極限

【無限級数】の定義と、収束・発散を調べるためのコツをまとめました。

無限級数

Today's Topic

無限数列\(\{a_n\}\)の無限級数$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$を調べるためには、

  1. 第\(n\)項までの部分和\(S_n\)を求め、
  2. $$\lim_{n\to\infty} S_n$$を考えれば良い。

このとき、\(S_n\)の極限値のことを、無限級数の和と呼ぶ。

 

今日は無限級数について扱うよ。
級数って足し算って意味だよね。。。無限個の項をどうやって足せばいいの・・・
小春
一部を求めて極限を考えるという手法を使うよ!

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

次の無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合にはその和を求めよ。

  • $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$$
  • $$\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k$$

 

 

無限級数とは

 

無限数列\(\{a_n\}\)について、各項の和

$$a_1+ a_2+ a_3+ \cdots + a_n+ \cdots$$

無限級数といい、

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

のように表します。

 

ところで、\(\{a_n\}\)の初項から第\(n\)項までの和を\(S_n\)と表現しますね。

無限級数を考えてみると、

$$\underbrace{a_1+ a_2+ a_3+ \cdots + a_n}_{S_n}+ \cdots$$

のように、全ての項の和の一部分だけを表しているため、\(S_n\)は部分和と言われます。

 

\(S_1\)は初項、\(S_2\)は初項から第2項までの和、\(S_n\)は初項から第\(n\)項までの和を表しています。

 

では

$$\lim_{n\to \infty} S_n$$

は、何を表しているでしょうか。

 

小春
初項から第\(\infty\)項までの和・・・
つまり?
小春
あ、無限級数のことか!

 

つまり

\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} a_n &= \lim_{n\to \infty} S_n\\\ &= \lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^{k} a_n\\\ \end{align}

と変形できるので、

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{n=1}^{k} a_n$$

ということが分かります。

 

無限級数を求めるコツ

 

先ほど得られた

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^{k} a_n$$

を日本語訳してみると、次のようになります。

 

ポイント

無限数列\(\{a_n\}\)の無限級数を調べるためには、

  1. 第\(n\)項までの部分和\(S_n\)を求め、
  2. $$\lim_{n\to\infty} S_n$$を考えれば良い。

 

例を見てみましょう。

 

例題

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$$

 

step
1
部分和\(S_n\)を求めよう。

 

まず、部分和である

$$\sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n(n+1)}$$

を求めてみます。

 

部分分数分解を用いると、

\begin{align} \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{k} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\\ &= \left(1-\require{cancel} \cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left(\require{cancel} \cancel{\frac{1}{2}}-\require{cancel} \cancel{\frac{1}{3}}\right)+\cdots + \left(\require{cancel} \cancel{\frac{1}{k}}-\frac{1}{k+1}\right)\\\ &= 1-\frac{1}{k+1}\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

と求められます。

 

step
2
部分和\(S_n\)の極限を求めよう。

 

\(k\to\infty\)のときを考えると、

$$\lim_{k\to\infty} \left(1-\frac{1}{k+1}\right)= 1$$

 

よって、

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}=1$$

 

無限級数の収束

 

上の例では、無限級数が1に収束しましたね。

 

これは部分和\(S_n=1-\frac{1}{k+1}\)が作る数列

$$\{S_n\} = S_1, S_2, S_3,\cdots, S_n\cdots$$

が1に収束することを表していました。

 

\(S_n\)が1に収束するとき、極限値1のことを無限級数の和と呼びます。

小春
すなわち、無限級数は「無限級数の和」に収束するってことね。
ここら辺、言葉の定義が複雑だから要注意ね。

 

無限級数が収束するかどうかは、実際に調べてみないと分かりませんが、無限級数の性質を利用すると「収束するのかどうか」をある程度判断することができます

それは「【無限級数の収束・発散条件】無限級数を見ただけで解答が思い浮かぶテクニック」にて紹介します。

無限級数の収束・発散条件
【無限級数の収束・発散条件】無限級数を見ただけで解答が思い浮かぶテクニック

続きを見る

 

まとめ

今日のまとめね。

 

まとめ

無限数列\(\{a_n\}\)の無限級数$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$を調べるためには、

  1. 第\(n\)項までの部分和\(S_n\)を求め、
  2. $$\lim_{n\to\infty} S_n$$を考えれば良い。

このとき、\(S_n\)の極限値のことを、無限級数の和と呼ぶ。

 

 

無限級数の単元は、8割程度数が数Bの数列の内容になります。

言葉の定義が若干めんどくさいものの、解法で詰まった場合などは数Bの数列を復習するといいですよ。

結局\(S_n\)求めて、極限を考えればOK。詰まるとしたら\(S_n\)を求めるところくらいかな?

 

以上、「無限級数について」でした。

 

チェック問題

 

例題

次の無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合にはその和を求めよ。

  1. $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$$
  2. $$\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k$$

 

メモ

無限級数が収束する場合、部分和\(S_n\)の極限値に収束します。

この場合、\(S_n\)の極限値のことをその無限級数の和と呼ぶため、問題にある「その和を求めよ」とは、結局、部分和\(S_n\)の極限を求めてくださいと言っているだけです。

 

(1)の解答

+ タップで解答表示

部分和から求める。

\begin{align} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= \sum_{n=1}^k \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\cdot \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}\\\ &= \sum_{n=1}^k \frac{1}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}} \\\ &= \left(\require{cancel} \cancel{\sqrt{2}}-1\right)+\left(\require{cancel} \cancel{\sqrt{3}}-\require{cancel} \cancel{\sqrt{2}}\right)+\cdots\left(\sqrt{n+1}-\require{cancel} \cancel{\sqrt{n}}\right)\\\ &= \sqrt{n+1}-1 \\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

よって、

$$\lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n+1}-1\right)=\infty$$

より、この無限級数は発散する。

 

(2)の解答

+ タップで解答表示

無限数列\(\left(\frac{2}{3}\right)^n\)は等比数列なので、部分和\(S_n\)は

\begin{align} S_n &= \sum_{k=1}^n\left(\frac{2}{3}\right)^k\\\ &= \frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1-\frac{2}{3}}\\\ &\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\\\ &= 2 \\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

よって、この無限級数は収束し、その和は2である。

 

\今回の記事はいかがでしたか?/

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