)のときだけ\(\sqrt{ab}\)が考えられるんだね。

実数において、2乗されたものは必ず正となるので

よって

となり両辺に\(\frac{1}{2}\)をかけると

となり結論と一致する。

step
4反例を考える

このフェーズはいりません。

step
1略記に直す

step
2仮定を満たす全ての要素を列挙できるか

仮定の\(a, b\)は実数を表しているので、全数を列挙して示すのは無理。

step
3仮定の式を変形して、結論の式と一致させられるか

ここで仮定の条件より、

より、\(\frac{b-a}{ab} < 0\)となる。

よって、\(\frac{1}{a} – \frac{1}{b} < 0\)より、

step
4反例を考える

このフェーズはいりません。

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ラスカル

いつもご覧いただき、ありがとうございますっ！

僕は高校生の頃文系で、勉強も高校3年生までせず、高校3年生の頃にがむしゃらにとりあえず勉強していました。

もちろん効率は悪いですし、結局暗記に頼ってしまい、1浪することになりました。。。

もし高校生に戻れたら、高1の頃からちゃんと勉強するのに。。。

とは絶対に思いません！

ラスカル

高1に戻っても多分また遊んでる笑

あの時勉強しなかったのも、周りからのアドバイスをガン無視して自己流で突っ走ったのも自分の選択。

もし過去に戻っても同じ選択をすると思います。

ただ、もしも、もしも戻れるのであれば

これを使っていれば、もう少し早く軌道修正できたかもな

と切実に思うサービスを今回ご紹介します。

ラスカル

自分のことをまだ若いとは思うけど、こんないいサービスがあふれる時代に高校生してたかったなぁ

オンライン家庭教師

よく塾と家庭教師を比較する記事などがありますが、どちらも一長一短なのでどっちがいいとは断言できません。

だたし塾は一斉授業が基本のため、先生から生徒へ一方通行的なやり方になりがちです。

質問がしにくいのはもちろんなんですが、

のように自分のタイミングや、考えをまとめる時間も逃しがちなのは否めません。

その点家庭教師の場合、自分のペースを保ちつつ、適切なアドバイスをくれる先生が近くで待っていてくれるので、

を聞くことができ、理想の学力へと向上しやすくなります。

パーソナルジムや、専属コーチなど、パーソナルなサービスは一般的に高額です。

rwhat

パーソナルジムは月20万、ただのジムは月1万円とかだよ。。。

そんなパーソナルなサービスでも家庭教師だけは例外です。

塾と比較しても安いことが多く、また専用教材を買わされる心配もないので、やめやすいのもメリットですね。

そんな中で、コロナの影響を受けてオンライン家庭教師サービスが続々と登場しています。

PCやタブレット、スマホ1つあれば自分でわざわざ調べなくても、先生に聞くことができます。

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一般的な塾や家庭教師は、授業料だけでなく入会金や管理費用、やばいところは退会費用がかかったりします。

しかし

マナリンクはそれらが一切なく、授業料のみで利用可能

です。

ラスカル

しかも授業料は、一般的な塾や家庭教師よりも抑えめで月18,000円前後で利用できるとこが最高

②先生を知れる、先生を選べる！

いくら凄腕だからといって、どんな人かもわからない先生との授業は集中しにくいもの。

しかしマナリンクは授業を受ける前に、先生の自己紹介動画をみることができます（YouTubeにアップされてます笑）。

しかも

先生を選ぶことができ、合わなくても簡単に先生を変えてもらうことができます。

rwhat

これで変なやつきたぁ、、、みたいなハズレクジが圧倒的に減らせるっ！

③めんどくさい手間がない

塾や家庭教師に申し込むと、最悪その教室まで足を運ぶ必要があるところもあります。

マナリンクは公式LINE、もしくは電話でヒヤリングして先生の紹介からスタート。

実際に先生を選んで受講開始すると、あとは専用アプリで先生とやりとりできます。

ラスカル

めんどくさくないし、LINEアカウント知られないから良き良き

電子書籍サービス

あなたは本を読む習慣がありますか？

僕は高校生の頃、教科書と参考書以外の本をまったく触りませんでした！

ラスカル

い、威張れないんだけどね。。。

ただ社会人になって、本を読む習慣はほんとに身につけておけばよかったなと思います。

数少ない後悔の1つに数えるくらいです。

もし高校生に戻れるなら、ちゃんと本を読む習慣をまず最初に身につけますね。

利用するならAmazonが提供しているKindleを使います。

ラスカル

扱っている書籍数が多く、返金対応なんかもしっかりしてるからね。

本を読む習慣ならKindle

小春

あの〜、私本まったく読まないんだけど、どうして読んだ方がいいんですかね。。。

そうだよね、僕も高校の頃、本を読むメリットがわからなかったよ。じゃあ詳しく説明していくね。

ラスカル

【本は他人の経験則】自分で痛い目を見なくても知識が得られる

社会人になって社会を見てみると、いろんな業種や世界があって、そのどれにも先人の知恵が積み重なってできています。

そこに急に飛び込んで1から自分の経験則だけで埋め合わせようとすると、とんでもない時間と失敗が必要になり、ときに無一文になったりします。

本は著者が自身の人生経験の中でどうしても伝えたいことを書き起こして出版しますので、多くの失敗談や学びが描かれているわけなんですね。

なので本を読むだけで、今自分の目指しているものや考えていることの良かった点、悪かった点が習得できます。

ラスカル

そう思えば本の代金って超絶安いんだよね。

あなたに読んでほしい一冊

イーロン・マスク　未来を創る男

￥1,495

TESLAやSpaceXのトップで、「次のスティーブ・ジョブズ」とまで言われているイーロン・マスク氏の本格評伝本です。

今でこそ総資産1500億ドルの大金持ちですが、そこに至るまでには多くの失敗と苦労があり、それが鮮明に描かれています。

レビューを見ていただければわかりますが、とにかく前向きになれます。

こんなに苦労している人もいるなら、自分はもっと頑張れる、もし自分が同じようなことをするときは絶対気をつけようなど、さまざまな気付きと学びをくれる一冊です。

ラスカル

朝読書の時間で読める薄さだから、本を読む練習にもオススメ！

【年収に直結】話の厚みが違う

本を読むだけではもちろん価値は少なくて、その本で学んだことで

などのアップグレードをすることで真価が得られます。

つまり、他人の経験を自分の経験則に落とし込むことが必要なのですが、これは一朝一夕でできることではありません。

小春

だから早いうちから本を読む（＝そして行動に落とし込む）習慣が必要なのね

ただこれができた暁には、ほかの人と比べて話の厚みが圧倒的に違います。

差ができればその分、収入という価値に換算できるので、自然と年収が上がるということですね。

こちらの記事にもありますが、年収と読書量は比例する傾向にあります。

そのため、読書は自分の知識や経験の幅を広げるだけでなく、年収も上がっていいことだらけなんです！！

ラスカル

というか現代の社会人、本読まなすぎ。今のうちから本読んどけば簡単に差がつけられるよ。

本を読むのが苦手な人は。。。

それでもやっぱり、本を読むのが苦手な人が明日から読書をしようと言っても辛いだけですよね。。。

そこで僕が本をよく習慣をつけるまでに行ったことをリストアップしてみますね。

漫画や小説から始める

僕は本を読むといって、最初から実用書などの硬い本を読んだわけではありません。

最初は漫画から始めて、次の活字の小説、といった具合にステップアップしていくような感じでした。

また漫画や小説は、本を読む練習だけでなく、感受性を身につけるにはとても有用だと思います。

ラスカル

実用書は知識は増えるけど感情は一切動かないんだよね。だから、いろんな感動を覚えるためには、小説なんかがかなり大事だと思う。

250,000冊以上の取り揃え！【DMMブックス】

YouTubeの要約動画や要作サイトをみる

次に始めたのが、要約動画や要約サイトです。

参考本要約チャンネル【毎日19時更新】

参考1CHIBON | 誰かの人生で1番良かった本が見つかるサイト

0から本を読み始めるのではなく、あらかじめ本の内容を頭に入れておくだけで本の中身がとても理解しやすくなります。

ラスカル

体感8割以上は本の中身を吸収できると思うよ。

新聞を読む習慣から始める

実用書などの本は知識を。

小説や漫画は感受性を。

読書は読むものによって得られるものが異なりますが、ぜひその中には新聞も取り入れてもらいたいなと思います。

新聞は今の世界がどう動いているのか、どんなビジネスや思想が世界を動かしているのか。

とにかく最新の情報に強くなれるのが特徴です。

自分の考えていること、した経験、得たことが今の世界と照らし合わせて、どう生かすことができるか。

それを考えることさえできれば、あなたは

を明確に捉えることができ、進路で迷うことはほぼなくなります。

一般の新聞よりも、中高生に合わせた

など、10代にとって必要な情報を24ページにぎゅっと凝縮した、読みやすい新聞になっています。

さらに、この読売新聞はAO・推薦入試で必要になる小論文や面接対策で用いられることが多いので、小論文対策も同時にできます。

ラスカル

数学などの教科に比べて、小論文は鍛える場面が少ないのでぜひ有効に活用してほしいな。

まとめ

今回は僕が高校生の時を振り返って、もし今高校生なら絶対に使いたいサービスをご紹介しました。

あのときはとにかく自己流でやることにこだわってとても効率が悪いことをしていたと後悔しています。

この社会にはいろんなプロフェッショナルがいます。

その人たちは今の自分よりも、その道で膨大な失敗と経験をしています。

その人たちの力を借りることで、ぜひ、より効率的で無駄のない勉強をしてほしいです。

ラスカル

無駄がなければその分、好きなことや興味あることに時間使えるしね。

そうだよね。。。頑張ったかどうかよりも、いかに楽して結果に繋げるかが大事だよね。

小春

以上、「学生に戻れるなら使いたいサービス」紹介でした。

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Today's Topic

楓

さて、集合論最終章へと突入！ド・モルガンの法則を扱うよ！

ふぇ〜、、、なんか教科書にマーカー引かされたなぁ。。。

小春

楓

ド・モルガンの法則は暗記しがちなんだけど、めんどくさい式を理解しやすくできる便利な法則なんだ

じゃあ今回は法則の中身だけじゃなくて、使う場面や便利な場面も教えて欲しいな！

小春

この記事を読むと、この問題が解ける！

$$U = \left\{ x| 1から12までの自然数 \right\}$$
$$A = \left\{ x| xは12の約数 \right\}$$
$$B = \left\{ x| xは8の約数 \right\}$$
であるとき、

• \(\overline{\overline{A} \cap B}\)を求めよ。
• \(\overline{\overline{A} \cap \overline{B}}\)の要素を全て列挙せよ。

楓

答えは例題と一番最後で扱うよ！

ド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則ですが、その内容は共通部分・和集合の補集合についてです。

楓

つまり2つの集合の共通部分、和集合に対して、そこに含まれない要素に着目した法則ってことね。

楓

上のー（バー）を分割して\(\cap\)と\(\cup\)を入れ替えることができるってことだね

なるほど〜、、、だけどこれ何に使うの・・・？

小春

証明は一旦後回しにして、このド・モルガンの法則が有効活用できる場面を見て行きましょう。

ド・モルガンの法則　例題

ド・モルガンの法則より、

となるので、

より、

とわかりました。

普通に考えてみるとどうなるでしょうか。

を満たす集合を考えればOKですね。

そこでまず、\(\overline{A} \cap B\)の要素を考えてみることにしましょう。

ということなので、

の共通部分をとって

となります。

\(\overline{\overline{A} \cap B}\)はこの補集合なので、

となりますね。

以上のことから、ド・モルガンの法則には次のことが言えそうです。

楓

特に最後の特徴が大事で、要素を列挙するような具体的な解答は他の問題に何も応用できない場合が多いんだ。

ド・モルガンの法則はどんな集合でも使うことができるから、一度コツを覚えるとなんでも使ってOKってことね。

小春

楓

そゆこと！これからどんどん抽象的になっていく集合に対して、具体的に数え上げていくという原始的なアプローチは結構死に近いよ笑

【直感的】ド・モルガンの法則の証明

ド・モルガンの法則はベン図を使って証明することができます。

ここでは\(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)を示します。

楓

もう片方の法則も同様に証明できるよ。

\(\overline{A}\)の部分を見てみましょう。

続いて、\(\overline{B}\)の部分を見てみよう。

楓

じゃあ\(\overline{A} \cup \overline{B}\)の部分はどこかな？

和集合を考えればいいわけだから、オレンジ線と青線の部分すべてだよね。

小春

小春

あっ、\(A \cap B\)部分以外全てを表してるっ！！！

その通り、つまり\(A \cap B\)の補集合は\(\overline{A} \cup \overline{B}\)と表すことができるんだね。

楓

以上より

が証明できました。

【論理的】ド・モルガンの法則の証明

ド・モルガンの法則は論理式で証明しようとすると、少しコツが必要です。

また高校数学では、あまり論理的に証明させることは多くないです。

しかし「2つの集合が等しい」ということを証明するための基本的な手順の練習にはなると思いますので、お暇があればぜひご覧ください。

\(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)の証明

まず\(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)を示してみます。

以前、

ということを学びました。

参考【集合の包括関係・部分集合】部分集合の捉え方と等しい集合の条件を解説

また、

ということを学びましたね。

参考【集合の包括関係・部分集合】部分集合の捉え方と等しい集合の条件を解説

この2つを使って、次のように証明していきます。

•  
  STEP1
  \(\overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}\)であることを示す
  \(x \in \overline{A \cup B}\)ならば、\(x \in \overline{A} \cap \overline{B}\)であることを示せればクリア
•  
  STEP2
  \(\overline{A \cup B} \supset \overline{A} \cap \overline{B}\)であることを示す
  \(x \in \overline{A} \cap \overline{B}\)ならば、\(x \in \overline{A \cup B}\)であることを示せればクリア
•  
  STEP3
  \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)を示す
  \(\overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}\)かつ\(\overline{A \cup B} \supset \overline{A} \cap \overline{B}\)であることに言及すればOK

STEP1 \(\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}\)であることを示す

このポイントを抑えておくと、ここで証明すべきは

であるとわかります。

証明

\(x \in \overline{A\cup B}\)ならば、補集合の性質より\(x \notin A\cup B\)

つまり\(x\)は\(A, \ B\)の共通部分には含まれない。

ゆえに\(x \in \overline{A} \)かつ\(x \in \overline{B}\)

\(x\)は\(\overline{A}\)にも\(\overline{B}\)含まれるということなので、

$$x \in \overline{A} \cap \overline{B}$$

したがって、\(\overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}\)が示された。

STEP2 \(\overline{A \cap B} \supset \overline{A} \cup \overline{B}\)であることを示す

\(x \in \overline{A} \cap \overline{B}\)とすると、\(x \in \overline{A}\)かつ\(x \in \overline{B}\)

つまり、\(x \notin A\)かつ\(x \notin B\)

これはすなわち\(A, \ B\)どちらにも含まれないことを表すので\(x \notin A \cup B\)。

よって、\(x \in \overline{A \cup B}\)

以上より、\(\overline{A} \cap \overline{B} \subset \overline{A \cup B}\)が示された。

STEP3 \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)を示す

上記STEP1、STEP2より、

となるので、

が示された。

\(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)の証明

もう一方の法則は、先程示した

から求めることができます。

適当な集合\(X,\ Y\)を考えても

が成り立ちますね。

両辺の補集合を考えると、

このとき、\(\overline{\overline{X \cup Y}} = X \cup Y\)なので、

ここで\(X = \overline{A},\ Y = \overline{B}\)とおくと、

まとめ

楓

それじゃあまとめよう！

集合論は、これから学んでいく数学の根幹となる重要な議論です。

その中でも複雑な集合関係を、別の視点から理解できるド・モルガンの法則の価値はとても高いもの。

法則自体は簡単なものですので、ぜひ有効活用してください。

以上、「ド・モルガンの法則について」でした。

チェック問題

切って、入れ替える。

ド・モルガンの法則より、

$$\overline{\overline{A} \cap \overline{B}} = A \cup B$$

よって、集合\(A\)と集合\(B\)の和集合を求めれば良いので、

から、

となる。

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Today's Topic

楓

これまで集合と要素の関係、集合と集合の包括関係について見てきたね。

今まで難しく感じてたけど、だんだん要点がわかってきたよ！

小春

楓

じゃあ今日は集合の中でも重要な3つの集合を見てみよう！

この記事を読むと、この問題が解ける！

全体集合\( U = \left\{ x | xは20以下の自然数 \right\} \)に対して2つの集合
$$A = \left\{ 2, 3, 6, 7 \right\}$$
$$B = \left\{ x | xは20以下の素数 \right\}$$
を考える。このとき、次の集合に含まれる要素を全て書き表せ。

1. \(A \cap B\)
2. \(A \cup B\)
3. \(\overline{A \cup B}\)

楓

答えは一番最後に扱うよ！

共通部分

1〜12のうち、2の倍数だけを集めた集合\(A\)と、3の倍数だけを集めた集合\(B\)を考えます。

このとき、集合\(A\)にも含まれ、かつ集合\(B\)にも含まれている要素がありますね？

小春

6と12のことかな？

このような\(x \in A\)かつ\(x \in B\)の要素だけ集めて作った集合を共通部分といいます。

楓

つまり集合\(\left\{ 6, 12 \right\}\)のことを共通部分というってこと！

集合\(A\)と\(B\)の共通部分は\(A \cap B\)と表され、\(\cap\)は蓋を閉じるようなイメージからキャップと読みます。

$$A \cap B = \left\{ x | x \in A かつ x \in B \right\}$$

和集合

先程と同じ2つの集合を考えてみましょう。

このとき、集合\(A\)か集合\(B\)、少なくともどちらか一方には含まれている要素を考えます。

小春

す、少なくとも・・・？

つまり最低レベルの条件として\(A\)か\(B\)に含まれているってことだね。

楓

小春

じゃあ、6や12みたいに\(A, B\)どっちにも含まれる要素もOKってこと？

その通り。\(A, B\)どちらかに含まれていればOKってことは、どちらにも含まれているものもOKってことだよ。

楓

小春

ということは\(2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12\)が該当するね。

このような\(x \in A\)または\(x \in B\)の要素だけ集めて作った集合を和集合といいます。

楓

つまり集合\(\left\{ 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12 \right\}\)のことを和集合というってこと！

集合\(A\)と\(B\)の共通部分は\(A \cup B\)と表され、\(\cup\)は容器のようなイメージからカップと読みます。

$$A \cup B = \left\{ x | x \in A もしくは x \in B \right\}$$

補集合

これまで個別に集合\(A\)や\(B\)を捉えてきましたが、実際の場面では1つの集合\(U\)を決めて、その部分集合として\(A, B\)を考えることが多いです。

この集合\(U\)を全体集合といい、集合\(U\)の要素で集合\(A\)には含まれない要素全体の集合を\(\overline{A}\)と表します。

図で表すと次のようなイメージをしています。

例えば、全体集合

に対して、2の倍数を集めて作った集合

を考えると、その補集合は

となります。

$$\overline{A} = \left\{ x | x \notin Aかつx \in U \right\}$$

補集合の性質

この定義とベン図を見てもらうと、次のような性質がわかります。

上から順に日本語訳していくと、

となります。

小春

確かに定義とベン図から明らかだね。。。

まとめ

楓

それじゃあまとめよう！

今回扱った集合間の関係は、今後数学を捉える上で非常に重要な内容になります。

イメージで覚えるのも大事ですが、まとめにもある式で理解しておくことが肝心です。

楓

例えば、「\(x \in A \cap B\)は\(x \in A\)かつ\(x \in B\)を満たす要素を集めた集合だ」と捉えられるようにしておこう！

ベン図で理解することは悪いことではありませんが、集合の話は抽象的になりすぎて、ベン図で書くことが難しいことがちょいちょいあります。

そのため、集合を「どんな要素の集まりなのか」で捉えられておくようにしておくと良いですよ。

以上、「和集合・共通部分・補集合について」でした。

チェック問題

とりあえず、集合\(B\)の全要素は書き出せるのでメモっておきましょう。

\(A \cap B\)は集合\(A, B\)の共通部分を表す集合のことでしたね。

\(A\)にも\(B\)にも含まれている要素を考えると、\(2,3,7\)が該当しますね。

続いて\(A \cup B\)は集合\(A, B\)の和集合のことでしたね。

\(A\)または\(B\)にも含まれている要素を考えると、重複しているものを除くと\(2,3,5,6,7,11,13,17,19\)が該当しますね。

よって

最後に\(\overline{A \cup B}\)を考えてみましょう。

これは\(A \cup B\)の補集合、すなわち

の要素を考えれば良いということになります。

全集合の条件より、20以下の自然数の中で

に含まれないものは\(1,4,8,9,10,12,14,15,16,18,20\)

よって

となります。

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Today's Topic

楓

前回は集合の考え方や、要素について考えたね。今回は少しだけ複雑化するよ。

えぇ〜、、、

小春

楓

と、いってもまだそんなに難しくない。今日は集合の集合について考えていくよ！

この記事を読むと、この問題が解ける！

• 集合\(\left\{a, b, c\right\}\)の部分集合を全てかき出せ。
• 次の2つの集合は等しいか調べよ。
  $$A = \left\{ x| xは12の正の約数 \right\}$$
  $$B = \left\{  1, 2, 3, 4, 6, 12\right\}$$

楓

答えは一番最後に扱うよ！

包括関係と部分集合

次のような2つの集合を考えてみましょう。

このとき、集合\(A\)に含まれる全ての要素は、集合\(B\)に含まれています。

楓

ベン図で書くと、このようになっているね。

ベン図を見てみるとわかるとおり、集合\(B\)は集合\(A\)そのものを含んでいるように見えます。

小春

集合は要素だけでなく、他の集合も含むことができるんだね。

「AはBの部分集合である」＝「Aの全要素はBにも含まれてる」と言うところが大事だよ！

楓

すなわち、

必要があるということですね。

自分も部分集合！

ある集合\(A\)の部分集合を考えるとき、念頭に置いておいて欲しいのは、\(A\)自身も部分集合としてカウントされるということ。

そのため、常に

が成り立ちます。

空集合

ここで、1つ特殊な集合をご紹介しましょう。

これまで考えてきた集合は、少なくとも1つの要素を持っているものばかりでした。

しかし、「たったの1つも要素を持たない集合」というのも存在します。

それが空集合です。

空集合は\(\phi\)（ファイ）で表す習慣があり、どんな集合に対しても必ず部分集合になるという定義がされています。

例えばある集合\(A = \left\{ 1, 2 \right\}\)は、

と、計4つの部分集合を含んでいることになります。

楓

まぁ定義上言えば、集合\(B\)や\(C\)も空集合を含んでいるんだけど、書くときは1回でいいかな。

等しい集合とは

2つの集合\(A\)と\(B\)に関して、全ての要素が一致している場合、集合\(A\)と\(B\)は等しいとなります。

2つの集合が等しいことを示すためには、次の2通りがあります。

それぞれ例題を見てみましょう。

全ての要素が一致している

2つの集合が等しいとは、全ての要素が共通であることをいいましたね。

なので、それさえ証明できれば2つの集合が等しいことは認められます。

集合\(A\)の全要素は、

集合\(B\)の全要素は、

よって\(A, B\)の全ての要素が互いに一致しているので、\(A=B\)。

互いに包括している

ある集合\(A\)は、部分集合に自分自身も含めるため、\(A \subset A\)が成り立つのでしたね。

そのため\(A = \left\{ 1,2 \right\}\)であれば、その部分集合に\(\left\{ 1,2 \right\}\)を持っているということになります。

これを念頭に、上記の全ての要素が一致している2つの集合\(A\)と\(B\)について考えてみましょう。

このとき、

という点から、\(A \subset B\)かつ\(A \supset B \)であることがわかります。

仮に

みたいな集合だと、\(A \subset B\)は成り立つけど、\(A \supset B \)は成り立ちませんね？

よって等しい2つの集合であれば、\(A \subset B\)かつ\(A \supset B \)が成り立つということになります。

小春

なるほど、だから\(A \subset B\)かつ\(A \supset B \)が示せれば、2つの集合が等しいと言えるのね！

その通り。要素を全て書き上げられるなら問題ないんだけど、要素が無限にあったり文字で表されたりするなら、\(A \subset B\)かつ\(A \supset B \)を示した方が楽だよ。

楓

まとめ

楓

それじゃあまとめよう！

今回扱った、集合の含む・含まれるというような関係のことを包括関係と言うことがあります。

集合の包括関係は現代数学の基本として鎮座しており、その重要さを無視することはできません。

楓

大学数学になると、基本的なことの証明に集合の考え方が出てくることが多いよ。

ここで苦手意識を持たず、乗り越えていってくれれば、きっと数学の楽しさに気づけます。

以上、「集合の包括関係について」でした。

チェック問題

よって、\(B\)と全ての要素が等しいので

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Today's Topic

楓

それじゃあ早速だけど、集合から考え直していこう！

うん！教科書で習ったときは、なんかモヤモヤした気がする。。。

小春

楓

言ってることはわかるけど、何やらされてるのかわからない感じかな？？

あ、そんな感じ！

小春

楓

それじゃあ今日は、そのモヤモヤが晴れるようにがんばるね。

この記事を読むと、この問題が解ける！

• ある集合\(A\)の要素は全て7以上16未満の偶数である。このとき集合\(A\)を表せ。
• $$B =\left\{ 3k | kは20以下の素数 \right\}$$と定義される集合\(B\)の要素を全て書き表せ。

楓

答えは一番最後に扱うよ！

【大事な考え方】集合とは

数学における「集合」は、範囲がはっきりしたものの集まりを指します。

範囲、というのは

と、きっちりかっちり絶対に区別できるような、境界線ルールが存在することを指します。

楓

ちょっと数学から離れて考えてみよう！

例えば、次のようなものは集合にはなりません。

なぜなら、「美味しいかどうか」や「かわいいかどうか」といった感覚によるものは境界線ルールにはなっていないからです。

楓

みんな椎茸うまいって食べるけど、僕は苦手なんだよね。。。

なるほど、人によって境界線ルールが変わるから、きっちりかっちり絶対じゃなくなるのね。

小春

数学ではこのような感覚を廃し、誰がどう読んでも理解される内容が一致するように境界線ルールを作り上げました。

例えば、

という境界線ルールは、しっかり集合を定義することができます。

小春

そっか、10はこの集合に含まれているかどうかをきっちりかっちり絶対に判断できるもんね！

集合と要素の関係・表し方

要素とベン図

集合とは、ある境界線ルールによって集められたものの集まりのことでした。

このとき、集められた1つ1つのものを要素といいます。

また、ある数\(x\)がある集合\(A\)の要素であるとき、\(x\)は集合\(A\)に属する（含まれる）と言ったりします。

楓

集合とその要素を表したこの図を、ベン図といい、結構頻繁に使うよ。

確かにベン図を眺めてると、要素が集合に属しているとか含まれるっていう理由がわかるね。

小春

ただこの図を毎度回答用紙に書いていると紙がもったいないので、数学では

と表します。

またその否定の場合、

と表します。

集合の2通りの表し方

一般に、ある集合\(A\)の要素が全て把握できている場合には、

のようにカッコの中に要素を列挙します。

ただ要素を全て書くのはめんどくさいので、境界線ルールがわかっている場合には、

のように

と書くこともできます。

楓

このとき、「要素を表す文字」は「境界線ルール」を守ることで、全ての要素を表すことができるようにするよ。

例題

具体例を見てみましょう。

小春

この流れでいくと、6と12じゃない？だって3の倍数でしょ？

その通り。ただ、数学は必ず証明を必要とするんだ。

楓

小春

証明。。。どんなふうに書けばいいの？

例えばこんな感じ！

楓

集合\(A\)は

と表せる。

小春

そっか、\(k\)の倍数って\(k \times 整数\)のことを言うんだったね。。。

\(n=2\)のとき、\(3n = 6\)

\(n=4\)のとき、\(3n = 12\)

なので、

またどの整数\(n\)に対しても\(3n \neq 2, 5, 100\)なので、

よって、

より、6、12が集合\(A\)の要素である。

まとめ

楓

それじゃあまとめよう！

集合の表し方や、要素との関係自体は難しいものではありません。

しかし、この境界線ルールをもとに「含まれるか否か」の考え方が、実は現代の数学のベースになっています。

楓

大学数学も集合の話からスタートするよ！

今のうちからしっかりと基本を抑えていくようにしましょう！

以上、「集合の表し方と要素について」でした。

チェック問題

楓

16未満であることに注意しよう！

20以下の素数は

よってそれぞれ3倍すればOKなので、

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Today's Topic

小春

かえでく〜ん、ろぐがわからない〜。

あー、対数ね。見た目がグロいからなぜかみんな公式使って解こうとするやつね笑

楓

小春

えっ、公式使って解くんじゃないの？

対数は定義、というか意味をしっかり押さえておけば公式なんか使わないよ。。。

楓

小春

えっ、そうなんだ！じゃあ今日はしっかり対数の定義までマスターするぞぉ！

この記事を読むと、この意味がわかる！

•  $$\log_3 \frac{1}{9}$$
•  $$\left(\frac{1}{9}\right)^{\log_3 2}$$

楓

見た目は難しいけど、2秒で解けるようになるよ！

なんで対数が分かりにくいのか

いろいろ話す前に、まずは対数が苦手、嫌いという方の特徴をお話ししましょう。

これから対数を勉強するよ〜って人は読み飛ばしてください。

対数ができない人の解答は、ほぼ決まって次のようになります。

この解答は、はっきり言ってゴミです。

確かに対数の計算法則を用いれば、この解答は全く間違いではありません。

ただあっているから、使えるからといって不必要な場面で無駄な遠回りをしているこの解答は、数学ではなくただの書写です。

対数は公式の暗記、公式の乱用をすればいいなどという、嫌がらせみたいな数ではありません。

対数そのものの定義を見れば、公式なんて使いませんし、また公式自体覚えなくても自分で瞬時に導出できるようにまでなります。

もし先生が公式を暗記しろと教えたのであれば、口にチョークでも突っ込んであげといてください。

ここからリスタート。

無駄なことはせずに、定義からしっかり押さえていきましょう。

小春

な、なんかすごく、、、恨みがこもってる、、、

対数の定義

まずは対数の定義を確認していきましょう。

といっても、そんな厳密なこと抑える必要はありません。

例えば、方程式

を考えてみましょう。

楓

これは日本語訳すると、「8は2の何乗？」と聞いているだけだね。

このとき、変数\(x\)を底を2とする8の対数といい、\(\log_2 8\)と表します。

つまり

と

は全く同じことを考えていることになります。

つまり\(\log_2 8\)は、『8は2の何乗？』と聞いているだけ

ここで言葉のお勉強をしておきましょう。

において、2を底、8を真数と言います。

なので対数を見たら、

真数は底の何乗？

と聞かれているだけなんだと思えばOKです。

楓

僕は紙の隅っこに\(\log_2 8 = 3\)ってのを書いて「8は2の3乗」って確認するのを未だにやってるよ。

対数の解き方

具体例を通して、対数の定義を身につけましょう。

ここでは一応、悪い解答例も載せましたので、「こんな解き方するかね普通？」と冷たい目で見ておいてください。

対数を考えにくい時は、共通の底を見つけて揃えてあげれば良い。

小春

わざわざ公式使って式で解かなくても、ちょっと考えればわかることだね。。。

指数に対数がある数

対数の中には、次のようなものも存在します。

小春

うわぁ、指数に対数があるぅ〜。。。

一見キモい見た目をしていますが、焦らず\(\log_2 8\)を思い出してください。

\(\log_2 5\)は日本語訳すると、どうなりますか？

小春

「5は2の何乗？」って意味だね。

つまり\(t = \log_2 5\)とおくと、\(5 = 2^t\)となるわけですね。

この\(t\)を戻してあげると、、、

となり、答えが5であることがわかりますね。

小春

ほ、ほんとだ。。。

これは対数の意味を考えてみれば当然の結果です。

\(log_2 5\)は「2を何回掛けたら5になるか」を表している数です。

その「2を何回掛けたら5になるか」を表した数だけ2を掛けたら、当然5になりますね。

楓

当たり前なのにわからないっていう人多いんだよね。公式に頼りすぎかも。この変形は数Ⅲでよく出ます。

まとめ

楓

それじゃあ、まとめよう！

対数は問題を一見、複雑そうに見せれる最も簡単な手法です。

虎の威を借る狐的な？

見た目がグロいだけで、定義を考えれば、結局むちゃくちゃ簡単なことを聞かれている場合が多いので、公式に頼らず、定義を見つめ直すようにしましょう。

ちなみに対数の定義というより、毎回\(\log_2 8 = 3\)をどっかに書いて「8は2の3乗」って読んでおくクセをつけると良いかもしれません。

以上、「対数の定義について」でした。

チェック問題

「\(\frac{1}{9}\)は3の何乗か？」と聞かれていますね。

\(\frac{1}{9} = 3^{-2}\)であることがわかれば、瞬殺ですね。

答えは\(-2\)です〜。

参考【整数の指数法則】なぜ0乗が1なのか、息をするようにわかる指数法則

はい、指数に対数が含まれていますが発作を起こさないでくださ〜い。

\(\log_3 2\)は「2は3の〜乗」の〜を表す数ですね。

これはつまり「3を\(\log_3 2\)回かけると2になる」ということを表していますよね？

ここで簡単な式変形をしてみましょう。

このように式変形したのは、\(3^{\log_3 2}\)が欲しかったからです。

「3を\(\log_3 2\)回かけると2になる」ということが既に得られているので、

よって、

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Today's Topic

楓

今日はこれまで見てきた対数の定義をもとに、その計算法則を理解していくよ。

う〜授業でやったとき、むちゃくちゃわかりにくかったんだよね。。。

小春

楓

対数は計算がめんどくさい指数を扱いやすくするために生まれたんだ。だからわからなくなったら、1回対数の定義を振り返ると有効だよ！

この記事を読むと、この問題が解ける！

• $$\log_3 \frac{36}{25}$$
• $$\log_{\sqrt{3}} 168$$

楓

答えは一番最後に扱うよ！

対数の計算方法は指数法則を思い出そう！

ではそんな対数の計算方法を見ていきましょう。

大丈夫、指数の計算法則と見比べながら勉強すると、全く難しくないです。

楓

対数の計算はこのようにまとめたり、分解することができることが大きなポイントだよ。

対数の足し算

一般的な証明は次の通りです。

これは指数法則を見ると、より納得できると思います。

小春

この式では左辺が掛け算で、右辺が指数の足し算になっているね。

この式の指数に着目した式が、まさにこの対数の加法に他なりません。

\(M=a^p,N=a^q\)としてみると、\(MN=a^{p+q}\)となり、\(MN\)は\(a\)の\(p+q\)乗であることがわかります。

\(\log_a {MN}\)を訳すると「\(MN\)は\(a\)の何乗？」となり、これは\(p+q\)乗に他なりませんので

が得られます。

\(\log_a M = p, \log_a N = q\)なので、\(p+q = \log_a M + \log_a N\)と表現しなおせます。

よって、

となるわけですね。

底が同じ対数同士の足し算は、真数同士をかければ良い。

対数の引き算

対数の足し算と指数法則を理解してれば、全く難しくありません。

この式でのポイントは、\(\frac{1}{a}=a^{-1}\)と表せるということです。

つまり\(\frac{M}{N}=M\times N^{-1}\)とすることで、対数の足し算まで帰着できます。

小春

対数の引き算はわざわざ覚える必要はなく、対数の足し算の一部と考えればいいんだね。

底が同じ対数同士の引き算は、真数同士の分数を考えれば良い。

累乗の対数

最後に、\(\log_a M^r = r\cdot \log_a M\)について考えてみましょう。

小春

真数の指数は、前に下ろしてこれるんだね。

指数は対数を取ると、係数として扱うことができる。

対数の計算法則の使い所

対数は多くの学生が苦手とするところですが、その大きな要因の1つがこれら計算公式の乱用です。

定義も考えず、ただ公式に当てはめるだけのパズルゲームにした途端、対数はその魅力を全て失います。

例えば、

という問題を見たときに、これら計算公式が思いつくようでは全く対数の知識はテストで使い物にならないでしょう。

この程度であれば、

楓

32は2の何乗かな？

えっと、2の5乗だよね。

小春

楓

じゃあ\(\frac{1}{32}\)は2の何乗？

\(\frac{1}{32}\)は\(\left(2^5\right)^{-1}\)だから、2の\(-5\)乗だね。

小春

のように計算公式なんか全く使わず、対数の定義から思いつくべきです。

参考【対数の定義】公式で覚えるな！対数とは何か、定義で理解すれば大丈夫！

では、どういった問題で計算法則を使えばいいのでしょう。

それは簡単、「真数って底の何乗？」がものすごく考えにくいときです。

小春

うわ〜、\(\frac{81}{32}\)が3の何乗かなんてわかんないよ〜泣

そうです、こんな不気味な対数になって、ようやく使えばいいんです。

まずは分数が嫌なので対数の引き算に分解します。

81は3の4乗なので\(\log_3 81 = 4\)であることは秒殺です。

ただ32は3の累乗では求まりません。

そこで\(32=2^5\)であることに着目すると、

小春

累乗の対数の公式を使ったのね！

以上で、

と求められました。

まとめ

楓

それじゃあまとめよう！

今回扱った公式は対数を考える上では基本的な公式となりますが、この公式を使えば良いという問題ではありません。

対数の最も大切なところは、指数の扱いをもっと楽にしたいという思いにあり、別に公式チェック暗記問題ではありません。

是非対数の定義と合わせて、うまく使い分けれるようになってください。

以上、「対数の計算公式について」でした。

チェック問題

小春

\(\log_3 6\)はまだ分解できるのかぁ〜。。。計算やめちゃってた。。。

そうだね、引っ掛けポイントになるから気をつけようね。

楓

168を因数分解すると\(168 = 3\times 2^3 \times 7\)

よって

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Today's Topic

楓

今日は対数関数について考えていくよ。

\(\log\)については理解できてきたけど、グラフってなるとちょっと自信ないなぁ。。。

小春

楓

大丈夫、基本指数法則を考えればOKだよ。それにいろんな制限があるし。

制限・・・？

小春

楓

そ、実は対数関数には結構制限があるんだ。そこを理解すると、案外難しくないよ！

この記事を読むと、この問題が解ける！

• $$\log_3 x + \log_3 (x-8) = 2$$
• $$\log_{\frac{1}{2}} (x-1)> 2$$

楓

答えは一番最後に扱うよ！

対数関数の定義

楓

対数関数は一般に、次のように定義されます。

底の条件・真数条件

この定義だと、指数関数と同様、

の2通りが考えられますが、

の場合は、対数関数として考えないと言っています。

このように対数関数には底\(a\)に関する条件と、それに伴って真数\(x\)に関する条件という2つの制約が伴っています。

一般に対数が問題として出題されるときは、この2つの条件を暗黙の了解とする「対数関数」が意図されています。

なぜこの条件が必要なのかは、別記事で詳しく解説しますが、この条件を見逃すと高確率で減点を喰らいますのでご注意ください。

参考【底の条件・真数条件】対数関数には、なぜこの2つの条件が必要なのか。→関数じゃなくなるから

対数関数の性質・特徴

対数関数\(y = \log_a x\)は主に、底\(a\)が\(0< a < 1\)のときと、\(1 < a\)のときの2パターンに分けられます。

グラフの形

底\(a\)が\( 1< a\)のとき

次に\( 1< a\)のときですが、グラフの形はこのようになります。

真数条件である\(0<x\)の条件の通り、定義域は0より大きい値しか取りません。

また、\(x\)が大きくなるほど\(y\)の値は緩やかに増加していき、\(x\)の値が0に近づくほど\(y\)の値は無限に小さくなっていきます。

底が\(1< a\)の対数関数は\(x\)が大きくなるほど、緩やかに増加していく。

底\(a\)が\( 0< a < 1\)のとき

次に\( 0< a < 1\)のときですが、グラフの形はこのようになります。

こちらも真数条件である\(0<x\)の条件の通り、定義域は0より大きい値しか取りません。

また、\(x\)が大きくなるほど\(y\)の値は緩やかに減少していき、\(x\)の値が0に近づくほど\(y\)の値は無限に大きくなっていきます。

底が\(0< a < 1\)の対数関数は\(x\)が大きくなるほど、緩やかに減少していく。

なぜ底の違いでグラフの形が全く異なるのか？

小春

底の値の幅が変わるとグラフの形が変わるのは何となくわかったけど、何でこんなめんどくさいことに。。。

と思った方のために、ちょっとだけ詳しくお話ししましょう。

対数\(\log_2 8\)は「8は2の何乗？」と訳すことができ、

と

は全く同じことを意味していました。

参考【対数の定義】公式で覚えるな！対数とは何か、定義で理解すれば大丈夫！

このとき、2のことを底、8のことを真数、そして3のことを指数というのでした。

では、この底が1よりも小さい値、具体例として\(\frac{1}{2}\)のときを考えてみましょう。

対数関数\(y=\log_{\frac{1}{2}} x\)について考えると、「\(x\)は\(\frac{1}{2}\)の\(y\)乗」、つまり\(x = \left(\frac{1}{2}\right)^y\)となります。

指数関数を思い出すと、\(x\)の値が大きくなるためには、\(y\)の値はどんどん小さくなる必要があります。

小春

そうか、\(y\)が大きくなるほど\(\frac{1}{2}\)をかける回数が増えるってことだもんね！

参考【指数関数のグラフと性質】これだけはサッと思い出したい、超重要な6つの性質

よって、\(x\)が大きくなると必然的に\(y\)の値は減少していくのです。

これは底が1よりも大きい値のときでも同様です。

具体例として\(y = \log_2 x\)を考えてみると、日本語訳は「\(x\)は2の\(y\)乗」ということになります。

\(x\)が大きくなるためには、2をより多くかけていけばいいわけですから、\(y\)の値は増加していくということになりますね。

底が1よりも小さい場合、指数が大きいほど値は小さくなる。そのため底が1よりも小さい対数関数では\(x\)の増加に伴い、\(y\)の値が減少していく。

グラフからわかる性質

グラフを見てみると、重要な性質を発見することができます。

必ず座標\((1, 0)\)を通る

底がどのような値でも、グラフを見てみると必ず座標\((1, 0)\)を通っていることがわかります。

これは対数そのものを考えれば当たり前のことです。

$$y = \log_a x$$

において、\(x=1\)のとき、指数関数では\(a^y = x = 1\)となるから\(y＝0\)となるのは明らか。

\(y=x\)に関して指数関数\(y=a^x\)と線対称

この性質も底にかかわらず、対数関数のグラフ\(y=\log_a x\)は指数関数\(y=a^x\)と\(y=x\)に対して線対称です。

これも底\(a\)の値にかかわらず成り立つものですが、実際にグラフを見てみましょう。

小春

え〜、不思議〜！

これは逆関数という関数の性質によるものなんだ。

楓

小春

逆関数・・・？

逆関数の考え方自体は数Ⅲで登場するんだけど、別に難しくないから今のうちから気になるなら知っておいてもいいよ。

楓

参考【逆関数】グラフから考える『入れ替える』意味と、逆関数の美しい性質

\(y\)軸が漸近線

底\(a\)の値によらず、対数関数のグラフは\(y\)軸に絶対に触れることはありません。

これは指数関数に直して考えてみると、明らかすぎて涙が出ます。

\(y\)軸と触れるということは、すなわち\(x=0\)を通る必要があります。

を日本語訳すると、「0は\(a\)の\(y\)乗」となります。

\(a\)が0であればこの条件を満たす\(y\)の値は全ての実数であることがわかりますが、底の条件から残念ながら\(a\)は0になることはありません。

よって\(x=0\)になることは決してないので、対数関数のグラフが\(y\)軸と触れることは絶対にないと言い切れるのです。

小春

う〜、ここでも底の条件が・・・。真数条件といい、どうしてこの条件があるのか気になってきた。

その感覚は数学ではとても大事だよ！気になったらすぐに調べる癖をつけておこう！

楓

参考【底の条件・真数条件】対数関数には、なぜこの2つの条件が必要なのか。→関数じゃなくなるから

単調増加・単調減少するグラフである

もう一度、底\(a\)が\( 1< a\)のときのグラフを見てみましょう。

このグラフを見てみると、緩やかではありますが、\(x\)の値が大きくなるほど、\(y\)の値がず〜っと大きくなっていることがわかります。

このず〜っと大きくなるというのは、\(p< q\)の条件のもと\(x = p\)と\(x=q\)を考えたとき、必ず\(y=log_ a p\)の値よりも\(y=log_a q\)の値が大きくなっているということです。

これを数学では単調増加といいます。

底が\( 0< a < 1\)のときも似たような現象が見られます。

こちらは\(x\)の値が大きくなるたびに、\(y\)の値が緩やかではありますが、ず〜っと小さくなり続けています。

これは\(p< q\)の条件のもと\(x = p\)と\(x=q\)を考えたとき、必ず\(y=log_ a p\)の値よりも\(y=log_a q\)の値が小さくなっているということです。

これを数学では単調減少と言います。

対数関数では次の性質が成り立つ

対数関数の例題

これをもとに考えると、対数関数を含む方程式や、対数の大小関係が明確にわかるようになります。

対数の大小関係

対数の計算法則を用いると、

となる。

対数関数\(y=\log_5 x\)を考えると、底5は1よりも大きいため単調増加することがわかる。

すなわち\(x\)の値が大きいほど\(y\)の値も大きくなるので、\(\log_5 8 < \log_5 9\)となる。

よって、

楓

このように対数の大小関係は、底が揃っていると対数関数の単調増加・単調現象のどちらかだけを考えれば良くなるからシンプルだね。

じゃあ例えば底が揃っていない場合はどうするの？

小春

楓

そのときは底の変換公式をいうものを使って、無理やり揃えて比較するんだ。

参考【底の変換公式】底を揃える意味や、使える場面を徹底解説！

対数関数の不等式

与式を底が同じ対数で表現すると、\(3 = \log_2 8\)より

底2は1よりも大きいので\(y = \log_2 x\)は単調増加する。

よって\(x\)の値が大きいほど\(y = \log_2 x\)の値も大きくなるので、\(x ≦8\)。

ここで、真数条件より\(x>0\)。

よって共通範囲から

楓

この真数条件を忘れることがむちゃくちゃ多いから、一番最初に書いておいてほしい。。。

対数が絡む問題のポイント

このように対数の問題には、いろいろバリエーションがありますが最も使われる手法としては

という3つです。

対数が現れた場合、この3つを即座に思い出せるようにしておいてください！

まとめ

楓

それじゃあまとめよう！

今回は長くなってしまいましたが、対数関数の定義と性質はこれだけです。

今後いろんな対数の問題と出くわすと思いますが、結局対数は指数関数の言い換えでしかないため、それほど難しくできないのが現状です。

抑えるべき点はしっかり抑えて、変な公式暗記に頼るよりも、根本的な理解を深めることでどんな場面でどんな手法が使えるのかをじっくり考えていきましょう。

以上、「対数関数の定義と性質について」でした。

チェック問題

真数条件より、\((x-8) > 0\)。よって、

対数の計算法則より、

よって

と考えることができ、これを展開して整理すると

これは\((x-9)(x+1) = 0\)より、\(x=-1, 9\)

ただし、真数条件より\(x>8\)であったので、

小春

あ〜、真数条件忘れてて答えが違うかったよぅ。。。

真数条件より、\(x – 1 > 0\)。

よって、\(x>1\)。

小春

もう引っかからないぞ！

与式の底が同じ対数に揃えると、

底\(\frac{1}{2}\)は1よりも小さいので、このときの対数関数\(y=\log_{\frac{1}{2}} x\)は単調減少する。

つまり、\(x\)の値が小さいほど\(y=\log_{\frac{1}{2}} x\)の値は大きくなるので、

整理すると、\(x < \frac{5}{4}\)となる。

ただし、真数条件より\(x>1\)であったので、共通範囲より

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Today's Topic

小春

 楓くん、対数関数であれほど大事と言っていた底の条件・真数条件だけど、そもそもなんであの条件が必要なの？

おっ、いいところに気づいたね。実はその2つの条件がないと、対数関数は関数ではなくなってしまうんだ。。。

楓

小春

関数じゃなくなる？！

今日は底の条件・真数条件の必要性と、問題への応用の仕方を見ていこう！

楓

この記事を読むと、この問題が解ける！

• $$\log_{\frac{1}{2}} \left(2x-\frac{1}{8}\right) > 3$$
• $$\log_{3}(5-x) – \log_3(3x+1) = 0$$

楓

答えは一番最後に扱うよ！

底の条件・真数条件

対数関数は、次のように定義されていました。

参考【対数関数の定義と性質】グラフからわかる重要性質と問題への使い方を徹底解説！

この定義において、底\(a\)には\(a \neq 1,\ 0 < a\)という条件が設けられます。

これを底の条件と呼びます。

同様に真数\(x\)にも\(x > 0\)という条件が設定されています。

これを真数条件と呼びます。

どちらも対数関数を考える上では必須の条件なのですが、そもそもなぜこの条件は必要なのでしょうか？

結論から言ってしまうと、そのほうが『人間の感覚にマッチした数学的に都合がいいから』です。

底の条件が必要な理由

まずは底の条件から見ていくことにしましょう。

底の条件には\(a \neq 1,\ 0 < a\)という2つの条件が含まれています。

実は、どちらも関数として成立させるためには欠かせないものなのです。

\( a =0, a= 1\)のとき、関数ではなくなる

では条件に一致しない、\(a=0\)のときを考えてみましょう。

\(y = \log_0 x\)は指数関数に直すと\(x = 0^y\)となります。

おやおや、これでは\(y\)にどんな値を取っても、\(x\)の値は常に0になりますね。

さらに\(y= -1\)のような負の値になると、

$$x = 0^{-1} = \frac{1}{0}$$

となり、0で数を割ることはできないのでこの場合は定義できなくなってしまいます。

参考【どんな数も0では割れない】減点されないために知っておきたい分数のワナ。

つまり、\(y=\log_0 x\)は\(x=0,\ y> 0\)を満たす直線ということになりますが、これは関数の定義から関数でないことがわかります。

参考【関数とは】中学生でも大丈夫！曖昧にしがちな関数の特徴をしっかりマスターしよう

底\(a=1\)の場合でも同じです。

\(y=\log_1 x\)は指数関数に直すと、\(x = 1^y\)ということになります。

先ほどと違い、\(y\)の値に制限がなくなりましたが、どんな\(y\)の値を取っても\(x\)の値は常に1になります。

グラフを見てみると一目瞭然ですが、こちらも当然関数ではありません。

よって底の条件がなければ関数として対数関数を定義できなくなることがわかります。

底の条件\(a\neq 0, 1\)がなければ、\(y=\log_a x\)は\(y\)軸と平行な直線になる、すなわち関数ではなくなる。

\( a\)が負だと実関数として考えられなくなる

続いて、具体的に\(a= -2\)の場合を考えて、底の条件\(0 < a\)の必要性を見てみましょう。

\(y = \log_{-2} x\)を指数関数に直すと\(x = \left(-2\right)^y\)となります。

例えば\(y=\frac{m}{n}\)のように、\(y\)が有理数の値を取る場面を考えてみましょう。

すると、指数法則から、

となりますが、\(m\)が奇数の場合、ルートの中身が負になってしまうため、これは実関数では定義できません。

楓

まぁ偶数の時なら定義できるけど、わざわざ定義するくらい使いやすいわけでもないし、除外した方が楽なんだよね。。。

仮に指数\(y\)が整数しか取らないと制限をつけてみましょう。

すると、\(y=\log_{-2} x\)は指数関数に直すと、

となり、ちゃんと定義できます。

しかし、

となり、\(xy\)座標ではとても表現しにくい動きをしていることがわかります。

このように不気味な動き&実関数でなくなる可能性がある、なんてとても扱いにくいですね。

よって底は負にならないという条件をつけることで、より有意義な関数の定義に仕上げたというわけです。

底の条件\(0 < a\)がなければ、\(y=\log_a x\)

小春

。。。なんかどこかで聞いたような、、、

実はこれ、指数関数でも同じことを議論しているよ！

楓

小春

あ、そうだ！指数関数でも底\(a\)に同じ条件が同じ理由で設けられていたね！なんかつながってきた！

参考【指数関数の定義】なぜ底が負のときは定義しないのか→ダルいから

真数条件が定まる理由

さてお次は真数条件ですが、こちらは底の条件により自動的に決まるものです。

底の条件を満たすとき、対数関数\(y = \log_a x\)は次のようなグラフを描きます。

参考【対数関数の定義と性質】グラフからわかる重要性質と問題への使い方を徹底解説！

グラフを見てみると、\(x>0\)であることがはっきりとわかりますね。

つまり

対数関数とは、底の条件\(a\neq 1, 0< a\)を満たす場合にのみ定義することができ、この条件を満たすとき、真数条件\(x>0\)は絶対に成り立っていないとおかしい

ということになります。

底の条件・真数条件をチェックすべきタイミング

さてそんな底の条件・真数条件ですが、対数の問題が出るたびに確認しておくに越したことはありません。

ではどんな場面、どのタイミングで確認しておくべきか見てみましょう。

底の条件をチェックするタイミング

底の条件をチェックすべき状況とは、ずばり底に変数が含まれている場合です。

具体例を見てみましょう。

底に変数が含まれている場合、底の条件を最初に確認して、求められた解が底の条件によって求められた不等式との共通範囲内であるかを考えれば良い。

真数条件をチェックするタイミング

真数条件は、真数に変数が含まれる場合、必ずチェックが必要です。

先ほどの底に変数が含まれる場面とは異なり、この真数条件がマストな場面はかなり多いです。

メモ

なぜ真数条件を確認する場面が多いのか、それは対数の計算法則がそもそも真数条件を前提に構築されていることが原因です。

対数の計算法則

\(a>0,a\neq1,M>0,N>0\)のとき

• \(\log_a MN = \log_a M + \log_a N\)
• \(\log_a\frac{M}{N} = \log_a M – \log_a N\)
• \(\log_a M^r = r\cdot \log_a M\)

小春

よく使う計算法則の前提に、そもそも真数条件が必須条件なんだね！

参考【対数の計算法則】なぜ掛け算が足し算に？対数の計算は定義を見返そう！
 

もし真数条件を確認していなければ、\(x>0\)という条件は見つからないでしょう。

これが抜ければ解答とは言えなくなります。

真数に変数が含まれている場合、真数条件を最初に確認して、求められた解が底の条件によって求められた不等式との共通範囲内であるかを考えれば良い。

まとめ

楓

それじゃあまとめよう！

底の条件は対数関数を考えるために必須となり、真数条件は対数の計算法則を成り立たせる上で必須となります。

そのため、必ず最初に確認しておく必要があり、得られた解がその条件にマッチしているか確認する必要があります。

対数は計算自体は簡単ですが、この2つの条件が思わぬ落とし穴になることがあるので、気を抜かずしっかりと解き切るようにしましょう。

以上、「底の条件・真数条件について」でした。

チェック問題

真数条件より、

よって\(x > \frac{1}{16}\)。

より

について考えれば良い。

底が1より小さな対数関数は、単調減少するので

であれば良い。

これを整理すると、\( x < \frac{1}{8}\)。

よって

真数条件より、\(5 – x > 0\)かつ\(3x+1 > 0\)。

この共通範囲は、\(-\frac{1}{3}<x<5\)である。

与式は

とできる。

よって、

を考えればよく、この解は\(x=1\)。

この解は\(-\frac{1}{3}<x<5\)に当てはまるので、答えは

となる。

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