数Ⅲ 関数

合成関数って、結局なんなんですか?要点だけを徹底マスター!

合成関数について

Today's Topic

2つの関数\(f(x),g(x)\)に対して、

$$f(g(x)), g(f(x))$$

のような関数を合成関数という。

 

小春
合成関数って何。。。難しそう。。。
簡単にいうと、これまで扱ってきた関数\(y=f(x)\)の\(x\)も何かしらの関数になっている場合のことを考えているよ。
小春
関数in関数ってこと?
そゆこと!とても面白い性質があるんだ。
小春
じゃあ今日は、合成関数をマスターさせて欲しいな!

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • 合成関数の意味
  • 合成関数かどうか判断する方法
  • 合成関数の重要性質

 

合成関数講座|そもそも関数とは

合成関数について考える前に、まず関数について理解していないのでは?

 

関数は中学校の頃から導入されますが、あなたは関数とは一体何か説明できますか?

もし説明できるのであれば十分です、この章は読み飛ばしちゃってください!

 

一方で「方程式と区別がつかなかったなぁ」なんていう人は、そもそも関数の意味が理解できていません。

まずは関数の定義を確認しましょう。

 

関数の定義

『\(y\)が\(x\)の関数である』とは、\(x\)の値を1つ決めたとき、\(y\)の値がいつでもただ1つに決まる関係のこと。

 

図で表すとこのようになります。

関数は2つの集合において、一方の要素が一つ決まる時、必ずもう一方が、唯一1つ対応する関係のこと
集合\(X\)に属する\(x\)が、関数\(f\)によって集合\(Y\)に属する\(y\)と唯一結びつくときを関数といい、\(y=f(x)\)と表せるよ。

 

関数でない例

 

すなわち、\(x\)の値を1つ代入して、答えが1つでないものは関数ではありません。

 

例えば、円の方程式\(x^2+y^2=1\)は\(x\)の値を適当に1つ代入したとき、\(y\)の値が2つ定まることがあるので関数ではありません。

円の方程式は関数ではない
小春
\(x=\frac{1}{2}\)を円の方程式に代入すると\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)となるから、解が2つあるとわかるね。

 

独立変数・従属変数

 

続いて言葉のお勉強。

 

\(y\)が\(x\)の関数であるとき、

  • \(x\)を独立変数
  • \(y\)を従属変数

と言います。

またこのとき、\(y\)は\(x\)に依存する、とも言うよ!

 

イメージしやすいように言うと、英語では

  • \(x\)をinput
  • \(y\)をoutput

と言いますよ。

 

日本語堅苦しくて僕は嫌いです。
英語の方がわかりやすいね笑
小春

 

合成関数講座|合成関数の意味と考え方

復習が済んだところで、合成関数の話に入ろう!

 

関数の意味がわかれば、合成関数の意味の把握は難しくありません。

 

\(x\)が\(t\)の関数\(x=g(t)\)、\(y\)が\(x\)の関数\(y=f(x)\)の場合を考えてみましょう。

\(x\)は\(t\)に依存し、その\(x\)に\(y\)は依存するわけですから、当然\(y\)は\(t\)に依存します。

小春
つまり\(y\)は\(t\)の関数というわけだね!

 

このように関数\(y=f(x)\)の独立変数\(x\)もまた、関数\(x=g(x)\)と表されるとき、\(y=f(g(t))\)と書き\(y\)と\(t\)の合成関数と言います。

 

\(f(g(t))\)を\(\left(f\circ g\right)(t)\)と書くこともありますが、それは図の赤線のようにショートカットした矢印のことを指しています。

f○g

 

具体的な例題を見てみましょう。

例題

\(f(x)=x^2\),\(g(x)=2x+1\)とするとき、\(f(g(x))\)の値を求めよ。

 

そもそも\(f(a)\)の値は?
\(f(a)=a^2\)でしょ?
小春
じゃあ\(f(a+b)\)は?
\(f(a+b)=(a+b)^2\)でしょ?それくらいわかるよ・・・
小春
じゃあ\(f(g(x))\)は?
えっと、、、これ?
小春

\(f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)^2\)

その通り!

 

ご覧の通り、合成関数の演算は独立変数\(x\)を関数\(g(x)\)に書き換える作業、もしくは代入とみなすことができます

ポイント

合成関数\(f(g(x))\)は、関数\(f(t)\)の独立変数\(t\)が、関数\(g(x)\)に書き換わっているとみなせばOK。

 

合成関数の例

 

具体的な合成関数をみて、もっと合成関数の感覚を育てましょう。

 

(例1)\(y=(2x+1)^2\)

この関数は、\(y=u^2\)の独立変数\(u\)が、関数\(u=2x+1\)に書き換わっているとみることができます。

よって合成関数であることがわかります。

 

(例2)\(y=\sin(3x+1)\)

この関数は\(y=\sin\theta\)の独立変数\(\theta\)が、関数\(\theta=3x+1\)に書き換わっているとみることができます。

よって合成関数であることがわかります。

 

慣れてきたかな?もう2つやってみよう!

 

(例3)\(y=\log (\frac{1}{2}x)^3\)

この関数は\(y=\log u\)の独立変数\(u\)が、関数\(u=\left(\frac{1}{2}x\right)^3\)に書き換わっているとみることができます。

またこの関数\(u\)も\(u=v^3\)の独立変数\(v\)が関数\(v=\frac{1}{2}x\)に書き換わっているとみることができます。

よって3つの関数の合成関数であることがわかります。

 

(例4)\(y=\log \left(-\frac{1}{2}|x|\right)\)

この関数は\(y=\log u\)の独立変数\(u\)が、関数\(u=-\frac{1}{2}|x|\)に書き換わっていると見なせます。

ところが、関数\(u\)の値は常に負となり、その\(u\)を自然対数の真数とすることはできません(真数条件)

つまり合成関数ではあるが、定義はできないということです。

合成関数にできないのではなく、できたけど存在しないのです。

 

合成関数講座|まとめ

最後にまとめです!

 

まとめ

  • \(x\)の値を1つ決めると、\(y\)の値もただ1つに決まる関係を『\(y\)は\(x\)の関数』といい、\(y\)を従属変数、\(x\)を独立変数という。
  • 合成関数\(f(g(x))\)を簡単に考えるためには、ある関数\(f(t)\)の独立変数\(t\)もまた関数\(t=g(x)\)であると見なせば良い。
  • \(f(g(x))\)を\(\left(f\circ g\right)(x)\)と表すこともある

 

合成関数は、関数の基本的な知識があれば全く難しくありませんね。

今後重要な位置を占めてくる関数なので、ぜひ覚えておきましょう。

 

以上、「合成関数について」でした。

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