対数 数Ⅱ

【感覚で理解できる!】常用対数とは?意味と使い方を徹底解説!!

Today's Topic

$$常用対数=\log_{10} x$$

 

小春
楓く〜ん、常用対数が訳わかんないよぅ〜泣
え、そう?意味さえわかれば超簡単だし便利だよ。丸暗記してるんじゃない?
小春
ギクッ!えっと、その、意味を知りたいなぁ。。。

 

こんなあなたへ

「対数の意味はわかったけど、常用対数がわからない!」

「なんで桁数が求められるの?」

 

この記事を読むと、この問題が解ける!

  •  \(2^{100}\)の桁数と最高位の数を求めよ。

答えは記事の一番下で解説するね!

 

指数・対数を一気に理解したい方への記事は、こちらにまとめてあります。

 

常用対数講座|常用対数とは?

まず常用対数とはなんなのか、を説明してきます。

 

常用対数の定義

底が10の対数のこと。

$$常用対数=\log_{10} x$$

対数について不安がある方は、一度対数の記事に戻って復習しといてね!

 

対数について復習したい人はこちらを参考にしてください。

 

小春
定義自体は簡単だけど、これで結局何がしたいの?
そう!重要なのはそこ!その気持ちを大事にしてね!

 

常用対数は結局、対数の問題の一部にすぎません。

そして対数は指数を考えることで理解の難易度を下げることができましたね。

 

具体的に常用対数を考えてみましょう。

 

例題

\(\log_{10} 200\)について考えてみよう。ただし、\(\log_{10}2 = 0.3010\)とする。

 

\begin{align} \log_{10}200 &= \log_{10}(2\times 100)\\\ &= \log_{10}2+\log_{10}100\\\ &= \log_{10}2+2\times\log_{10}10\\\ &= 0.3010+2\\\ &= 2.3010\\\ \end{align}

 

小春
こんなの簡単じゃん?

 

得られた解について考えていきましょう。

 

\(\log_{10}200 = 2.3010\)より、\(10^{2.3010}=200\)

と表すことができますね。

 

日本語訳してみると、「200は10の2.3010乗」。

 

つまり200という数を表現するには、10が2.3010個かけ合わさっているとわかります。

小春
要は、10の個数を知りたいの?
そゆこと!

 

常用対数講座|10の個数を調べることは桁数を調べること

では、かけ合わさっている10の個数がわかって、何かいいことがあるのでしょうか。

小春
あ、桁数がわかる!
そゆことーーーー!

 

例えば、1,10,100,1000について考えてみましょう。

\(1=10^0\)・・・1桁
\(10=10^1\)・・・2桁
\(100=10^2\)・・・3桁
\(1000=10^3\)・・・4桁

というように桁数は10の個数+1で表せます

 

つまり先ほどの

$$200=10^{2.3010}=10^{0.3010}\times 10^2$$

10が2つあるので\(2+1=3\)桁の数ということがわかります。

 

\(10^{0.3010}\)は、\(10^{0.3010}<10^1\)より10未満なので、桁数には影響を及ぼしません。

 

もっと複雑な事例を見てみよう。

 

常用対数講座|桁数を求める

例題

\(2^{30}\)の桁数を求めなさい。ただし\(\log_{10}2 = 0.3010\)とする。

 

あなたは2を30回かけた数、求めたいですか?

 

 

このとき「めんどくさいなぁ」と思うことが大事。

効率的に桁数を求めてしましょう。

 

(解答)
\begin{align} \log_{10}2^{30} &= 30\times \log_{10}2\\\ &= 30\times 0.3010\\\ &= 9.03\\\ \end{align}

 

よって\(2^{30}=10^{9.03}=10^{0.3}\times 10^9\)とわかります。

 

9.03を整数部分9と小数部分0.3に分けたのは、10かそれ未満かを判別するためです。

 

10の指数が1より小さい場合は、10を超えることがありません。そのため、桁数を考える上ではただのゴミ

 

つまり、\(2^{30}\)は10が9回かけられていることがわかったので、9+1=10桁の数とわかります。

 

これにより、\(2^{30}\)は10桁の数という相当大きな数であることがわかります。

 

小春
\(10^{0.3}\)はどうやって求めるの?
それは計算機を使ったほうがいいだろうね。

 

桁数を求めるポイント

\(2^{30}=10^{9.03}=10^{0.3}\times 10^9\)とわかったあと、数学の教科書では次のようにまとめられます。

 

教科書例

\(10^9<10^{9.03}<10^{10}\)より、\(2^{30}=10^{9.03}\)は10桁の数。

 

これは、すでに説明したように桁数が10の個数+1と一致することを暗に説明しています。

 

小さい数で考えてみるとわかりやすいのです。

\(10^\color{red}{2}<134<10^{3}\)より、\(134\)は\(\color{red}{2}+1=3\)桁の数。

 

 

これをまとめると、

ポイント

ある正の数\(x\)が\(10^n<x<10^{n+1}\)と表されるとき、\(x\)は\(n+1\)桁の数である。

となります。

 

常用対数講座|常用対数表の見方

最後に常用対数表について確認しておこう!

 

これまでの例題の中で、

ただし\(\log_{10}2 = 0.3010\)、\(\log_{10}3 = 0.4771\)とする。

なんていうものが出てきました。

 

このように問題で常用対数の答えが与えられるのは、一般に人間の手で常用対数の値を算出することが(テスト時間内に)できないためです。

 

そこで人間はコンピューターを使い、ある程度の常用対数を計算し、近似値が一目でわかる常用対数表というものを作りました。

 

常用対数表

常用対数表

 

例えば、\(\log_{10}2\)の値について調べたいとき。

まず縦軸には真数の小数第1位までの数が書かれていて、横軸には真数の小数第2位の数が書かれています。

 

今回の場合、2=2.00なので、縦が2.0、横が0の交差地点を調べます。

2の常用対数を調べる

交差地点には小数第1位以下の数が記載されているので、\(\log_{10}2=0.310\)となります。

 

今でこそスマホでぺぺーっと調べればすぐに答えは得られますが、経済分野などの大金を管理するシーンでは大きな役割を今でも担っています

 

常用対数講座のまとめ

それでは最後に、常用対数のまとめをしておきましょう。

 

まとめ

  1. ある正の数\(x\)が\(10^n<x<10^{n+1}\)と表されるとき、\(x\)は\(n+1\)桁の数である。
  2. ある小数\(y\)が\(10^{-n}<y<10^{-(n+1)}\)と表されるとき、\(y\)は小数第\(n+1\)位に0以外の数が現れる。
  3. 大きすぎる数や、小さすぎる数を扱いやすくするときに便利!

 

このように、対数はとにかく大きすぎる数を計算しやすくできるというメリットがあることを押さえておいてください!

 

また、常用対数は小数にも応用することができ、こちらも頻出問題となっていますので、ぜひチェックしてみてください。

『第何位に0位外の数が現れるか』解法パターン→とりあえず常用対数と『10と小数点』を把握しておけばOK

続きを見る

 

以上、「常用対数について」でした。

 

チェック問題

 

問題

 \(2^{100}\)の桁数と最高位の数を求めよ。

 

$$\log_{10}2^{100} = 100\times \log_{10} 2 = 30.10$$

より、

$$2^{100}=10^{30.10}=10^{30} \times 10^{0.1} $$

 

$$10^{30}<10^{30.10}<10^{31}$$

より、31桁の数である。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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