文系微分

【平均変化率】いつ使うの?何の値なの?どうやって求めるの?

Today's Topic

平均変化率

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

 

小春
楓くん、平均変化率って結局何なの?
傾き
小春
えっ・・・。
傾き

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • 平均変化率の定義
  • 平均変化率を使う場面

 

平均変化率とは

 

2つの点の平均変化率を求める 

 

図のような、適当なグラフ上に2点A,Bを考えます。

このとき、平均変化率は

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

で求めることができます。

分母は\(x\)座標の差分、分子は\(y\)座標の差分になっているね。

 

2つの点の平均変化率を求める

またこの図のように、差分に着目して座標をとった場合、

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

のように書くこともできます。

小春
言ってる内容は上も下も同じことだね。

 

 

つまり平均変化率は、

『\(x\)が■だけ増えたとき、\(y\)は●だけ増える』

ということを表しています。

直線であれば一定ですが、曲線であれば調べる部分によって異なります

 

平均変化率、と聞くと不気味ですが、結局これは2点A,Bを結んだ直線の傾きを求めているにすぎません

難易度的には中学数学ってことね。

 

言葉の定義は置いといて、平均変化率と聞いたときは傾きと捉えてOKです。

 

平均変化率を使う場面

 

平均変化率は、主に微分係数の導出の時に用いられます。

が、平均変化率といわれても「ハイハイ傾きね」と理解してしまえば十分。

 

具体例

 

例題

A,Bの平均変化率と、C,Dの平均変化率を求めよ。

平均変化率 例題

 

平均変化率は、2つの点を結んだ直線の傾きを求めればOK。

なので、

 

$$A,Bの平均変化率$$
$$\frac{1-0}{2-0}=\frac{1}{2}$$

 

$$C,Dの平均変化率$$
$$\frac{4-9}{4-(-6)}=-\frac{1}{2}$$

 

曲線の平均変化率は、どの2点を結ぶかによって変化することも覚えておこう!

 

まとめ

 

小春
ほ、ほんとに傾きのことなんだ・・・
そだよ。経験上、次のようなことが言える!

 

  • 傾き→直線の単元
  • 平均変化率→微分の単元

 

平均変化率は、微分の時にかなり重要な考え方だから、しっかり抑えておこうね。

 

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