理系微分

【べき乗の微分公式】証明と考え方→数の集合に注目し、微分公式を総動員!

Today's Topic

$$\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$$

 

今日は最も基本的な微分公式、べき乗の微分公式について考えるよ。
そんなに難しい内容かな?指数を前に出して、1引けばいいんじゃないの?
小春
じゃあ、\(n\)が負のときや実数のときは成り立つのかな?
えっ、成り立ちそうだけど。。。証明はできないなぁ・・・。
小春
今回は学校で疎かにされがちな、数学の発展性に着目して、レベルアップしていこう!

 

こんなあなたへ

「べき乗の微分公式の証明が知りたい!」

「\(n\)が実数の時って、どうして成り立つの?」

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  •  \(\left(x^n\right)'=nx^{n-1}\)の証明
  •  数学の発展的な考え方

 

 

準備1:微分の定義

ここで微分のイメージを軽く復習しておきましょう。

 

微分の一般的な定義は

ポイント

$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$$

でした。

 

これはグラフ上の適当な点と、その点から\(x\)座標が\(h\)だけ増えたもう一点を結んだ直線を意識していましたね。

一般的な微分の意味

 

準備2:数の集合

今回に限らず言えることですが、高校数学では数の集合がかなり重要になります。

今回も自然数や整数、実数と、それぞれ異なる性質を持つ数の特徴を、よく考えてあげなければなりません。

 

『数の集合怪しいなぁ・・・』

という人は今一度、簡単でもいいので復習して見ることをオススメします。

マジで理解度が圧倒的に深まるぞ!!

 

数の集合について復習したい人はこちらを参考にしてください。

小春
むちゃくちゃ簡単に、誰でもわかるようにまとめてあったね。

 

数ⅡBべき乗の微分:自然数のとき→二項定理を使おう

まずは、

はてな

\(n\)が自然数のとき、

$$\left(x^n\right)'=???$$

について考えます。

 

微分の定義を用いると、

$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left(x+h\right)^n-x^n}{h}$$

と表せますね。

 

しかし\(\left(x+h\right)^n\)が少々厄介です。分子をもっと簡単にしなければ、これは解けません。

そこで二項定理と呼ばれるものを用います。

ポイント

\((x+a)^n={}_nC_0x^0a^n+{}_nC_1x^1a^{n-1}+{}_nC_2x^2a^{n-2}+\cdots +{}_nC_{n-1}x^{n-1}a^1+{}_nC_nx^na^0\)

(※見切れている場合はスクロール)

二項定理について復習したい人はこちらを参考にしてください。

【差がつくポイント】二項定理はイメージで覚えろ!重要なポイントと活用場面を総まとめ!

続きを見る

 

これを用いると分子は次のように変形できます。

\begin{align}  (分子)&= \left(x+h\right)^n-x^n\\\ &=\left( {}_nC_0x^0h^n+{}_nC_1x^1h^{n-1}+\cdots +{}_nC_{n-1}x^{n-1}h^1+{}_nC_nx^nh^0\right)-x^n\\\ &= {}_nC_{0}h^n+{}_nC_{1}nh^{n-1}x+\cdots+{}_nC_{n-1}hx^{n-1}\\\ &= h\left({}_nC_{0}h^{n-1}+{}_nC_{1}nh^{n-2}x+\cdots+{}_nC_{n-1}x^{n-1}\right)\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

よって

\begin{align} f'(x)  &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left(x+h\right)^n-x^n}{h}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h\left({}_nC_{0}h^{n-1}+{}_nC_{1}nh^{n-2}x+\cdots+{}_nC_{n-1}x^{n-1}\right)}{h}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\left({}_nC_{0}h^{n-1}+{}_nC_{1}nh^{n-2}x+\cdots+{}_nC_{n-1}x^{n-1}\right)\\\ &= {}_nC_{n-1}x^{n-1}\\\ &= nx^{n-1}\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

となり、次の微分公式が得られます。

 

$$\left(x^n\right)'=nx^{n-1}(nは自然数)$$

 

ただしここで注意して欲しいのは、二項定理を用いている点です。

二項定理は\(n\)が自然数のときにしか使えないという制約があるため、この微分公式は今のところ自然数でしか成り立ちません。

 

小春
結局、整数とか自然数では成り立たないの?
ううん、ちゃんと成り立つよ。ここから順を追って見ていこう!

 

数Ⅲべき乗の微分:整数のとき→負の場合を考えてみよう

ここでは、

はてな

\(n\)が整数のとき、

$$\left(x^n\right)'=???$$

を考えます。

 

今の状況では、自然数であれば微分公式

$$\left(x^n\right)'=nx^{n-1}(nは自然数)$$

を使うことができます。

 

指数\(n\)が整数になっても、この微分公式は成り立つのですが、それには証明が欠かせません。

証明するためには、『\(n\)が負の整数でも成り立つ』ということを証明します。

 

証明方法は至ってシンプル。

先ほど手に入れた微分公式の指数\(n\)が負の数であることを仮定します。

 

考えること

$$\left(x^n\right)'(n<0)$$

 

ここで、

$$n=-m\ (mは正の整数)$$

と置きます。

すると、次のような式変形が行えます。

 

\begin{align} \left(x^n\right)' &=\left(x^{-m}\right)'\\\ &= \left(\frac{1}{x^m}\right)'\\\ \end{align}

 

ここで、商の微分公式を使います。

$$\left(\frac{1}{f(x)}\right)'=-\frac{f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}$$

商の微分公式について復習したい人はこちらを参考にしてください。

 

すると・・・。

\begin{align} \left(\frac{1}{x^m}\right)' &= -\frac{\left(x^m\right)^2}{x^{2m}}\\\ &= -\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}\\\ &= -mx^{(m-1)-2m}\\\ &= -mx^{-m-1}\\\ &= nx^{n-1}\\\ \end{align}
最後に\(-m\)を\(n\)に戻すよ!

 

これで\(n\)が負の整数のときでも、べき乗の微分公式が成り立つことがわかりました。

また、\(n=0\)を代入しても成り立つことから、

$$\left(x^n\right)'=nx^{n-1} \color{red}{(nは整数)}$$

と、より数の世界を広げて考えることができました。

 

数Ⅲべき乗の微分:有理数のとき→逆関数の微分法を活用する

さて、お次は

はてな

\(n\)が有理数のとき、

$$\left(x^n\right)'=???$$

を考えます。

 

どんな有理数も正の整数\(p\)と、特の条件のない整数\(q\)によって、\(\frac{q}{p}\)を表されます。

つまりここでは、

$$n=\frac{q}{p}\ (pは正の整数、qは整数)$$

と置き、

$$y=x^{\frac{q}{p}}$$

について考えれば良いわけです。

 

ここから先は、少し大変なので3ステップに分けて考えていきます

 

step
1
\(x^{\frac{1}{p}}\)の微分を考える

まずは簡単にするために、

$$y=x^{\frac{1}{p}}$$

について考えます。

 

これを両辺\(n\)乗すると、

$$y^p=x \iff x=y^p$$

となり、合成関数の微分法より、

$$\frac{dx}{dy}=py^{p-1}$$

となります。

合成関数の微分法について復習したい人はこちらを参考にしてください。

 

つまり逆関数の微分法を使うと、

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\\\ &= \frac{1}{py^{p-1}}\\\ \end{align}

が得られます。

逆関数について復習したい人はこちらを参考にしてください。

 

 

得られた式の\(y\)を\(x^{\frac{1}{p}}\)に戻します。

\begin{align} \frac{1}{py^{p-1}} &= \frac{1}{p\left( x^{\frac{1}{p}}\right)^{p-1}}\\\ &= \frac{1}{px^{1-\frac{1}{p}}}\\\ &= \frac{1}{p}x^{\frac{1}{p}-1}\\\ \end{align}

 

これにより、

$$\left(x^{\frac{1}{p}}\right)'=\frac{1}{p}x^{\frac{1}{p}-1}$$

とわかりました。

 

step
2
\(x^{\frac{q}{p}}\)の微分を考える

この結果をもとに、関数\(y=x^{\frac{q}{p}}\)を再び、合成関数の微分法で微分していきます。

\begin{align} \frac{d}{dx}x^{\frac{q}{p}} &= \frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{p}}\right)^q\\\ &= q\left(x^\frac{1}{p}\right)^{q-1}\cdot\left(x^\frac{1}{p}\right)'\\\ \end{align}

 

小春
あ、最後に\(\left(x^{\frac{1}{p}}\right)'\)が登場したね。
そう、あとは代入するだけだ。

 

\begin{align} q\left(x^\frac{1}{p}\right)^{q-1}\cdot\left(x^\frac{1}{p}\right)' &= q\left(x^\frac{1}{p}\right)^{q-1}\cdot\frac{1}{p}x^{\frac{1}{p}-1}\\\ &= \frac{q}{p}x^{\frac{q}{p}-1}\\\ \end{align}

 

step
3
\(\frac{q}{p}\)を\(n\)に戻す

最後に、\(\frac{q}{p}=n\)に戻すと、

$$\left(x^n\right)'=nx^{n-1} \color{red}{(nは有理数)}$$

が証明できています。

ここが一番大変なポイントだね。
これまで勉強したいろんな微分法が盛り沢山だね・・・。
小春

 

数Ⅲべき乗の微分:実数のとき→対数微分法を活用する

いよいよ最後、

はてな

\(n\)が実数のとき、

$$\left(x^n\right)'=???$$

を考えましょう。

 

ここでは、対数微分法を用いて解決を試みます。

対数微分法について復習したい人はこちらを参考にしてください。

 

指数関数\(y=x^n\)は、指数関数の前提条件として\(x>0\)でしたね(この条件、後で2回使います)。

指数関数について復習したい人はこちらを参考にしてください。

 

この指数関数の両辺に自然対数をとると、

$$\log y = n\log x$$

となります。

小春
\(\log x\)が考えられるのは、\(x>0\)の条件があるからだね。

 

さらに両辺を\(x\)で微分してあげましょう。

$$\frac{d}{dx} \log y = n \frac{d}{dx} \log x$$

 

対数微分法を行うことで、

$$\frac{y'}{y}=\frac{n}{x}$$

が得られ、

\begin{align} y' &= \frac{ny}{x}\\\ &= n\frac{x^n}{x}\\\ &= nx^{n-1}\\\ \end{align}

となります。

\(x>0\)の条件があるから、\(\frac{○}{x}\)を考えられるよ!

 

以上のことから、

$$\left(x^n\right)'=nx^{n-1} \color{red}{(nは実数)}$$

が証明されました。

 

まとめ

今日は疲れたね。まとめます。

 

まとめ

べき乗の微分公式が成り立つことを証明するためには、

  1. 自然数のとき
  2. 整数のとき
  3. 有理数のとき
  4. 実数のとき

の順に行うと良い。

  • 自然数→二項定理
  • 整数→指数を負とおく
  • 有理数→逆関数・合成関数の微分法
  • 実数→対数微分法

を使えばOK

 

べき乗の微分法は、最も最初に習う単純そうな公式です。

しかしながらその裏には、数の集合ごとにしっかりとした証明が求められる応用問題でもあります。

これまでの微分法の練習問題として、何度かチャレンジしてみるといいですよ。

もちろん証明方法を覚える必要はないよ。これまで学んだ微分法の練習問題として使って見てね。

 

以上、「べき乗の微分公式の証明」についてでした。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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