『第何位に0位外の数が現れるか』解法パターン→とりあえず常用対数と『10と小数点』を把握しておけばOK

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〜は小数第何位に0以外の数が現れるか。

楓

今回は常用対数を応用して、小数を扱うよ。

常用対数は10がいくつ掛けられているか、表した数のことだったね。

小春

こんなあなたへ

「小数第何位に0以外の数が現れるか。って聞かれても困る泣」

「常用対数の使い方をマスターしたい。」

この記事を読むと、この意味がわかる！

$\left(\frac{2}{3}\right)^{21}$は小数第何位に0以外の数が現れるか。

楓

答えは記事のいちばん下で解説するね！

指数・対数を一気に理解したい方への記事は、こちらにまとめてあります。

まとめ記事

Contents

1 常用対数と小数の捉え方
2 小数点の位置と10との関係性
3 小数第何位に0以外の数が来るか求めるコツ
4 まとめ

常用対数と小数の捉え方

常用対数は、10がいくつ掛けられているかを表す数。

例えば、

$$\log_{10} 200 = 2.3010$$

より、200は10を$2.3010$回掛けることで得られます。

常用対数は、大きな数の桁数を求める際に活躍しますが、

$$0.1 = \frac{1}{10}$$

と捉えることで、小数でも応用することが可能です。

小数点の位置と10との関係性

$0.3=3\times10^{-1}$・・・小数第1位に3
$0.07=7\times10^{-2}$・・・小数第2位に7
$0.004=4\times10^{-3}$・・・小数第3位に4

であることから、$10^{-n}$がかけられた数は小数第$n$位に0以外の数が出てくるとわかります。

これにより、与えられた値がどれほど小さな数なのかを調べることができます。

例題

$\left(\frac{5}{6}\right)^{200}$は小数第何位に0以外の数が出現しますか？ただし$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$とする。

$\frac{5}{6}$は1よりも小さいので、掛け算してくほど小さくなります。

これを念頭に、常用対数を考えてみましょう。

\begin{align} \log_{10}\left(\frac{5}{6}\right)^{200} &= 200\times\log_{10}\left(5\div 6\right)\\\ &= 200\times\left(\log_{10}5 -\log_{10}6\right)\\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）

ここで、$5＝\frac{10}{2}$より

ポイント

\begin{align} \log_{10}5 &= \log_{10}\frac{10}{2}\\\ &= \log_{10}10-\log_{10}2\\\ &=1-\log_{10}2\\\ \end{align}

と変形できます。

楓

この変形はよく出るから覚えとくと便利！

また、

$$\log_{10}6=\log{10}\left(2\times3\right)=\log_{10}2+\log_{10}3$$

（※見切れている場合はスクロール）

と変形できます。

よって、

\begin{align} \log_{10}\left(\frac{5}{6}\right)^{200} &= 200\times\left(\log_{10}5 -\log_{10}6\right)\\\ &=200\times\left(1-\log_{10}2-\left(\log_{10}2+\log_{10}3\right)\right)\\\ &=200\times\left(1-\log_{10}2-\left(\log_{10}2+\log_{10}3\right)\right)\\\ &=200\times\left(1-0.3010-0.3010-0.4771\right)\\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）

これを計算すると-15.82。

つまり、$\left(\frac{5}{6}\right)^{200}=10^{-15.82}$とわかりますね。

\begin{align} 10^{-15.82} &= \left(\frac{1}{10}\right)^{15+0.82}\\\ &= \left(\frac{1}{10}\right)^{15}\times\left(\frac{1}{10}\right)^{0.82}\\\ \end{align}

となることから、$\left(\frac{5}{6}\right)^{200}$は$\left(\frac{1}{10}\right)$が15個かけられている数ということになります。

15.82=15+0.82と分けたのは$\left(\frac{1}{10}\right)=10^{-1}$よりも大きい数か判断するためです。

$\left(\frac{1}{10}\right)$の指数が1より小さい場合は、$\left(\frac{1}{10}\right)$よりも大きくなります。

楓

$-1<-0.8<-0.006$と同じように、$10^{-1}<10^{-0.8}<10^{-0.006}$となるってことね。

小数第何位に0以外の数が来るか求めるコツ

さて、小数の場合は、ここから先ちょっとコツが必要です。

まずは実験から。

例えば、

$0.004=0.4\times0.01=0.4\times10^{-2}=0.4\times\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$

（※見切れている場合はスクロール）

と表せますが・・・。

0.004は小数第3位に0以外の数が来ますが、この3という数は$\left(\frac{1}{10}\right)$の指数＋1と一致しています。

つまり

$$（0.1以上1未満の数）\times\left(\frac{1}{10}\right)^{n}$$

の形にできれば、小数第$n+1$位に0以外の数が来ることがわかります。

では問題に戻りましょう。

$$\left(\frac{5}{6}\right)^{200}=10^{-15.82}=10^{-15}\times10^{-0.82}$$

と変形できました。

$$10^{-1}=0.1<10^{-0.82}<10^{0}=1$$

より、$10^{-0.82}=0.1〜$は小数第1位が1の数です。

つまり、$\left(\frac{5}{6}\right)^{200}=(0.1以上の数)\times10^{-15}$ということになります。

このことから、$\left(\frac{5}{6}\right)^{200}$は小数第$15＋1＝16$位の数ということがわかりました。

$10^{-16}<10^{-15.82}<10^{-15}$に着目してまとめると、

ポイント

ある小数$y$が$10^{-(n+1)}<y<10^{-n}$と表されるとき、$y$は小数第$n+1$位に0以外の数が現れる。

となります。

$$10^{-(15+1)}<10^{-(15+0.82)}<10^{-15}$$

であること、

そして$10^{-0.82}$が0.1以上1未満の数なので判定材料にならず、$10^{-15}$さえわかれば小数15＋1＝16位に0以外の数が来ることを押さえましょう！

まとめ

楓

最後にまとめをしておきましょう。

まとめ

『$x$は小数第何位に0以外の数が来るか』問題は、常用対数を用いて$x$を$10^{-n}$の形にすれば良い。
ある小数$y$が$10^{-n}<y<10^{-(n+1)}$と表されるとき、$y$は小数第$n+1$位に0以外の数が現れる。

常用対数を使った桁数や、『第何位に0位外の数』問題はパターンがほぼ決まっています。

常用対数を使う意味も、とにかく10がいくつ分か知りたいということだけにフォーカスされているので、とても扱いやすいです。

ぜひマスターしてください！

以上、「常用対数を用いた『第何位に0位外の数』の解き方」についてでした。

チェック問題

問題

$\left(\frac{2}{3}\right)^{21}$は小数第何位に0以外の数が現れるか。

\begin{align} \log_{10}\left(\frac{2}{3}\right)^{21} &= 21\times\left( \log_{10}2 - \log_{10}3\right)\\\ &= -3.6981\\\ \end{align}

より、

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{21} =\left(\frac{1}{10}\right)^{3.6981} $$

$$\left(\frac{1}{10}\right)^{4}<\left(\frac{1}{10}\right)^{3.6981}<\left(\frac{1}{10}\right)^{3}$$

よって小数第4位に0位外の数が現れる。

『第何位に0位外の数が現れるか』解法パターン→とりあえず常用対数と『10と小数点』を把握しておけばOK

常用対数と小数の捉え方

小数点の位置と10との関係性

小数第何位に0以外の数が来るか求めるコツ

まとめ

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