理系微分

【微分可能とは?】連続性とイメージが大事。微分ができる条件を理解しよう!

微分可能であるとは

Today's Topic

関数\(f(x)\)が\(x=a\)において微分可能であるとは、\(x=a\)で連続かつ、$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$$が存在するときをいう。

 

小春
微分可能って、要は「微分できるかどうか」ってことだよね。できない場合があるの?

その通り。しかも厄介なのは、微分できないかどうかは専用のチェックテストを行う必要があるんだ。
小春
チェックテスト?
まずは、基本的な考え方から見ていこう!

 

この記事を読むと、この問題が解ける!

  • 関数\(y=\frac{1}{x}\)は\(x=0\)で微分可能か
  • 関数$$y=\left\{ \begin{array}{l} 0\ (x≦0) \\ x^2\ (0≦x) \end{array} \right. $$は\(x=0\)で微分可能か
答えは最後!

 

 

微分可能であることの定義

 

数学では「この関数のこの部分では、微分ができるよ」というのを「微分可能」と言います。

その微分可能であることの定義は、次の通り。

 

微分可能の定義

関数\(f(x)\)がある区間\(I\)において微分可能であるとは、区間\(I\)上のどの点でも$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$$が存在するときをいう。

 

微分可能であるためには、「連続であること」が必須条件

 

ただしこの定義だけ見ると、「連続である」ということの重要性を見逃しがち。

 

まずは微分の定義を思い出してください。

 

微分の定義は、

$$\lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

と表され、2つの点を近づけるというイメージがありました。

 

連続でない場合、2つの点を近づけることができず、微分を考えることはできません。

 

連続であれば近づけられる連続であれば2点は近づけられる。
連続じゃないと近づけられない連続でなければ2つの点は近づけられない

 

 

 

小春
つまり、微分可能の定義の中に、ちゃっかり連続であるということも含まれているのね。

 

微分可能であるならば、グラフは連続であることの証明

 

微分可能であることの前提として、「連続である」ということが必須でした。

 

つまり微分可能であることが示せた場合は、その前提である「連続である」ことも示せているということですね。

 

問題

関数\(f(x)\)が点\(x=a\)で微分可能であるならば、連続であることを示せ。

 

(解答)

関数\(f(x)\)が点\(x=a\)で微分可能である

\begin{align}   \\ &\iff\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=kとなる定数kが存在する\\\ &\iff 両辺h倍して\lim_{h\rightarrow 0}\left\{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)\right\}=0\\\ &\iff f(a)はhを含まないので\lim_{h\rightarrow 0}\left\{f\left(a+h\right)\right\}=f\left(a\right)\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)
これは

$$\lim_{h \to +0}f(a+h)=\lim_{h \to -0}f(a+h)=f(a)$$

(※見切れている場合はスクロール)
が成り立つことに他ならない。
すなわち、右極限と左極限が\(f(a)\)で一致するので、関数\(f(x)\)は\(x=a\)で連続。

 

ポイント

この証明は、「連続であること」の定義でもある

右極限・左極限が一致していること

に帰着させています。

連続であるとは
【連続である】って結局ナニ?定義の意味がイメージで簡単に理解できる!

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連続でも、微分可能じゃない場合がある

 

注意しておくと、微分可能である連続関数はカクカクしてなくて、なめらかに繋がっているんだ。
カクカクしていると、微分できないの?
小春
カクカクした関数は、微分可能の定義を満たせないんだ。実際に見てみよう。

 

論理と命題を理解していればわかりますが、『微分可能であれば連続である』が成り立つからといって『連続であれば微分可能である』ということはできません。

小春
「わたしは女子高生」が成り立っても、「女子高生はわたし(だけ)」が成り立たないのと一緒ね。

 

この2つの命題の関係を逆(命題)といい、どちらも成り立つかどうかは一方ずつ確かめる必要があります

 

そしてこの『連続であれば微分可能である』には反例が存在します。

反例とは、仮定を満たして結論を満たさないもの。反例が1つでも見つかればその命題が間違いであることを示せるよ。

 

問題

関数\(f(x)=|x|\)は\(x=0\)で微分可能か。

y=|x|は連続かつ微分不可能

小春
確かに\(x=0\)でカクカクしているね。

 

\(x=0\)において

$$\lim_{h \to +0}f(0+h)=f(0)=0$$
$$\lim_{h \to -0}f(0+h)=f(0)=0$$

右極限と左極限が一致したので、\(x=0\)で関数\(f(x)=|x|\)は連続

 

ところが

$$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|}{h}$$

より

$$\lim_{h \to +0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=1$$
点Aを点Oに近づけたときの直線OAの傾きを意識してね。右極限を考える

 

$$\lim_{h \to -0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=-1$$
点Bを点Oに近づけたときの直線OBの傾きを意識してね。左極限を考える

より

$$\lim_{h \to +0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\not=\lim_{h \to -0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$$

(※見切れている場合はスクロール)

小春
\(h\to +0\) のときの極限値と、\(h\to -0\) のときの極限値が一致していないと、\(h\to 0\)って書けないんだったね。

 

よって

$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}$$

存在しないので、微分不可能。

すなわち関数\(f(x)=|x|\)は連続であるが、微分不可能。

 

このように、とがっている部分では、微分することができません!

厳密に言えば、とがっているところでは\(h\to +0\) のときの極限値と、\(h\to -0\) のときの極限値が一致しないんだよね。

 

微分可能か調べるチェックテスト

 

ここまでの内容をまとめると、

  • 微分したい点において、その関数が連続
  • 微分したい点において、その関数がとがっていない

ときに微分することができました。

 

つまり

ポイント

微分可能かチェックするためには、

  • グラフを書いて微分する点でグラフが連続かつ滑らかであるか見てみる
  • グラフが微分する点において、微分可能の定義を満たすかチェックする

のどちらかを実施すればいい

というわけです。

 

グラフが予測できない場合は、微分可能の定義に当てはめるしかないけど、グラフがイメージできれば、なめらかに繋がってればOKだよ。

微分可能とは?|まとめ

最後にまとめをしておきましょう。

 

お疲れ様でした。

それでは今日抑えておきたいポイントをまとめます。

まとめ

  • 微分可能であるならば連続である。
  • 連続であっても微分可能とは限らない(反例:\(f(x)=|x|\))
  • 微分可能か調べるためには、関数\(f(x)\)が\(x=a\)において
    $$f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$$

    (※見切れている場合はスクロール)
    が存在することを示せばよい。

  • グラフのとがっている部分では、連続でも微分することはできない。

 

微分可能な関数は、連続であることが前提条件。

ここは今後も重要なポイントになるので、下玉の片隅に入れておきましょう。

 

微分可能かチェックするときは、まずはグラフをイメージしてなめらかに繋がっているかチェックすると無駄がないよ。
イメージできない場合は、定義から考えればいいね!
小春

 

以上、「微分可能であるとは何か」でした。

 

チェック問題

 

 

例題

関数\(y=\frac{1}{x}\)は\(x=0\)で微分可能か


関数\(y=\frac{1}{x}\)は、グラフより\(x=0\)では連続ではない。

反比例のグラフ

よって、\(x=0\)では微分不可能。

 

 

例題

関数$$y=\left\{ \begin{array}{l} 0\ (x≦0) \\ x^2\ (0≦x) \end{array} \right. $$は\(x=0\)で微分可能か


グラフを描いてみると、与えられた関数は\(x=0\)で連続である。

連続かつ微分可能なグラフ

また、

$$\lim_{h\rightarrow +0}\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=0$$

$$\lim_{h\rightarrow -0}\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=0$$

より、$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=0$$が存在する。

よって、\(x=0\)で微分可能で、微分係数は0である。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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