Today's Topic
$$ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$
この記事を読むと、この意味がわかる！
- 商の微分公式の覚え方
- 商の微分公式の証明
商の微分公式
2つの関数\(f(x),\ g(x)\)の商\(\frac{f(x)}{g(x)}\)の微分は、次のようになります。
ポイント
\(f(x),g(x)\)が微分可能なとき、
$$ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$
例題
\(\frac{x^2+1}{\sin x}\)を微分せよ。
（解答）
2つの関数\(f(x)=x^2+1,g(x)=\sin x\)の積とみなすと、
\(f'(x) = 2x, g'(x) = \cos x\)より、
$$\left(\frac{x^2+1}{\sin x}\right)' = \frac{2x\sin x - (x^2+1)\cos x}{\sin^2 x}$$
例題
\(\frac{\cos x}{\sin x}\)を微分せよ。
（解答）
2つの関数\(f(x)=\cos x,g(x)=\sin x\)の積とみなすと、
\(f'(x) = -\sin x, g'(x) = \cos x\)より、
（※見切れている場合はスクロール）
一見グロそうな見た目をしていますが、積の微分公式に持ち込むことができます。
暗記が得意でない人は、積の微分法に帰着させましょう。
商の微分公式の証明
また、証明も積の微分公式に持っていくことを目指します。
そこでまず、証明を次の2ステップに分けてみていきましょう。
-
STEP1逆関数の微分公式の証明$$ \left\{\frac{1}{f(x)}\right\}'= -\frac{f'(x)}{f^2(x)}$$を証明します。
-
STEP2商の微分公式の証明$$ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$を証明します。
逆関数の微分公式の証明
関数\(g(x)\)は微分可能であるとする。
（※見切れている場合はスクロール）
よって
$$\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'=-g'(x)\cdot \left(\frac{1}{g^2(x)}\right)$$
微分×2乗分の1
と覚えればいいですね！
商の微分公式の証明
それでは本題の
を証明していきます。
より、積の微分法から
となります。
STEP1で証明した通り、
なので、
（※見切れている場合はスクロール）
整理して
となります。
まとめ
今回は商の微分公式を扱いました。
公式の丸暗記、でも構いませんが、証明の手順通り
- 積の微分法に帰着
- 逆関数の微分法適用
ができれば、暗記物が1つ減ります。
なかなか複雑な形をした公式なので、不安がある場合はぜひ導出できるようになりましょう！
以上、「商の微分公式」についてでした。
