極限

【無限等比級数】新しく覚えることは何もない!?無駄な努力をやめよう!

無限等比級数

Today's Topic

無限等比級数の収束・発散を調べるためには、無限級数の手順と同じことを行えば良い。

\(|r|<1\)のとき、無限級数の和\(\frac{a}{1-r}\)に収束するが、これも特に覚えなくて良い。

 

小春
楓くん、今日学校で、無限等比級数の収束条件を調べたんだけどさ・・・
あぁ、覚えなきゃいけないかって?いらないいらない。
小春
これって結局、無限級数の求め方さえ理解していればOKってことだよね。
そゆこと、詳しく解説するね。

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • 無限等比級数の収束・発散の調べ方
  • 無限等比級数の和の公式

小春
ただし、今回の内容は全く暗記しなくていいからね!

 

無限等比級数とは

 

無限数列\(\{a_n\}\)が等比数列だった場合、その無限級数

$$\sum_{n=1}^\infty a_n$$

のことを、特に無限等比級数と言います。

 

が・・・!

 

特別なことは何もなくて、無限級数の記事で紹介したテクニックを使えば、特に意識しなくてもOKです。

 

無限等比級数は、何も覚えることはない?!

 

無限級数と同様に、無限等比級数も収束したり、発散したりします。

 

ではどのように調べたら良いのでしょうか。

小春
・・・、無限級数と一緒?
はいっ、せーかーーい

 

無限級数の極限を調べるためには、

  1. 第\(n\)項までの部分和\(S_n\)を求め、
  2. $$\lim_{n\to\infty} S_n$$を考える。

の手順でOKでしたね。

 

また

$$\lim_{n\to\infty} S_n=S$$

つまり無限級数が\(S\)に収束するとき、\(S\)を「無限級数の和」というのでした。

 

無限等比級数も全く同じで、もし収束するのであれば、その極限値を「無限級数の和」と呼びます。

 

では実際に、考えていきましょう。

 

無限等比級数の収束条件

 

例題

無限等比数列

$$a+ar+ar^2+\cdots +ar^{n-1}+\cdots \ (a,r\neq 0)$$

の無限等比級数の収束・発散について調べよう。

 

無限級数と同じ手順でいくよ!

 

step
1
第\(n\)項までの部分和\(S_n\)を求める。

 

数Bの数列の単元で扱った通り、等比数列の部分和\(S_n\)は

$$r= 1 のとき、S_n=na$$
$$r\neq 1 のとき、S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

となりますね。

 

step
2
\(S_n\)の極限を考える。

 

ここで、無限級数の収束・発散がひと目でわかるテクニックを使っていきます。

 

簡単に復習すると、

無限級数が収束するか判断するためには、

$$\lim_{n\to\infty} a_n$$

の値を調べれば良い。

この極限値が0でなければ発散する。

もしこの極限値が0であっても、収束するとは限らない

でしたね。

 

つまり、無限等比級数が収束するためには、無限等比数列\(\{a_n\}\)が0に収束していなければならないはずですね。

 

そして無限等比数列の極限で紹介した通り、

初項\(a\)、公比\(r\)の無限等比数列は

  • \(0<r<1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\)に収束
  • \(-1<r<0\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\)に収束

し、それ以外は発散する(ただし\(r=1\)のときは変化しない)。

ということがわかっています。

 

すなわち、

ポイント

\(|r|<1\)のときのみ、無限等比級数は収束する

ことがわかります。

 

またその無限等比級数の和は、\(|r|<1\)に注意すると、

$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

より、

\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &= \lim_{n\to\infty} \frac{a(1-\overbrace{r^n}^{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0})}{1-r} \\\ &= \frac{a}{1-r}\\\ \end{align}

に収束することがわかります。

 

はい、すでにお分かりのとおり、別に新しく覚えることはないでーす。
無限級数の求め方だけ把握しておけば、何の問題もないね・・・。
小春

 

まとめ

まとめます。

 

まとめ

無限等比級数の収束・発散を調べるためには、無限級数の手順と同じことを行えば良い。

\(|r|<1\)のとき、無限級数の和\(\frac{a}{1-r}\)に収束するが、これも特に覚えなくて良い。

 

今回は、無限等比級数の記事を書きましたが、本当はあまり書きたくありませんでした・・・。

 

なぜなら無限等比級数の和\(\frac{a}{1-r}\)を丸暗記しようとしてしまう人がいるから(昔の自分)。。。

 

しかしあえて書くことで、特に覚えることはないよというアピールになるかなと思って書きました。

結局、無限級数さえ求められればOK。

 

以上、「無限等比級数の調べ方(笑)」でした。

 

チェック問題

 

例題

次の無限等比級数の収束・発散を調べ、収束する場合には無限等比級数の和を求めよ。

$$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots$$

 

+ タップで解答表示

初項\(a=1\)、公比\(r=\frac{1}{3}\)の等比数列。

公比が\(|r|<1\)を満たすので、この無限等比級数は収束する。

またその和は、

$$\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$$

メモ

とまぁ、このように無駄に暗記していればこんな解答が書けます。

ちゃんと理解して書いているならまだしも、正直「あぁ、丸暗記して何もわかってないな」というゴミ解答です。

本質をちゃんと理解しているのであれば、「オススメ解」のように書けるはずです。

 

オススメ解

+ タップで解答表示

初項\(a=1\)、公比\(r=\frac{1}{3}\)の等比数列。

\begin{align} a_n &= \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\\\ &\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\\\ \end{align}

なので、この無限級数は収束する可能性がある。

この数列の部分和\(S_n\)は、

\begin{align} S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r}\\\ &= \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}\\\ \end{align}

となり、

\begin{align} S_n &\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{1-\frac{1}{3}}\\\ &= \frac{3}{2}\\\ \end{align}

よって、無限級数の和\(\frac{3}{2}\)に収束する。

メモ

結構長くなってしまいましたが、考えていることを可視化するとこんな感じになります。

実際の回答では、そもそもこんな問題が出ることは少ないので、ここまで細かく書かなくていいですが、暗記に走らず、しっかりこの解答と同じように考えられるようになってください。

 

\今回の記事はいかがでしたか?/

-極限

© 2020 青春マスマティック Powered by AFFINGER5