【無限級数】の定義と、収束・発散を調べるためのコツをまとめました。

Today's Topic

無限数列$\{a_n\}$の無限級数$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$を調べるためには、

第$n$項までの部分和$S_n$を求め、
$$\lim_{n\to\infty} S_n$$を考えれば良い。

このとき、$S_n$の極限値のことを、無限級数の和と呼ぶ。

楓

今日は無限級数について扱うよ。

級数って足し算って意味だよね。。。無限個の項をどうやって足せばいいの・・・

小春

楓

一部を求めて極限を考えるという手法を使うよ！

この記事を読むと、この意味がわかる！

次の無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合にはその和を求めよ。

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$$
$$\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k$$

Contents

1 無限級数とは
2 無限級数を求めるコツ
3 無限級数の収束
4 まとめ

無限級数とは

無限数列$\{a_n\}$について、各項の和

$$a_1+ a_2+ a_3+ \cdots + a_n+ \cdots$$

を無限級数といい、

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

のように表します。

ところで、$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$と表現しますね。

無限級数を考えてみると、

$$\underbrace{a_1+ a_2+ a_3+ \cdots + a_n}_{S_n}+ \cdots$$

のように、全ての項の和の一部分だけを表しているため、$S_n$は部分和と言われます。

$S_1$は初項、$S_2$は初項から第2項までの和、$S_n$は初項から第$n$項までの和を表しています。

では

$$\lim_{n\to \infty} S_n$$

は、何を表しているでしょうか。

小春

初項から第$\infty$項までの和・・・

つまり？

楓

小春

あ、無限級数のことか！

つまり

\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} a_n &= \lim_{n\to \infty} S_n\\\ &= \lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^{k} a_n\\\ \end{align}

と変形できるので、

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{n=1}^{k} a_n$$

ということが分かります。

無限級数を求めるコツ

先ほど得られた

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^{k} a_n$$

を日本語訳してみると、次のようになります。

ポイント

無限数列$\{a_n\}$の無限級数を調べるためには、

第$n$項までの部分和$S_n$を求め、
$$\lim_{n\to\infty} S_n$$を考えれば良い。

例を見てみましょう。

例題

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$$

step
1部分和$S_n$を求めよう。

まず、部分和である

$$\sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n(n+1)}$$

を求めてみます。

部分分数分解を用いると、

\begin{align} \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{k} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\\ &= \left(1-\require{cancel} \cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left(\require{cancel} \cancel{\frac{1}{2}}-\require{cancel} \cancel{\frac{1}{3}}\right)+\cdots + \left(\require{cancel} \cancel{\frac{1}{k}}-\frac{1}{k+1}\right)\\\ &= 1-\frac{1}{k+1}\\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）

と求められます。

step
2部分和$S_n$の極限を求めよう。

$k\to\infty$のときを考えると、

$$\lim_{k\to\infty} \left(1-\frac{1}{k+1}\right)= 1$$

よって、

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}=1$$

無限級数の収束

上の例では、無限級数が1に収束しましたね。

これは部分和$S_n=1-\frac{1}{k+1}$が作る数列

$$\{S_n\} = S_1, S_2, S_3,\cdots, S_n\cdots$$

が1に収束することを表していました。

$S_n$が1に収束するとき、極限値1のことを無限級数の和と呼びます。

小春

すなわち、無限級数は「無限級数の和」に収束するってことね。

ここら辺、言葉の定義が複雑だから要注意ね。

楓

無限級数が収束するかどうかは、実際に調べてみないと分かりませんが、無限級数の性質を利用すると「収束するのかどうか」をある程度判断することができます。

それは「【無限級数の収束・発散条件】無限級数を見ただけで解答が思い浮かぶテクニック」にて紹介します。

: 【無限級数の収束・発散条件】無限級数を見ただけで解答が思い浮かぶテクニック

続きを見る

まとめ

楓

今日のまとめね。

まとめ

無限数列$\{a_n\}$の無限級数$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$を調べるためには、

第$n$項までの部分和$S_n$を求め、
$$\lim_{n\to\infty} S_n$$を考えれば良い。

このとき、$S_n$の極限値のことを、無限級数の和と呼ぶ。

無限級数の単元は、8割程度数が数Bの数列の内容になります。

言葉の定義が若干めんどくさいものの、解法で詰まった場合などは数Bの数列を復習するといいですよ。

楓

結局$S_n$求めて、極限を考えればOK。詰まるとしたら$S_n$を求めるところくらいかな？

以上、「無限級数について」でした。

チェック問題

例題

次の無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合にはその和を求めよ。

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$$
$$\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k$$

メモ

無限級数が収束する場合、部分和$S_n$の極限値に収束します。

この場合、$S_n$の極限値のことをその無限級数の和と呼ぶため、問題にある「その和を求めよ」とは、結局、部分和$S_n$の極限を求めてくださいと言っているだけです。

(1)の解答
部分和から求める。

\begin{align} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= \sum_{n=1}^k \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\cdot \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}\\\ &= \sum_{n=1}^k \frac{1}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}} \\\ &= \left(\require{cancel} \cancel{\sqrt{2}}-1\right)+\left(\require{cancel} \cancel{\sqrt{3}}-\require{cancel} \cancel{\sqrt{2}}\right)+\cdots\left(\sqrt{n+1}-\require{cancel} \cancel{\sqrt{n}}\right)\\\ &= \sqrt{n+1}-1 \\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）
よって、
$$\lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n+1}-1\right)=\infty$$
より、この無限級数は発散する。

(2)の解答
無限数列$\left(\frac{2}{3}\right)^n$は等比数列なので、部分和$S_n$は

\begin{align} S_n &= \sum_{k=1}^n\left(\frac{2}{3}\right)^k\\\ &= \frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1-\frac{2}{3}}\\\ &\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\\\ &= 2 \\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）
よって、この無限級数は収束し、その和は2である。