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【一次式のカタマリ積分】いちいち展開しなくてもOK!文系でも積分速度バク上がりのテクニック

Today's Topic

\(F'(x)=f(x)\)のとき、

$$\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a} F(ax+b)+C$$

 

今日は積分テクニックの基本、『一次式のカタマリ積分』を紹介するよ!
このテクニックをマスターすると、何がいいの?
小春
とりあえず基本的な積分は一瞬で片付くようになる!文系の人でも使えるテクニックだよ!
それは嬉しいな。使えるかどうかの判断基準も教えてね!
小春

 

この記事を読むと、この問題が秒で片付く!

  •  $$\int_0^3 \sqrt{2x+1}dx$$
  • $$\int (7x+2)^5dx$$

 

 

『一次式のカタマリ積分』とは

 

一次式のカタマリ積分とは

$$\int \color{red}{(3x+5)}^4 dx$$

$$\int \frac{1}{\color{red}{1-x}}dx$$

のように、式中に()でくくれるような一次式がある積分のこと。

小春
()でくくられた一次式をカタマリと言っているのね。
カタマリって僕が勝手に言っているだけだけどね。

 

他にも

$$\int \sqrt{\color{red}{x-4}}dx$$

$$\int \log{\color{red}{(x+1)}}dx$$

など、応用の幅はかなり広いです。

 

 

特に文系の方は、

$$\int (2x+1)^3dx$$

のような積分を展開をしなくてもできるようになるので、メリットはかなり大きいです。

 

『一次式のカタマリ積分』の解き方

それではテクニックの方法をご紹介します。

 

さっそくですが、手法のまとめはこんな感じ。

ポイント

『一次式のカタマリ』がある積分では、

  1. カタマリ部分を変数とみなして積分し、
  2. \(x\)の係数の逆数をかければ良い。

 

詳しく見ていきましょう。

 

STEP1:カタマリ部分を変数とみなして積分

 

『一次式のカタマリ』がある合成関数の積分は、カタマリ部分を1つの変数とみることでおおよその答えが求められます。

 

 

例題

$$\int (3x-2)^2dx$$

 

この例題では、\((3x-2)\)を『一次式のカタマリ』とみなすことができますね。

これを適当な変数■としてみましょう。

 

そのまま積分すると、

\begin{align} \int (3x-2)^2dx &= \int ■^2dx\\\ &= \frac{1}{3}■^3+C(Cは積分定数)\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

となります。

 

これがカタマリ部分を変数として積分するってことね。

 

STEP2:\(x\)の係数の逆数をかける

 

ではSTEP1で得られた

$$\frac{1}{3}■^3+C$$

の■をもとに戻して、

$$\frac{1}{3}(3x-2)^3+C$$

としましょう。

 

これを、逆に微分してみましょうか。

\begin{align} \left(\frac{1}{3}(3x-2)^3+C\right)' &= 3\cdot \frac{1}{3}(3x-2)^{3-1}\cdot (3x-2)'\\\ &= \color{red}{3}(3x-2)^2\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

小春
Cは定数だから、微分すると0になるね。
ちなみにこの微分は合成関数の微分法を用いるよ。

合成関数の微分法について復習したい人はこちらを参考にしてください。

 

与えられた式のインテグラルの中身

$$(3x-2)^2$$

と、微分して得た

$$\color{red}{3}(3x-2)^2$$

を比較してみると、後者の方が3倍だけ大きくなっています。

 

よって、調節のために\(\frac{1}{3}\)をかけてあげて

$$\color{red}{\frac{1}{3}}\cdot\frac{2}{3}(3x-2)^3+C$$

が答えとなります。

 

これは合成微分のとき、

$$\left(\frac{2}{3}(3x-2)^3+C\right)' = 3\cdot \frac{2}{3}(3x-2)^{3-1}\cdot \color{red}{(3x-2)'}$$

(※見切れている場合はスクロール)

の赤色部分が影響しています。

 

一次式のカタマリ積分では、この赤色の部分は必ず\(x\)の係数となりますね。

つまりSTEP1の後に、調節のために一次式のカタマリにおける\(x\)の係数の逆数をかけてあげればOKです。

 

一次式のカタマリ積分の使える場面

 

ポイント

『一次式のカタマリ』がある積分では、

  1. カタマリ部分を変数とみなして積分し、
  2. \(x\)の係数の逆数をかければ良い。

 

とのことでしたが、このSTEP2が行えるのは一次式だからこそです。

 

例えば、次のような問題のときは、このSTEP2が行えません。

 

例題

$$\int (2x^2+1)^2 dx$$

 

まずはSTEP1。

\(2x^2+1\)をカタマリとみなして積分すると、

\begin{align} \int ■^2dx &= \frac{1}{3}■^3+C\\\ &=\frac{1}{3} (2x^2+1)^3+C\\\ \end{align}

となります。

 

次にSTEP2。

カタマリを微分すると\(4x\)になるので、調節のために\(\frac{1}{4x}\)をかけて

$$\frac{1}{12}\cdot\frac{(2x^2+1)^3}{4x}$$

となります。

 

しかしこれを微分しようとすると、商の微分公式を用いて、かなり複雑な式になることは言うまでもありませんね。

 

一次式のカタマリは微分すると、調節可能な定数になるためこのテクニックが使えるのです。

まとめ

もう一回まとめを書くよ!

 

まとめ

『一次式のカタマリ』がある積分では、

  1. カタマリ部分を変数とみなして積分し、
  2. \(x\)の係数の逆数をかければ良い。
小春
STEP2の逆数をかけるのは、カタマリを微分した時に生まれる定数を相殺して、調節するためだよ!

 

何度もくどいようですが、カタマリが一次式の時のみ、このテクニックは有効です。

一次式のある積分を見かけたら積極的に使って、早めに慣れましょう。

文系の人もこれでスピードアップだ!

 

以上、「一次式のある積分のテクニック」についてでした。

 

チェック問題

 

例題

$$\int_0^3 \sqrt{2x+1}dx$$

 

\(2x+1\)をカタマリとみなして、積分すると

\begin{align} \int \sqrt{■}dx &= \int ■^{\frac{1}{2}}dx\\\ &= \frac{2}{3}■^{\frac{3}{2}}+C(Cは積分定数)\\\ \end{align}

 

カタマリを微分すると、

$$(2x+1)'=2$$

より、逆数をかけて

$$\frac{1}{3}(2x+1)^{\frac{3}{2}}+C(Cは積分定数)$$

を得る。

 

よって

\begin{align} \int_0^3 \sqrt{2x+1}dx &= \left[ \frac{1}{3}(2x+1)^{\frac{3}{2}} \right]_0^3\\\ &= \frac{1}{3}\left(7\sqrt{7}-1\right)\\\ \end{align}

 

例題

$$\int (7x+2)^5dx$$

 

\(7x+2\)をカタマリとみなして、積分すると

\begin{align} \int ■^5 dx &= \frac{1}{6} ■^6 dx\\\ &= \frac{1}{6} (7x+2)^6+C(Cは積分定数)\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

カタマリを微分すると、

$$(7x+2)'=7$$

より、逆数をかけて

$$\frac{1}{42}(7x+2)^6+C(Cは積分定数)$$

 

小春
いちいち展開しなくても、簡単に積分できたね!

\今回の記事はいかがでしたか?/

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