極限

【超簡単】極限って何?数学のリミットが意味することを図的に理解してみよう。

Today's Topic

感覚的なリミットの使い方、意味

 

小春
高校の授業で習った極限って、結局「代入すればいい」みたいな感じだったけど、どうなの?
それはかなり危険な理解で、今後の数学の意味が全てわからなくなる危険性さえあるよ。。。
小春
そ、そんなに?!
今回は極限のイメージを見ながら、「数列の極限」と「関数の極限」の違いも理解して行こう!

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • 極限で考えたいことと、メリット
  •  数列の極限と関数の極限の大まかな違い

 

極限基本講座|極限とは?数列から考える数学的な『近づける』

イメージと一緒に理解すると、全く難しくありません。

極限というのは、簡単に説明すると2つの点を、一方の点を動かすことで近づけるということをイメージしています。

極限のイメージ一方の点を他方に近づけるというイメージ

数学ではこれを

$$\lim_{B\rightarrow A}$$

と書きます。

 

ただしこの近づける、というのはかなり微妙なニュアンスを含んでいます。

例えば点Bを点Aに近づける場合、点Bは点Aと完全に重なることはありません。

2点間の距離は、\(0.000\cdots\)と無限に0に近づくけど、決して0にはならないってとこが大事。

 

また近づけ方も重要です。

数直線上において、『点Bを点Aに近づける』という考え方でも、右から近づくのか、左から近づくのか、が考えられます。

左極限のイメージ
右極限のイメージ

どっちから近づけるか、は主に関数の極限で考えるよ。

 

このような極限の考え方に何の意味があるのでしょうか。

実は数学の計算には「\(x=1\)だと困るけど、\(x=0.999\cdots\)だと嬉しい」ことがたくさんあります。

これについては、後述する『極限を考えるメリット』でご紹介します。

 

まずは数列の極限と、関数の極限の違いについてお話しします。

極限基本講座|数列の極限

数列の極限は、基本的に番目がどんどん大きくなっていったとき、数列が全体的にどんな値に近づくかを考えます。

このとき、数列を関数のグラフだと思って考えるとイメージしやすくなります。

 

例えば数列\(a_n=2n\)において、番目\(n\)をどんどん大きくしていった場合、

$$2,4,6,8,\cdots,$$

と各項の値は無限大に大きくなっていきます。これを発散といい、

$$\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$$
$$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \infty$$

のように表します。

発散する数列のイメージ
まぁ、グラフ見りゃずーっと大きくなるだろうねって感じ。

 

一方で、数列\(b_n=\frac{1}{n}\)において、番目\(n\)をどんどん大きくしていった場合、

$$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,$$

と各項の値はどんどん小さく、最終的に0に超近くなっていきます。これを0に収束といい、

$$\lim_{n\to\infty} b_n = 0$$
$$b_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$$

のように表します。

収束する数列のイメージ
小春
グラフを考えると、値がどんどん小さくなって最終的に0に近づいていきそうなのがわかるね。

 

収束するときは必ず極限値と呼ばれる、『大体この値に近くなる』値が必要だよ。
\(b_n\)の場合、極限値は0だね。
小春

 

数列の極限について、詳しくは別記事で取り扱います。より網羅的に、得点源につなげたい人はご覧ください。

参考【収束・発散の速さ】絶対に覚えておきたい極限の裏公式|見た瞬間に極限がヒラメク!

 

極限基本講座|関数の極限

 

関数の極限は、数列の極限と基本的には同じですがより広い意味で扱います。

例えば数列では\(n\rightarrow \infty\)しか扱いませんでしたが、関数では\(x\rightarrow 0\)や\(x\rightarrow \frac{\pi}{2}\)といった特定の値に近づけることも考えます。

 

ちょっと厄介なのが、近づけ方を考える点です。

冒頭でも書いた通り、関数の極限では『右から近づけるのか』、『左から近づけるのか』まで考慮します。

 

例えば、次のグラフの\(x=3\)付近の値について考えてみましょう。

連続でない関数は、極限値が求められない

\(x\rightarrow3\)を考えたとき、

  • 左から近づける→点Aに収束
  • 右から近づける→点Bに収束

と、極限値が異なることがわかります。

 

このように近づけ方によって極限値が変わる場合、関数の極限では極限がないものとして定義します。

そのため、グラフをイメージできる人がこの単元は強くなります。

ちなみに数列の極限は\(n\rightarrow\infty\)のみを考え、\(n\)が自然数しかとらないことから、この極限が一致しない問題は起きません。

 

関数の極限について、詳しくは別記事で取り扱います。数Ⅲをする人は是非ご覧ください。

参考【関数の極限】見落としがちな解法の重要ポイントを徹底解説!迷わずに解けるようになろう!

 

極限基本講座|極限を考えるメリット

冒頭でも話しましたが、極限を考えていいことがあるのでしょうか?

 

数学では極限という考えが出現してから、『等しくなる』と『近くなる』は明確に区別されました。

『近くなる』ということが数学的に定義できたことで、数学の世界で「〜とみなすことができる」という妥協がOKになりました。

1つ簡単な例を見てみましょう。

 

数学では\(\frac{1}{0}\)という数は存在しません。

証明

\(\frac{1}{0}\)という数が存在すると仮定する。

\(\frac{1}{0}=a\)と表すと、両辺に0をかけることで\(1=a\times 0\)となる。

だが、0をかけて0以外の数になるような\(a\)は存在しない。よって矛盾。

以上より、\(\frac{1}{0}\)という数は存在しない。

 

ここで、関数\(f(x)=\frac{1}{x}\)の\(x\)を右から0に近づけてみましょう。

すると、グラフを見てもらうとわかる通り、\(f(x)\)はどんどん大きくなっていきます。

0分の1を極限で考える

つまり\(x\)を0に近づけると、関数\(f(x)\)は無限大に発散するということが言えます。

なので、

$$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty$$

と書き表すことができますね。

 

このように

$$\frac{1}{0}はダメだけど、\lim_{n \to 0}\frac{1}{n}はどんどん大きくなることを表す$$

(※見切れている場合はスクロール)

というわけで、特別に\(\frac{1}{0}\)を考えられるわけです。

 

極限基本講座|極限の計算にはウソがある

 

ここまでみてきた極限ですが、極限の計算方法が結構厄介なので、ここで紹介しておきます。

極限で初めて出てきたリミットには、分配法則のような性質があります。

 

しかし、その分配法則が成り立つのは、収束する時のみという制限が設けられています。

 

にもかかわらず、理系脳の方たちは、この条件を無視して解答にたどり着くことができます。

この計算方法が大きな分かれ目なので、こちらの記事でじっくり紹介しますね。

参考【極限の性質】リミットには分配法則が成り立つが、特殊な解釈をしているゾ!

 

極限基本講座|まとめ:極限は「〜に近づくか」

それでは覚えておくべき事柄をまとめましょう。

 

まとめ

  1. 数列の極限は\(n\rightarrow\infty\)のみを考える。グラフを意識すると考えやすくなる。
  2. 関数の極限は\(x\)をいろんな値に近づけることができるが、近づけ方も考える必要がある。
  3. 極限を考えると数学的に「おおよそどんな値になるか」を考えられる。

 

極限の理解は、高校数学のうちでは直感的なもので十分です。

数学的に証明しようとすると、大学数学の内容になってしまいます(\(\varepsilon - N\)論法というものを使います)。

それゆえ、数学の中ではイレギュラーな『証明は詳しくわかんないけど、公式だけ覚えて解いてね』というニュアンスが感じられます。

 

とは言っても、大学で数学を学ぶ上でもこの直感は非常に大事です。

極限が何を意味しているかをぜひ理解してください。

以上、「イメージできる極限」でした。

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