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【微分の表し方】問題や解答に合わせて、3通りの表現を使い分けよう!

Today's Topic

導関数の表し方

$$f’(x),y’,\frac{dy}{dx}$$

 

さて、今日は簡単に微分の表し方を紹介するよ
微分の表し方?そんなにたくさんあるの?
小春
基本的に3つ押さえておけばOKだよ!

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  •  導関数を\(f’(x),y’,\frac{dy}{dx}\)のどれで表した方がいいのか
  •  それぞれの表し方のメリット

 

一般的な微分の定義

 

問題で提示された、もしくは自分で定義した関数が

$$f(x) = x^2$$

のように\(f(x)\)を用いて表されている場合、この導関数は\(f'(x)\)と表されます。

 

対して

$$y = x^2$$

のように\(y\)を用いて表現した場合、この導関数は\(y'\)と表現されます。

 

 

どちらの表現を用いても構いませんが、基本的には\(f(x)\)のほうをオススメします。

小春
なんで?

 

関数\(f(x)\)の導関数\(f'(x)\)が求まると、例えば\(x=2\)のときの微分係数は\(f'(2)\)と表現することができます。

 

一方で関数\(y\)の導関数\(y'\)は、\(x=2\)のときの微分係数を表現できません。

微分係数はよく使う観点なので、\(f(x)\)で表現したほうが文字数が減らせるというわけです。

 

明示的な微分の定義

 

「関数\(y\)を\(x\)で微分する」というのを

$$\frac{dy}{dx}$$

と表現したり、

 

「関数\(f(t)\)を\(t\)で微分する」というのを

$$\frac{d}{dt}f(x)$$

と表現することもあります。

 

すでにお分かりかもしれませんが、「~を\(x\)で微分する」というのを、

$$\frac{d}{dx}$$

と、分数のようにみえるコイツを付けることで表現しています。

 

だけど、これは分数を表しているわけではないよ。

 

分数と混同しないように

$$\frac{dy}{dx}$$

は、「ディーワイディーエックス」と読みます。

小春
いや、十分まぎらわしいよ・・・

 

ではなぜ、この分数のような見た目を採用したのでしょうか。

 

実は微分には、分数の約分と似たような性質があることがわかったのです。

(例)
$$\frac{dt}{dx}=x$$
のとき、
$$dt= x\ dx$$

この性質を利用するのは数Ⅲの積分、証明に関しては大学数学で行います。

だから今は、「ふーん、そうなんだ」程度でOK

 

ただ、この表し方は

どの関数を、どの変数で微分するのか

がかなりわかりやすいので、積極的に利用してOKですよ。

 

例題

関数\(y=x^2+a^2\)について、次の値を求めよ。

  1. $$\frac{dy}{dx}$$
  2. $$\frac{dy}{da}$$

 

1.について

関数\(y=x^2+a^2\)の文字\(x\)を変数、\(a\)を定数とみなして微分する。

よって、

$$\frac{dy}{dx} = 2x$$

 

2.について

関数\(y=x^2+a^2\)の文字\(a\)を変数、\(x\)を定数とみなして微分する。

よって、

$$\frac{dy}{da} = 2a$$

 

まとめ

今回は3通りの微分の表し方をご紹介しました。

問題で提示された形に合わせて使い分ければ、基本的にはOKです。

 

ただし

  • \(f’(x)\)の方が微分係数を表しやすい
  • \(\frac{dy}{dx}\)はナニをナニで微分するかが分かりやすい

という、表現の利点を理解して使い分けると解答がスッキリしますよ!

 

以上、「微分の表し方」についてでした。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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