二次関数

秒速理解!二次関数でよく使う変形と、使う意味や場面をまとめました!

Today's Topic

平方完成や一般形など、二次関数の様々な形と意味

 

さて今回は二次関数でよく使う変形についてまとめるよ!
そんなにたくさん変形の仕方ってあるの?
小春
主に使うの3種類。問題を見て、知りたい情報に合わせて、適切な変形をして行こうね!

 

こんなあなたへ

「問題を見て何をしていいかわからない」

「変形の仕方も変形する意味もわからない・・・。

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  •  点\((2,-3)\)を頂点とし、点\((4,-7)\)を通るような放物線の方程式を求めよ。
  •  二次関数\(y=\frac{1}{2}x^2-x+1\)の最大値、最小値があれば求めよ。

答えは最後で紹介するよ!

 

二次関数の変形①:平方完成

 

平方完成の形にした二次関数からは、次のようなことがわかります。

  • グラフが描ける!
  • 軸の方程式がわかる!
  • 頂点の座標がわかる!
小春
つまりこの3つの情報が欲しいときに、平方完成をすればOKってことね!

 

$$y=x^2-5x+6 = \left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{9}{4}$$

 

平方完成の方法については、こちらで詳しくまとめています。

 

【中学数学から解説!】平方完成とは?公式の意味と変形の仕方→無理やり二乗を作ると、グラフの動きがわかる!

続きを見る

 

平方完成は、基本的には平行移動の仕方を知るための変形。

頂点が原点の放物線を基準に、どのようにズレたのかがわかります。

平方完成形は平行移動の仕方がわかる

 

ただよく観察してみると、

  • 頂点の座標は、原点から平行移動している
  • 軸は\(x\)軸と垂直に交わり、頂点を通る直線のこと

なので、おまけのような形で頂点の座標と、軸の方程式を得られます。

平方完成形から頂点の座標や、軸の方程式がわかる

 

二次関数の変形②:因数分解

 

因数分解の形にした二次関数からは、次のようなことがわかります。

  • \(x\)軸と交わるかどうか
  • \(x\)軸との交点座標
小春
つまり\(x\)軸と交わるか、ということだけ知りたいときに使えばいいね!

 

$$y=x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$$

 

因数分解形にすることで、\(y=0\)となるような\(x\)の値が瞬時に求められるようになります。

因数分解形にすると、x軸との交点座標がわかる

 

二次関数の変形③:一般形

 

一般形とは展開された形のこと。

$$y=x^2-5x+6$$

 

この形を使うのは、基本的に

  • 放物線とほかのグラフの交点を求める
  • 3つの点が与えられ、それらを通る放物線の方程式を求める

ときだけです。

 

実際に問題を見てみましょう。

 

例題

放物線\(y= \left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\)と直線\(y=x+1\)の交点座標を求めよ。


$$ \left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{9}{4} = x+1$$

を解けば良い。

左辺を展開して、

$$x^2-5x+6 = x+1$$

整理すると、

$$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$$

よって、\(x=1,5\)のとき放物線と直線は交わる。

\(x=1\)のとき、\(y=2\)

\(x=5\)のとき、\(y=6\)

よって交点は、\((1,2),(5,6)\)

2時間数の標準形は計算の時に使う

 

小春
計算の時は、一般形の方が便利なんだね!
一般形にしない方がいい場合もあったりするんだけど、それは基本的に計算手法のお話になるよ。

 

二次関数の変形まとめ

最後にまとめるよー

 

まとめ

  • グラフを描く・軸を求める・座標を求めるためには、平方完成形にすれば良い。
  • \(x\)軸との交点を求めるためには、因数分解形にすれば良い。
  • 計算をする時は、一般形にするといいことが多い。

 

むやみやたらに、適当な変形をしても、不必要な情報だけが集まるだけ

次第に自分が何をしたいのか、何を求めればいいのか分からなくなってしまいますよ。

 

問題を見て、解答のためには何の情報が必要なのか、よく考えた上でこれらのツールを使うようにしましょう。

 

以上、「二次関数 よくある変形について」でした。

 

チェック問題

 

例題

点\((2,-3)\)を頂点とし、点\((4,-7)\)を通るような放物線の方程式を求めよ。

 

頂点の座標が分かっているので、平方完成形をもとに考えてみると便利です。

 

求める二次関数の方程式を\(y=a(x-p)^2+q\)とする。

頂点が\((2,-3)\)なので、\(y=a(x-2)^2-3\)となる。

 

点\((4,-7)\)を通るので、これに代入して\(a\)を求めれば良い。

小春
計算問題になるから一般形にするよ。

 

\begin{align} y &= a(x-2)^2-3\\\ &= ax^2-6ax+(4a-3)\\\ \end{align}

 

\(x=4,y=-7\)を代入すると、

$$-7 = 16a-24a+4a-3$$
$$-4a=-4$$
$$a=-1$$

 

よって\(y=-(x-2)^2-3\)

 

 

例題

 二次関数\(y=\frac{1}{2}x^2-x+1\)の最大値、最小値があれば求めよ。

 

最大値、最小値はグラフの形さえわかればOKだね。
ということは、平方完成すればいいのね。
小春

 

\begin{align} y &= \frac{1}{2}x^2-x+1 \\\ &= \frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}\\ \end{align}

 

 

これは頂点\((1,\frac{1}{2})\)、下に凸のグラフを描く。

最大値最小値を求める時は、平方完成すればOK

よって

  • 最小値\(\frac{1}{2}(x=1のとき)\)
  • 最大値なし

 

\今回の記事はいかがでしたか?/

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