【無限級数の収束・発散条件】無限級数を見ただけで解答が思い浮かぶテクニック

Today's Topic

無限級数が収束するか判断するためには、

$$\lim_{n\to\infty} a_n$$

の値を調べれば良い。

この極限値が0でなければ発散する。

もしこの極限値が0であっても、収束するとは限らない。

楓

今日は無限数列が収束する条件について紹介するね。

知っておくと、便利なの？

小春

楓

解答の見通しが立つから、より解答の仕方がクリアになるし、無駄な計算をしなくて済むようになるよ！

この記事を読むと、この意味がわかる！

次の無限級数は収束するか。する場合はその和を示せ。

$$3-2\sqrt{3}+4-\frac{8\sqrt{3}}{3}+\cdots$$
$$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{2\cdot4}+\frac{1}{3\cdot5}+\cdots$$

楓

答えは最後にあるよ！

Contents

1 無限級数が収束する条件
2 無限級数の収束：例題
3 無限級数が収束する条件の証明
4 まとめ

無限級数が収束する条件

ポイント

無限数列$\{a_n\}$の無限級数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$について、

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_nが収束する\Longrightarrow \lim_{n\to\infty} a_n =0$$

また、この対偶をとると、

$$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_nは発散する$$

と言えます。

ただしこれを丸暗記しても、実用性は低いので魔法の呪文を紹介します。

上記の収束条件をより分かりやすい日本語に訳してみると・・・

$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$であれば、$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$が収束する可能性がある（しない場合も当然ある）。
しかし、そもそも$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$でなければ、$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$は収束しない。

具体的に、例題を通してみてみましょう。

無限級数の調べ方は、こちらを参考にしてください。

: 【無限級数】の定義と、収束・発散を調べるためのコツをまとめました。

続きを見る

無限級数の収束：例題

ここでは3つの例を紹介しますが、今回の内容が一番効果的なのは例3です。

例1：無限級数が収束する場合

例題

次の無限級数は収束するか。収束する時はその和を求めよ。

$$\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k$$

この無限級数は、無限数列$\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}$が元になっていますね。

$\left(\frac{2}{3}\right)^n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$なので、この無限級数は収束する可能性・・・がありますね。

楓

まだ収束するとは限らないから！

収束するかなぁ、、、という心持で計算してみると、

STEP1.部分和を求める
\begin{align} \sum_{k=1}^n \left(\frac{2}{3}\right)^k &= \frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1-\frac{2}{3}}\\\ \end{align}
STEP2.部分和の極限を求める
\begin{align} \frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1-\frac{2}{3}} &\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\\\ &= 2\\\ \end{align}

収束しましたね。

例2：無限級数が発散してしまう場合

例題

次の無限級数は収束するか。収束する時はその和を求めよ。

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$$

この無限級数は、無限数列$\left\{\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right\}$が元になっていますね。

$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$なので、この無限級数も収束する可能性・・・があります。

収束するかなぁ、、、という心持で計算してみると、

STEP1.部分和を求める

\begin{align} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= \sum_{n=1}^k \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\cdot \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}\\\ &= \sum_{n=1}^k \frac{1}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}} \\\ &= \left(\require{cancel} \cancel{\sqrt{2}}-1\right)+\left(\require{cancel} \cancel{\sqrt{3}}-\require{cancel} \cancel{\sqrt{2}}\right)+\cdots\left(\sqrt{n+1}-\require{cancel} \cancel{\sqrt{n}}\right)\\\ &= \sqrt{n+1}-1 \\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）
STEP2.部分和の極限を求める
$$\lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n+1}-1\right)=\infty$$

このように、元になっている無限数列が収束したとしても、その無限級数が収束するとは限りません。

あくまで目安程度に考えましょう。

例3：無限級数の発散が確定する場合

例題

次の無限級数は収束するか。収束する時はその和を求めよ。

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2k-1}$$

この無限級数は、無限数列$\left\{\frac{k}{2k-1} \right\}$が元になっていますね。

この無限数列の極限を調べてみると・・・

\begin{align} \frac{k}{2k-1} &= \frac{1}{2-\frac{1}{k}}\\\ &\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2}\\\ \end{align}

小春

あれ？0に収束していないね。

ということは、発散が確定するってこと！

楓

そのため、ここで解答を終えてもOKです。

無限級数が収束する条件の証明

無限数列$\{a_n\}$と、その無限級数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$、またその部分和$S_n$と無限級数の和$S$について考えます。

この条件から、

$$\lim_{n\to\infty} S_n = S$$

ということを言っているので注意してくださいね。

$n≧2$において、

$$a_n = S_n - S_{n-1}$$

ということができます。

これにより

\begin{align} \lim_{n\to\infty} a_n &= \lim_{n\to\infty} \left(S_n - S_{n-1}\right) \\\ &= \lim_{n\to\infty} S_n -\lim_{n\to\infty} S_{n-1} \\\ &= S - S\\\ &= 0\\\ \end{align}

と変形でき、

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_nが収束する\Longrightarrow \lim_{n\to\infty} a_n =0$$

ということができました。

まとめ

楓

今日のまとめー。

まとめ

無限級数が収束するか判断するためには、

$$\lim_{n\to\infty} a_n$$

の値を調べれば良い。

この極限値が0でなければ発散する。

もしこの極限値が0であっても、収束するとは限らない。

今回の内容が最も役立つのは、『無限級数が発散すること』を示す場合です。

経験上お分かりかと思いますが、$a_n$が分かっていても、その部分和$S_n$を求めることは簡単ではありません。

つまり、$a_n$が発散することさえわかれば、$S_n$を求めなくてもOKになります。

苦労を1つ減らせると思えば、今回の重要度が分かりますね。

以上、「無限級数の収束する条件」についてでした。

チェック問題

例題

次の無限級数は収束するか。する場合はその和を示せ。

$$3-2\sqrt{3}+4-\frac{8\sqrt{3}}{3}+\cdots$$

この無限級数の第$n$項$a_n$は、初項3、公比$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$の等比数列であることから

$$a_n=3\cdot\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{n-1}$$

と表せる。

この極限を調べてみると、

\begin{align} 3\cdot\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{n-1} &= 3\cdot(-1)^{n-1}\cdot\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{n-1}\\\ & \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 振動\\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）

となり、0に収束しない。

よって、この無限級数は発散する。

: 【等比数列の極限】暗記は絶対にダメ！絶対必要な極限の感覚をマスターしよう。

続きを見る

例題

次の無限級数は収束するか。する場合はその和を示せ。

$$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{2\cdot4}+\frac{1}{3\cdot5}+\cdots$$

この数列の一般項$a_n$は、

\begin{align} a_n &= \frac{1}{n(n+2)}\\\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\\\ \end{align}

と表せる。

小春

$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$だから収束する可能性があるね！

部分和$S_n$を求めると、

\begin{align} S_n &= \frac{1}{2}\left(1-\require{cancel} \cancel{\frac{1}{3}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\require{cancel} \cancel{\frac{1}{4}}\right)+\frac{1}{2}\left(\require{cancel} \cancel{\frac{1}{3}}-\require{cancel} \cancel{\frac{1}{5}}\right)+\cdots+\frac{1}{2}\left(\require{cancel} \cancel{\frac{1}{n-1}}-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{2}\left(\require{cancel} \cancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+2}\right)\\\ &= \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）

この極限を求めると、

\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\\\ &= \frac{3}{4}\\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）

よって、この無限級数は収束し、その和は

$$\frac{3}{4}$$

である。

【無限級数の収束・発散条件】無限級数を見ただけで解答が思い浮かぶテクニック

無限級数が収束する条件

【無限級数】の定義と、収束・発散を調べるためのコツをまとめました。

無限級数の収束：例題

例1：無限級数が収束する場合

例2：無限級数が発散してしまう場合

例3：無限級数の発散が確定する場合

無限級数が収束する条件の証明

まとめ

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