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集合と命題

【和集合・共通部分・補集合】それぞれの違いと捉え方、使う場面を徹底解説

和集合・共通部分・補集合

Today's Topic

2つの集合\(A, B\)に対して、ある要素\(x\)が

  • \(x \in A \cap B\)であることを示すためには、\(x \in A\)かつ\(x \in B\)両方が成り立てば良い。
  • \(x \in A \cup B\)であることを示すためには、\(x \in A\)または\(x \in B\)どちらかが成り立てば良い。
  • \(x \in \overline{A}\)であることを示すためには、\(x \notin A\)かつ\(x \in U\)両方が成り立てば良い。

 

これまで集合と要素の関係集合と集合の包括関係について見てきたね。
今まで難しく感じてたけど、だんだん要点がわかってきたよ!
小春
じゃあ今日は集合の中でも重要な3つの集合を見てみよう!

 

この記事を読むと、この問題が解ける!

全体集合\( U = \left\{ x | xは20以下の自然数 \right\} \)に対して2つの集合
$$A = \left\{ 2, 3, 6, 7 \right\}$$
$$B = \left\{ x | xは20以下の素数 \right\}$$
を考える。このとき、次の集合に含まれる要素を全て書き表せ。

  1. \(A \cap B\)
  2. \(A \cup B\)
  3. \(\overline{A \cup B}\)
答えは一番最後に扱うよ!

 

共通部分

 

1〜12のうち、2の倍数だけを集めた集合\(A\)と、3の倍数だけを集めた集合\(B\)を考えます。

共通部分と和集合

 

このとき、集合\(A\)にも含まれ、かつ集合\(B\)にも含まれている要素がありますね?

小春
6と12のことかな?

 

このような\(x \in A\)かつ\(x \in B\)の要素だけ集めて作った集合を共通部分といいます。

つまり集合\(\left\{ 6, 12 \right\}\)のことを共通部分というってこと!

 

集合\(A\)と\(B\)の共通部分は\(A \cap B\)と表され、\(\cap\)は蓋を閉じるようなイメージからキャップと読みます。

$$A \cap B = \left\{ x | x \in A かつ x \in B \right\}$$
共通部分

 

和集合

 

先程と同じ2つの集合を考えてみましょう。

共通部分と和集合

 

このとき、集合\(A\)か集合\(B\)、少なくともどちらか一方には含まれている要素を考えます。

 

小春
す、少なくとも・・・?
つまり最低レベルの条件として\(A\)か\(B\)に含まれているってことだね。
小春
じゃあ、6や12みたいに\(A, B\)どっちにも含まれる要素もOKってこと?
その通り。\(A, B\)どちらかに含まれていればOKってことは、どちらにも含まれているものもOKってことだよ。
小春
ということは\(2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12\)が該当するね。

 

このような\(x \in A\)または\(x \in B\)の要素だけ集めて作った集合を和集合といいます。

つまり集合\(\left\{ 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12 \right\}\)のことを和集合というってこと!

 

集合\(A\)と\(B\)の共通部分は\(A \cup B\)と表され、\(\cup\)は容器のようなイメージからカップと読みます。

$$A \cup B = \left\{ x | x \in A もしくは x \in B \right\}$$
和集合

 

補集合

 

これまで個別に集合\(A\)や\(B\)を捉えてきましたが、実際の場面では1つの集合\(U\)を決めて、その部分集合として\(A, B\)を考えることが多いです。

 

この集合\(U\)を全体集合といい、集合\(U\)の要素で集合\(A\)には含まれない要素全体の集合を\(\overline{A}\)と表します。

図で表すと次のようなイメージをしています。

全体集合と補集合

 

例えば、全体集合

$$U = \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$$

に対して、2の倍数を集めて作った集合

$$A = \left\{ 2,4,6,8 \right\}$$

を考えると、その補集合は

$$\overline{A} = \left\{1,3,5,7\right\}$$

となります。

 

$$\overline{A} = \left\{ x | x \notin Aかつx \in U \right\}$$
全体集合と補集合

 

補集合の性質

 

この定義とベン図を見てもらうと、次のような性質がわかります。

ポイント

  1. $$A \cap \overline{A} = \phi$$
  2. $$A \cup \overline{A} = U$$
  3. $$\overline{\overline{A}} = A$$
  4. $$A \subset B ならば \overline{A} \supset \overline{B}$$補集合の性質

 

上から順に日本語訳していくと、

  1. 集合\(A\)と\(A\)に含まれない要素の集合\(\overline{A}\)の共通部分は空集合(要素がない)
  2. 集合\(A\)と\(A\)に含まれない要素の集合\(\overline{A}\)の和集合は全体集合
  3. 「\(A\)に含まれない要素の集合\(\overline{A}\)」に含まれない集合は\(A\)
  4. 集合\(A\)が集合\(B\)に含まれるならば、\(A\)に含まれない要素の集合\(\overline{A}\)に\(B\)でない要素全てが含まれる

となります。

小春
確かに定義とベン図から明らかだね。。。

 

まとめ

それじゃあまとめよう!

 

まとめ

2つの集合\(A, B\)に対して、ある要素\(x\)が

  • \(x \in A \cap B\)であることを示すためには、\(x \in A\)かつ\(x \in B\)両方が成り立てば良い。
  • \(x \in A \cup B\)であることを示すためには、\(x \in A\)または\(x \in B\)どちらかが成り立てば良い。
  • \(x \in \overline{A}\)であることを示すためには、\(x \notin A\)かつ\(x \in U\)両方が成り立てば良い。

 

今回扱った集合間の関係は、今後数学を捉える上で非常に重要な内容になります。

イメージで覚えるのも大事ですが、まとめにもある式で理解しておくことが肝心です。

例えば、「\(x \in A \cap B\)は\(x \in A\)かつ\(x \in B\)を満たす要素を集めた集合だ」と捉えられるようにしておこう!

 

ベン図で理解することは悪いことではありませんが、集合の話は抽象的になりすぎて、ベン図で書くことが難しいことがちょいちょいあります

そのため、集合を「どんな要素の集まりなのか」で捉えられておくようにしておくと良いですよ。

 

以上、「和集合・共通部分・補集合について」でした。

 

チェック問題

 

例題

全体集合\( U = \left\{ x | xは20以下の自然数 \right\} \)に対して2つの集合

$$A = \left\{ 2, 3, 6, 7 \right\}$$

$$B = \left\{ x | xは20以下の素数 \right\}$$

を考える。このとき、次の集合に含まれる要素を全て書き表せ。

  1. \(A \cap B\)
  2. \(A \cup B\)
  3. \(\overline{A \cup B}\)

 

とりあえず、集合\(B\)の全要素は書き出せるのでメモっておきましょう。

$$B = \left\{2,3,5,7,11,13,17,19 \right\}$$

 

頭で考えるよりも

  • ベン図を書いて、とりあえず把握する
  • 各条件を満たす要素を考え、集合全体を捉える

など行うと効果的です。

 

\(A \cap B\)は集合\(A, B\)の共通部分を表す集合のことでしたね。

$$A \cap B = \left\{ x | x \in A かつ x \in B \right\}$$

 

\(A\)にも\(B\)にも含まれている要素を考えると、\(2,3,7\)が該当しますね。

よって\(A \cap B = \left\{ 2, 3, 7 \right\}\)

 

続いて\(A \cup B\)は集合\(A, B\)の和集合のことでしたね。

$$A \cup B = \left\{ x | x \in A または x \in B \right\}$$

 

\(A\)または\(B\)にも含まれている要素を考えると、重複しているものを除くと\(2,3,5,6,7,11,13,17,19\)が該当しますね。

よって

$$A \cup B = \left\{ 2,3,5,6,7,11,13,17,19 \right\}$$

(※見切れている場合はスクロール)

 

最後に\(\overline{A \cup B}\)を考えてみましょう。

これは\(A \cup B\)の補集合、すなわち

$$\overline{A \cup B} = \left\{ x | x \notin A \cup Bかつx \in U \right\}$$

の要素を考えれば良いということになります。

 

全集合の条件より、20以下の自然数の中で

$$A \cup B = \left\{ 2,3,5,6,7,11,13,17,19 \right\}$$

に含まれないものは\(1,4,8,9,10,12,14,15,16,18,20\)

 

よって

$$\overline{A \cup B} = \left\{ 1,4,8,9,10,12,14,15,16,18,20 \right\}$$

(※見切れている場合はスクロール)

 

となります。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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