対数 数Ⅱ

『第何位に0位外の数が現れるか』解法パターン→とりあえず常用対数と『10と小数点』を把握しておけばOK

Today's Topic

〜は小数第何位に0以外の数が現れるか。

 

今回は常用対数を応用して、小数を扱うよ。
常用対数は10がいくつ掛けられているか、表した数のことだったね。
小春

 

 

こんなあなたへ

「小数第何位に0以外の数が現れるか。って聞かれても困る泣」

「常用対数の使い方をマスターしたい。」

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  •  \(\left(\frac{2}{3}\right)^{21}\)は小数第何位に0以外の数が現れるか。

答えは記事のいちばん下で解説するね!

 

指数・対数を一気に理解したい方への記事は、こちらにまとめてあります。

常用対数と小数の捉え方

常用対数は、10がいくつ掛けられているかを表す数。

 

例えば、

$$\log_{10} 200 = 2.3010$$

より、200は10を\(2.3010\)回掛けることで得られます。

 

常用対数は、大きな数の桁数を求める際に活躍しますが、

$$0.1 = \frac{1}{10}$$

と捉えることで、小数でも応用することが可能です。

 

小数点の位置と10との関係性

 

\(0.3=3\times10^{-1}\)・・・小数第1位に3
\(0.07=7\times10^{-2}\)・・・小数第2位に7
\(0.004=4\times10^{-3}\)・・・小数第3位に4

であることから、\(10^{-n}\)がかけられた数は小数第\(n\)位に0以外の数が出てくるとわかります。

 

これにより、与えられた値がどれほど小さな数なのかを調べることができます。

 

 

例題

\(\left(\frac{5}{6}\right)^{200}\)は小数第何位に0以外の数が出現しますか?ただし\(\log_{10}2 = 0.3010\)、\(\log_{10}3 = 0.4771\)とする。

 

\(\frac{5}{6}\)は1よりも小さいので、掛け算してくほど小さくなります

 

これを念頭に、常用対数を考えてみましょう。

 

\begin{align} \log_{10}\left(\frac{5}{6}\right)^{200} &= 200\times\log_{10}\left(5\div 6\right)\\\ &= 200\times\left(\log_{10}5 -\log_{10}6\right)\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

 

ここで、\(5=\frac{10}{2}\)より

ポイント

\begin{align} \log_{10}5 &= \log_{10}\frac{10}{2}\\\ &= \log_{10}10-\log_{10}2\\\ &=1-\log_{10}2\\\ \end{align}

と変形できます。

この変形はよく出るから覚えとくと便利!

 

また、

$$\log_{10}6=\log{10}\left(2\times3\right)=\log_{10}2+\log_{10}3$$

(※見切れている場合はスクロール)

と変形できます。

 

よって、

\begin{align} \log_{10}\left(\frac{5}{6}\right)^{200} &= 200\times\left(\log_{10}5 -\log_{10}6\right)\\\ &=200\times\left(1-\log_{10}2-\left(\log_{10}2+\log_{10}3\right)\right)\\\ &=200\times\left(1-\log_{10}2-\left(\log_{10}2+\log_{10}3\right)\right)\\\ &=200\times\left(1-0.3010-0.3010-0.4771\right)\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

これを計算すると-15.82。

 

つまり、\(\left(\frac{5}{6}\right)^{200}=10^{-15.82}\)とわかりますね。

 

\begin{align} 10^{-15.82} &= \left(\frac{1}{10}\right)^{15+0.82}\\\ &= \left(\frac{1}{10}\right)^{15}\times\left(\frac{1}{10}\right)^{0.82}\\\ \end{align}

となることから、\(\left(\frac{5}{6}\right)^{200}\)は\(\left(\frac{1}{10}\right)\)が15個かけられている数ということになります。

 

15.82=15+0.82と分けたのは\(\left(\frac{1}{10}\right)=10^{-1}\)よりも大きい数か判断するためです。

 

\(\left(\frac{1}{10}\right)\)の指数が1より小さい場合は、\(\left(\frac{1}{10}\right)\)よりも大きくなります。

\(-1<-0.8<-0.006\)と同じように、\(10^{-1}<10^{-0.8}<10^{-0.006}\)となるってことね。

 

小数第何位に0以外の数が来るか求めるコツ

さて、小数の場合は、ここから先ちょっとコツが必要です。

 

まずは実験から。

 

例えば、

\(0.004=0.4\times0.01=0.4\times10^{-2}=0.4\times\left(\frac{1}{10}\right)^{2}\)

(※見切れている場合はスクロール)

と表せますが・・・。

 

0.004は小数第3位に0以外の数が来ますが、この3という数は\(\left(\frac{1}{10}\right)\)の指数+1と一致しています。

 

つまり

$$(0.1以上1未満の数)\times\left(\frac{1}{10}\right)^{n}$$

の形にできれば、小数第\(n+1\)位に0以外の数が来ることがわかります。

 

では問題に戻りましょう。

$$\left(\frac{5}{6}\right)^{200}=10^{-15.82}=10^{-15}\times10^{-0.82}$$

と変形できました。

 

$$10^{-1}=0.1<10^{-0.82}<10^{0}=1$$

より、\(10^{-0.82}=0.1〜\)は小数第1位が1の数です。

 

つまり、\(\left(\frac{5}{6}\right)^{200}=(0.1以上の数)\times10^{-15}\)ということになります。

 

このことから、\(\left(\frac{5}{6}\right)^{200}\)は小数第\(15+1=16\)位の数ということがわかりました。

 

\(10^{-16}<10^{-15.82}<10^{-15}\)に着目してまとめると、

ポイント

ある小数\(y\)が\(10^{-(n+1)}<y<10^{-n}\)と表されるとき、\(y\)は小数第\(n+1\)位に0以外の数が現れる。

となります。

 

$$10^{-(15+1)}<10^{-(15+0.82)}<10^{-15}$$

であること、

 

そして\(10^{-0.82}\)が0.1以上1未満の数なので判定材料にならず、\(10^{-15}\)さえわかれば小数15+1=16位に0以外の数が来ることを押さえましょう!

 

まとめ

最後にまとめをしておきましょう。

 

まとめ

  1. 『\(x\)は小数第何位に0以外の数が来るか』問題は、常用対数を用いて\(x\)を\(10^{-n}\)の形にすれば良い。
  2. ある小数\(y\)が\(10^{-n}<y<10^{-(n+1)}\)と表されるとき、\(y\)は小数第\(n+1\)位に0以外の数が現れる。

 

常用対数を使った桁数や、『第何位に0位外の数』問題はパターンがほぼ決まっています。

 

常用対数を使う意味も、とにかく10がいくつ分か知りたいということだけにフォーカスされているので、とても扱いやすいです。

 

ぜひマスターしてください!

以上、「常用対数を用いた『第何位に0位外の数』の解き方」についてでした。

 

チェック問題

 

問題

\(\left(\frac{2}{3}\right)^{21}\)は小数第何位に0以外の数が現れるか。

 

\begin{align} \log_{10}\left(\frac{2}{3}\right)^{21}  &= 21\times\left( \log_{10}2 - \log_{10}3\right)\\\ &= -3.6981\\\ \end{align}

 

より、

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{21} =\left(\frac{1}{10}\right)^{3.6981} $$

 

$$\left(\frac{1}{10}\right)^{4}<\left(\frac{1}{10}\right)^{3.6981}<\left(\frac{1}{10}\right)^{3}$$

 

よって小数第4位に0位外の数が現れる。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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