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【微分公式一覧】証明や差がつくポイント、役立つテクニックなど総まとめ

微分公式一覧
小春
今回は、微分の公式を網羅してみたよ!
おっ、わかりやすくまとまってるね!

 

基本

 

微分可能

関数\(f(x)\)が\(x=a\)において微分可能であるとは、\(x=a\)で連続かつ、$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$$が存在するときをいう。

参考【微分可能とは?】連続性とイメージが大事。微分ができる条件を理解しよう!

 

微分係数

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

参考【微分係数】って結局ナニ?導関数との違いや、接線の傾きの重要性を解説します!

 

導関数

$$\lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

参考【導関数】って結局ナニ?微分係数との違いなどを解説。

 

関数の微分公式

 

べき関数の微分公式

$$\left(x^n\right)' = nx^{n-1}$$

※\(n\)は実数

参考【べき乗の微分公式】証明と考え方→数の集合に注目し、微分公式を総動員!

 

三角関数の微分公式

$$\left(\sin x\right)' =\cos x$$

$$\left(\cos x\right)' = -\sin x$$

$$\left(\tan x\right)' =\frac{1}{\cos^2 x}$$

参考【三角関数(sin,cos,tan)の微分公式】とその証明→極限の形に着目する

 

指数関数の微分公式

$$\left(e^x\right)' =e^x$$

$$\left(a^x\right)' =a^x\log a$$

参考【指数関数の微分公式】証明は微分の定義と、ネイピア数eが最大の鍵!

 

対数関数の微分公式

$$\left(\log x\right)' =\frac{1}{x}$$

$$\left(\log_a x\right)' =\frac{1}{x\log a}$$

参考【対数関数の微分公式】証明と式変形のコツ→ネイピア数の定義に帰着

 

計算公式

 

微分の計算公式

$$\left(x^n\right)' = nx^{n-1}$$

$$\left\{k\,f(x)\right\}'= k\,f'(x)(kは定数)$$

$$\left\{f(x)\pm g(x)\right\}'= f'(x)\pm g'(x)$$

$$k' = 0 (定数の微分は0になる)$$

参考【微分の計算法則】和・差・定数倍・定数・xのn乗の計算方法と証明

 

積の微分公式

$$\left\{f(x)g(x)\right\}'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

参考【積の微分公式】5分でOK!証明と覚え方をわかりやすく解説

 

商の微分公式

$$ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$

参考【商の微分公式】証明と覚え方→積の微分公式・逆関数の微分公式に帰着させよう!

 

合成関数の微分公式

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}$$

参考【合成関数の微分法】のコツと証明→「約分」感覚でOK!小学生もできます。

 

逆関数の微分公式

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

参考【逆関数の微分法】って結局いつ使うの?証明や使い方をわかりやすく紹介

 

差がつく!

陰関数の微分公式

陰関数$$f(x,y)=0$$を微分するためには、両辺微分して、合成関数の微分法を使えば良い。

参考【陰関数の微分法】カンタン3ステップ。効果的な使い方と具体例

 

媒介変数の微分公式

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

参考【媒介変数表示の微分法】証明と、主な使われ方。暗記ゼロを目指そう!

 

解法テクニック

 

接線の公式

$$y-f(a) = f’(a)(x-a)$$

参考【接線の方程式】たったの3ステップでOK!どんな接線でも求まるぞ

 

法線の公式

$$y - f(a) = -\frac{1}{f’(a)}(x-a) $$

参考【たったの2ステップ】法線の方程式の求め方と証明→傾き求めて平行移動!

 

増減表

増減表を描くためには、

  • 導関数を求め、微分係数の正負が切り替わる\(x\)の値を探し、
  • 右肩上がりか、右肩下がりなのかを書き加え、
  • 値を埋めていけば良い。

参考【増減表】なんでy'=0を調べるの?グラフの描き方と弱点

 

凹凸のある増減表

よりリアルな(凹凸まで調べた)グラフを描くためには、

  1. \(f’(x),f’’(x)\)を求め、
  2. 増減表を描き、
  3. \(f’(x),f’’(x)\)の符号から曲がり方を判断すれば良い。
  4. 最後に漸近線チェックを行う。

参考【増減、凹凸を調べ、グラフを描け】意味を考えれば、凹凸グラフは迷わず解けるよ。

 

差がつく!

漸近線ぜんきんせんの求め方

漸近線を調べるためには、

  1. $$a=\lim_{x\to\infty}\left\{\frac{f(x)}{x}\right\} $$の極限の有無を調べてから、
  2. $$b=\lim_{x\to \infty} \left(f(x)-ax\right)$$の極限の有無を調べれば良い。

また、不連続な点での極限を調べれば良い。

参考【漸近線を調べ忘れる君へ】漸近線に必要な知識を徹底的にまとめてみました。

 

陰関数の接線

陰関数の接線は、

  1. 陰関数の微分法を用いて傾きを求め、
  2. 平行移動をすれば良い。

複雑な方程式を持つ図形の接線を求めるためには、陰関数の微分法に帰着させた方が良い、マジで

参考【陰関数の接線】あえて陰関数に持ち込んで、複雑な接線を求めるテクニック

 

差がつく!

媒介変数の接線

$$y-y(t) = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\left(x-x(t)\right)$$

参考【媒介変数表示されたグラフの接線】を、たったの3ステップで求めよう!

 

差がつく!

媒介変数のグラフ

媒介変数表示されたグラフを描くためには、

  1. \(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dy}{dx}\)を求め、
  2. \(\frac{dx}{dt}=0,\frac{dy}{dt}=0\)となる\(t\)の値を求め、
  3. それを元に増減表を描き、グラフで大まかな点を打つ。
  4. 最後にその2点間のカーブの仕方を極限で調べればOK!

参考【媒介変数表示のグラフ】2階微分は絶対するな!極限を使った超カンタン解答方法

 

実践問題

 

共通接線問題

共通接線の方程式を求めるためには、

  1. それぞれの接点における微分係数(接線の傾き)を求め、
  2. 傾きが等しいことや、切片が等しいことを利用して、方程式を解けば良い。

参考【共通接線】たったの2ステップ!解答の作り方まで紹介します。

 

実数解の個数問題

方程式\(f(x)=0\)の実数解の個数を調べるためには、

  1. \(y=f(x)\)のグラフを考えて、
  2. \(x\)軸との交点を調べれば良い。

極値がある場合には、極大値や極小値に着目すれば良い。

参考【実数解の個数】グラフの形や極値、x軸に着目して条件を見つけよう!

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