【不定形】種類・なぜ解にならないのか・回避方法をまとめました。

Today's Topic

不定形には7つの種類があり、そのどれも式によって意味する値が変化するため、解としては無意味である。

不定形を避けるためには

分母分子を共通の文字で割る
くくり出してみる
$\frac{●}{●}=1$をかけたり、$■-■=0$を加えてみる

などして、ゴミを作って必要な部分だけ残す作業をすればOK。

小春

楓くん、不定形って結局何種類あるの？

ん〜、7種類かなぁ。

楓

小春

えぇ〜...。そもそもなんで不定形って何がダメなの？

答えのようで、実は何も言っていないってトコかな。

楓

小春

うわぁ、もう全然わかんない泣　詳しく教えてよ！

この記事を読むと、この問題が解ける！

$$\lim_{n\to \infty} \frac{2n^2-5}{n+3}$$
$$\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^2+n}+3n}{2n-1}$$

Contents

1 不定形とは【この7つには要注意】
2 なぜ不定形がダメなのか
3 不定形を回避する超便利変形
4 まとめ

不定形とは【この7つには要注意】

不定形とは、

ポイント

$$\frac{0}{0}$$
$$\frac{\infty}{\infty}$$
$$0\times \infty $$
$$\infty - \infty$$
$$1^{\infty}$$
$$0^0$$
$$\infty^0$$

の7つのことを言いいます。

極限を計算したときに、この7つのうちどれかに該当した場合、解としては無意味であることを意味しています。

楓

なので極限の計算では、この不定形を避けるように式変形することが大切！

ここでは迷わないよう7つと紹介していますが、式変形をすると全て

$$\frac{0}{0}$$
$$\frac{\infty}{\infty}$$

の2つに帰着することができます。

なぜ不定形がダメなのか

ここでは不定形が、なぜ解としては無意味なのかを丁寧に解説していきます。

具体的に次の問題を考えてみましょう。

例題

$$\lim_{n\to \infty} \frac{n}{n}$$

分母も分子もともに$\infty$に近づくので、$\frac{n}{n}$は$\frac{\infty}{\infty}$に近づきます。

ところで、当然ですが$\frac{n}{n}=1$なので、

$$\lim_{n\to \infty} \frac{n}{n}=\lim_{n\to\infty} 1=1$$

より極限値は1のはず。

つまり

$$\frac{\infty}{\infty}=1$$

ということが言えるわけです。

では次の例題はどうでしょうか。

例題

$$\lim_{n\to \infty} \frac{n}{2n}$$

先ほどと同様に考えてみましょう。

分母も分子もともに$\infty$に近づくので、$\frac{n}{2n}$は$\frac{\infty}{\infty}$に近づきます。

当然ですが$\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}$なので、

$$\lim_{n\to \infty} \frac{n}{2n}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

より極限値は$\frac{1}{2}$のはず。

つまりここでは

$$\frac{\infty}{\infty}=\frac{1}{2}$$

ということが言えるわけです。

小春

あれ？同じ$\frac{\infty}{\infty}$なのに、1になったり、$\frac{1}{2}$になったりするの？！

このように、$\frac{\infty}{\infty}$は特定の値を表しているのではなく、式によってその意味が変わってしまいます。

なので不定形、つまり何も定めていない数として呼び名がつきました。

楓

他の不定形も同様に、答えが式によってコロコロ変わるんだ・・・。

不定形を回避する超便利変形

そのまま極限を考えると不定形になってしまうものでも、適切な式変形を施すと不定形を回避することが可能です。

ここでは、よくある「不定形を回避するための式変形」をご紹介します。

分母分子を割る

例題

$$\lim_{n\to \infty} \frac{n^2+3n}{2n^2+5}$$

そのまま極限を考えると、$\frac{\infty}{\infty}$の不定形になってしまいます。

そこで、分母分子を$n^2$で割ってみると

$$\frac{n^2+3n}{2n^2+5}=\frac{1+\frac{3}{n}}{2+\frac{5}{n^2}}$$

小春

分母分子を共通のもので割っても、値は変わらないんだったね。

ここで数列の極限の計算法則でも紹介した

$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \alpha, b_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \beta$のとき、

$$\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}=\frac{\beta}{\alpha}$$

を使いましょう。

すると、

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \frac{n^2+3n}{2n^2+5} &= \lim_{n\to \infty} \frac{1+\frac{3}{n}}{2+\frac{5}{n^2}}\\\ &= \frac{\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{3}{n}\right)}{\lim_{n\to \infty}\left(2+\frac{5}{n^2}\right)}\\\ &= \frac{1}{2}\\\ \end{align}

くくりだす

例題

$$\lim_{n\to \infty} \left(3^n-2^n\right)$$

そのまま考えると$\infty-\infty$の不定形になってしまいます。

そこで今回もゴミを見つけるところから始めてみましょう。

試しに$3^n$でくくってみると、

$$\left(3^n-2^n\right)=3^n \left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$$

となります。

$n\to\infty$のとき、$3^n \to \infty$となり、$\left(\frac{2}{3}\right)^n\to 0$（ゴミ）となるので、

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \left(3^n-2^n\right) &= \lim_{n\to \infty} 3^n \left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)\\\ &= \infty \times 1 \\\ &= \infty\\\ \end{align}

となり、うまく不定形を避けることができました。

作り出す

例題

$$\lim_{n\to \infty} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$$

そのまま考えると、$\infty-\infty$の不定形になってしまいます。

そこで有理化を意識して、

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \color{red}{\times \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$$

（※見切れている場合はスクロール）

のように、式変形をしてみます。

小春

$\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=1$だから、勝手に掛け算しても問題ないのね！

すると、

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) &= \lim_{n\to \infty} \left\{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\color{red}{\times \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\right\}\\\ &= \lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)\\\ &= \frac{1}{\infty}\\\ &= 0 \\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）

となり、不定形を回避できました。

まとめ

楓

お疲れ様、まとめます！

まとめ

不定形には7つの種類があり、そのどれも式によって意味する値が変化するため、解としては無意味である。

不定形を避けるためには

分母分子を共通の文字で割る
くくり出してみる
$\frac{●}{●}=1$をかけたり、$■-■=0$を加えてみる

などして、ゴミを作って必要な部分だけ残す作業をすればOK。

今回紹介した不定形の意味は、案外知っている人が少ないので、しっかりと意味を押さえておくとかっこいいですね。

また、不定形の回避方法も今回暑かった3つだけでなく、式によって様々な対処法があります。

基本として押さえておきましょう。

以上、「不定形について」でした。

チェック問題

例題

$$\lim_{n\to \infty} \frac{2n^2-5}{n+3}$$

（解答）

そのまま極限を求めると$\frac{\infty}{\infty}$の不定形になる。

そこで、分母と分子を$n$で割ると

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \frac{2n^2-5}{n+3} &= \lim_{n\to \infty} \frac{2n-\frac{5}{n}}{1+\frac{3}{n}}\\\ &= \infty\\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）

楓

$\frac{5}{n},\ \frac{3}{n}$がゴミになる。

最高次数の文字$n^2$で割ればいいってもんじゃないんだね。

小春

例題

$$\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^2+n}+3n}{2n-1}$$

（解答）

そのまま極限を求めると$\frac{\infty}{\infty}$の不定形になる。

そこで、分母と分子を$n$で割ると

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^2+n}+3n}{2n-1} &= \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{\sqrt{n^2+n}}{n}+3}{2-\frac{1}{n}}\\\ &= \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+3}{2-\frac{1}{n}}\\\ &= \frac{1+3}{2}\\\ &= 2 \\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）

楓

$\sqrt{●}$があるからって、有理化とは限らないよ！