理系微分

【商の微分公式】証明と覚え方→積の微分公式・逆関数の微分公式に帰着させよう!

商の微分公式

Today's Topic

$$ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$

 

今日は商の微分法を扱うよ!
うえぇえええ、見た目がグロいよぅ・・・
小春
証明を見ればわかるけど、積の微分公式さえわかれば突破できるよ!

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • 商の微分公式の覚え方
  • 商の微分公式の証明

 

 

商の微分公式

 

2つの関数\(f(x),\ g(x)\)の商\(\frac{f(x)}{g(x)}\)の微分は、次のようになります。

ポイント

\(f(x),g(x)\)が微分可能なとき、

$$ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$

 

例題

\(\frac{x^2+1}{\sin x}\)を微分せよ。


(解答)

2つの関数\(f(x)=x^2+1,g(x)=\sin x\)の積とみなすと、

\(f'(x) = 2x, g'(x) = \cos x\)より、

$$\left(\frac{x^2+1}{\sin x}\right)' = \frac{2x\sin x - (x^2+1)\cos x}{\sin^2 x}$$

 

例題

\(\frac{\cos x}{\sin x}\)を微分せよ。


(解答)

2つの関数\(f(x)=\cos x,g(x)=\sin x\)の積とみなすと、

\(f'(x) = -\sin x, g'(x) = \cos x\)より、

\begin{align} \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)'  &= \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}\\\ &= -\frac{1}{\sin^2 x}\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

一見グロそうな見た目をしていますが、積の微分公式に持ち込むことができます

暗記が得意でない人は、積の微分法に帰着させましょう。

 

 

商の微分公式の証明

 

また、証明も積の微分公式に持っていくことを目指します

そこでまず、証明を次の2ステップに分けてみていきましょう。

 

  •  
    STEP1
    逆関数の微分公式の証明
    $$ \left\{\frac{1}{f(x)}\right\}'= -\frac{f'(x)}{f^2(x)}$$を証明します。
  •  
    STEP2
    商の微分公式の証明
    $$ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$を証明します。

 

逆関数の微分公式の証明

 

関数\(g(x)\)は微分可能であるとする。

\begin{align} \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{g\left(x+h\right)}-\frac{1}{g\left(x\right)}}{h}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{g\left(x+h\right)}-\frac{1}{g\left(x\right)}\right)\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{g(x)-g(x+h)}{g\left(x+h\right)\cdot g(x)}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(x)-g(x+h)}{h}\cdot\frac{1}{g\left(x+h\right)\cdot g(x)}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\left(-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\cdot \lim_{h\rightarrow 0}\left(\frac{1}{g\left(x+h\right)\cdot g(x)}\right)\\\ &= -g'(x)\cdot \left(\frac{1}{g\left(x\right)\cdot g(x)}\right)\\\ &= -g'(x)\cdot \left(\frac{1}{g^2(x)}\right)\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

よって

 

$$\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'=-g'(x)\cdot \left(\frac{1}{g^2(x)}\right)$$

 

微分×2乗分の1

と覚えればいいですね!

 

商の微分公式の証明

 

それでは本題の

$$ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$

を証明していきます。

 

$$ \frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}$$

より、積の微分法から

$$ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'= f’(x)\frac{1} {g(x)}+f(x)\left(\frac{1}{g(x)}\right)’$$

となります。

 

STEP1で証明した通り、

$$\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'=-g'(x)\cdot \left(\frac{1}{g^2(x)}\right)$$

なので、

\begin{align} \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' &=f’(x)\frac{1} {g(x)}+f(x)\left(\frac{1}{g(x)}\right)’ \\\ &= f’(x)\frac{1} {g(x)}+f(x)\left(-\frac{g’(x)}{g^2(x)}\right)\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

整理して

$$ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$

となります。

 

まとめ

 

今回は商の微分公式を扱いました。

公式の丸暗記、でも構いませんが、証明の手順通り

  1. 積の微分法に帰着
  2. 逆関数の微分法適用

ができれば、暗記物が1つ減ります。

 

なかなか複雑な形をした公式なので、不安がある場合はぜひ導出できるようになりましょう!

 

以上、「商の微分公式」についてでした。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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