【無限等比級数】新しく覚えることは何もない！？無駄な努力をやめよう！

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無限等比級数の収束・発散を調べるためには、無限級数の手順と同じことを行えば良い。

$|r|<1$のとき、無限級数の和$\frac{a}{1-r}$に収束するが、これも特に覚えなくて良い。

小春

楓くん、今日学校で、無限等比級数の収束条件を調べたんだけどさ・・・

あぁ、覚えなきゃいけないかって？いらないいらない。

楓

小春

これって結局、無限級数の求め方さえ理解していればOKってことだよね。

そゆこと、詳しく解説するね。

楓

この記事を読むと、この意味がわかる！

無限等比級数の収束・発散の調べ方
無限等比級数の和の公式

小春

ただし、今回の内容は全く暗記しなくていいからね！

Contents

1 無限等比級数とは
2 無限等比級数は、何も覚えることはない？！
3 無限等比級数の収束条件
4 まとめ

無限等比級数とは

無限数列$\{a_n\}$が等比数列だった場合、その無限級数

$$\sum_{n=1}^\infty a_n$$

のことを、特に無限等比級数と言います。

が・・・！

特別なことは何もなくて、無限級数の記事で紹介したテクニックを使えば、特に意識しなくてもOKです。

無限等比級数は、何も覚えることはない？！

無限級数と同様に、無限等比級数も収束したり、発散したりします。

ではどのように調べたら良いのでしょうか。

小春

・・・、無限級数と一緒？

はいっ、せーかーーい

楓

無限級数の極限を調べるためには、

第$n$項までの部分和$S_n$を求め、
$$\lim_{n\to\infty} S_n$$を考える。

の手順でOKでしたね。

また

$$\lim_{n\to\infty} S_n=S$$

つまり無限級数が$S$に収束するとき、$S$を「無限級数の和」というのでした。

無限等比級数も全く同じで、もし収束するのであれば、その極限値を「無限級数の和」と呼びます。

では実際に、考えていきましょう。

無限等比級数の収束条件

例題

無限等比数列

$$a+ar+ar^2+\cdots +ar^{n-1}+\cdots \ (a,r\neq 0)$$

の無限等比級数の収束・発散について調べよう。

楓

無限級数と同じ手順でいくよ！

step
1第$n$項までの部分和$S_n$を求める。

数Bの数列の単元で扱った通り、等比数列の部分和$S_n$は

$$r= 1 のとき、S_n=na$$
$$r\neq 1 のとき、S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

となりますね。

step
2$S_n$の極限を考える。

ここで、無限級数の収束・発散がひと目でわかるテクニックを使っていきます。

簡単に復習すると、

無限級数が収束するか判断するためには、

$$\lim_{n\to\infty} a_n$$

の値を調べれば良い。

この極限値が0でなければ発散する。

もしこの極限値が0であっても、収束するとは限らない。

でしたね。

つまり、無限等比級数が収束するためには、無限等比数列$\{a_n\}$が0に収束していなければならないはずですね。

そして無限等比数列の極限で紹介した通り、

初項$a$、公比$r$の無限等比数列は

$0<r<1$のとき、$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$に収束
$-1<r<0$のとき、$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$に収束

し、それ以外は発散する（ただし$r=1$のときは変化しない）。

ということがわかっています。

すなわち、

ポイント

$|r|<1$のときのみ、無限等比級数は収束する

ことがわかります。

またその無限等比級数の和は、$|r|<1$に注意すると、

$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

より、

\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &= \lim_{n\to\infty} \frac{a(1-\overbrace{r^n}^{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0})}{1-r} \\\ &= \frac{a}{1-r}\\\ \end{align}

に収束することがわかります。

楓

はい、すでにお分かりのとおり、別に新しく覚えることはないでーす。

無限級数の求め方だけ把握しておけば、何の問題もないね・・・。

小春

まとめ

楓

まとめます。

まとめ

無限等比級数の収束・発散を調べるためには、無限級数の手順と同じことを行えば良い。

$|r|<1$のとき、無限級数の和$\frac{a}{1-r}$に収束するが、これも特に覚えなくて良い。

今回は、無限等比級数の記事を書きましたが、本当はあまり書きたくありませんでした・・・。

なぜなら無限等比級数の和$\frac{a}{1-r}$を丸暗記しようとしてしまう人がいるから（昔の自分）。。。

しかしあえて書くことで、特に覚えることはないよというアピールになるかなと思って書きました。

結局、無限級数さえ求められればOK。

以上、「無限等比級数の調べ方（笑）」でした。

チェック問題

例題

次の無限等比級数の収束・発散を調べ、収束する場合には無限等比級数の和を求めよ。

$$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots$$

オススメ解

初項$a=1$、公比$r=\frac{1}{3}$の等比数列。

\begin{align} a_n &= \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\\\ &\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\\\ \end{align}

なので、この無限級数は収束する可能性がある。

この数列の部分和$S_n$は、

\begin{align} S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r}\\\ &= \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}\\\ \end{align}

となり、

\begin{align} S_n &\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{1-\frac{1}{3}}\\\ &= \frac{3}{2}\\\ \end{align}

よって、無限級数の和$\frac{3}{2}$に収束する。

メモ

結構長くなってしまいましたが、考えていることを可視化するとこんな感じになります。

実際の回答では、そもそもこんな問題が出ることは少ないので、ここまで細かく書かなくていいですが、暗記に走らず、しっかりこの解答と同じように考えられるようになってください。

イマイチな解答

初項$a=1$、公比$r=\frac{1}{3}$の等比数列。

公比が$|r|<1$を満たすので、この無限等比級数は収束する。

またその和は、

$$\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$$

メモ

とまぁ、このように無駄に暗記していればこんな解答が書けます。

ちゃんと理解して書いているならまだしも、正直「あぁ、丸暗記して何もわかってないな」というゴミ解答です。

本質をちゃんと理解しているのであれば、「オススメ解」のように書けるはずです。

【無限等比級数】新しく覚えることは何もない！？無駄な努力をやめよう！

無限等比級数とは

無限等比級数は、何も覚えることはない？！

無限等比級数の収束条件

まとめ

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