文系微分

【微分係数】って結局ナニ?導関数との違いや、接線の傾きの重要性を解説します!

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微分係数

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

 

小春
楓くん、微分係数って結局何を求めた値なの?
微分係数は接線の傾きを表す。けど、重要なのはそこじゃないんだ。
小春
え、そうなの?!
実は微分が数学界で人気なのは、その接線の傾きに超重要な意味があるからなんだ!
小春
じゃあ今日は、接線の意味までしっかり教えてね!

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • 微分係数の求め方と、意味
  • 微分係数を使う場面

 

微分係数とは?

 

微分係数は

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

で定義された数。

一般にこれを\(f'(a)\)と表します。

 

これは2点A,Bの距離を、どんどん縮めたときの平均変化率を表しています

小春
ん?どういう意味?
イメージを使って説明していくね。

 

微分係数の意味

 

まずは2点A,Bの平均変化率

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

を考えてみましょう。

 

平均変化率、微分係数を考える

 

平均変化率は、実際のところ直線ABの傾きを求めているだけでしたね。

 

この2点A,Bの距離をどんどん0に近づけて(\(h\to0\))みると、直線ABは次のような動きをします。

平均変化率の極限

 

ご覧の通り、最終的に直線ABは点Aにおける\(f(x)\)の接線になりました。

微分係数は接線の傾き

 

ただしこれはあくまで\(h\to0\)なので、直線ABが点Aにおける接線と完全に一致するわけではありません

つまり点Aと点Bは超近いけど、重なってはないってことね。

 

微分係数を使う場面

 

微分係数を使う目的はただ1つ。

すでに書いたように点Aにおける接線の傾きを求めるためだけです。

 

小春
接線を求めてどうするの?
そう、実はそこが大事なんだ!!

 

数学において、微分はかなり重宝されます。

ただ接線の傾きを求めているだけなのに、なぜそれほど重視されるのでしょうか

 

その理由は接線の持つ意味にあります。

 

微分係数は(少し未来の)増加レベルを表す

 

ここでは微分からちょっと離れて、接線の傾きの意味について考えてみます。

 

微分係数導出の練習も兼ねて、次の例題をやってみましょう。

例題

関数\(y=x^2\)上の2点\(A(1,1),B(2,4)\)における接線の傾きを求めてみよう。
点Aの接線と点Bの接線を比較してみる

 

 

練習がてら、微分係数の定義から考えてみよう
\begin{align} f'(1) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(1+2h+h^2)-(1^2)}{h}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}(2+h)\\\ &= 2\\\ \end{align}
 
\begin{align} f'(2) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(4+4h+h^2)-(2^2)}{h}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}(4+h)\\\ &= 4\\\ \end{align}

 

このことから、点Aにおける接線の傾きよりも、点Bにおける接線の傾きの方が大きいということがわかりました。

点Bの接線の傾きの方が、より急になっている

 

ここでもう一度微分の求め方を見直してみると、点A、点Bのどちらの微分も超短い距離\(h\)だけ離れた点を結んだ直線を考えていました。

ズームしてみるとこんな感じ。
傾きの大小関係は、極小区間における増加率の大小関係を表す
微分は超近い2点を結んだ線の傾きを表しているのであって、その2点は1点になることはないって言ってたね。
小春

 

接線の傾きがより大きいということは、ちょっとだけ進んだときの変化の割合がより大きいということ。

すなわち\(x\)の値がちょっと増えただけで、\(y\)の値がより急激に増加するということが言えます。

 

この考え方を使うと、グラフの形がある程度予測できるようになります。

 

ある方程式が与えられていて、途中までグラフが描けていたと仮定しましょう。

点Aから先のグラフの形を予想する。

このグラフの点A以降の形を知りたいとき、点Aにおける微分係数を求めてみます。

 

その値によって、次のように形を予測することができるというわけです。

  1. 点Aでの微分係数が大きい→急激に値が増加
    接線の傾きが急→グラフが急激に変化
  2. 点Aでの微分係数が小さい→緩やかに値が増加
    接線の傾きが緩やか→グラフは緩やかに変化
  3. 点Aでの微分係数がマイナス→負の方向に値が増加
    接線の傾きが負→グラフが減少傾向を示す
小春
微分を使うことで、点Aからちょっと進んだ点の位置をだいたい予測しているんだね。

 

導関数との違い

 

微分係数は、グラフ上のある一点を定めて、その1点における接線の傾きを表していました。

 

しかし毎回毎回1点ずつ調べるわけにはいかないですね。

小春
確かにめんどっちぃね・・・。

 

そこでグラフ上のどの点でも、\(x\)座標の値さえわかれば、そこの接線の傾きがわかるように生まれたのが導関数です。

 

つまり導関数は、好きな点の微分係数を求めるための関数と捉えておけばOK。

詳しくは導関数の記事で解説します。

導関数
【導関数】って結局ナニ?微分係数との違いなどを解説。

続きを見る

 

まとめ

最後にまとめるよ。

 

まとめ

  • 微分係数とは
    $$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
    で求められる値。
  • 微分係数は、接線の傾きを表す。
  • グラフの形を(大まかに)知るためには、微分係数の大きさを調べれば良い。

 

ここまで細かく微分係数を解説したのは、数学を追求するほどこの意味合いが強くなるからです。

ぜひ基本を疎かにせず、しっかりと理解しておいてください。

計算の速さよりも、なにを表しているかの理解が大事!

 

以上、「微分係数ってナニ?」でした。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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