極限

【不定形】種類・なぜ解にならないのか・回避方法をまとめました。

不定形の種類と意味、変形方法

Today's Topic

不定形には7つの種類があり、そのどれも式によって意味する値が変化するため、解としては無意味である。

不定形を避けるためには

  • 分母分子を共通の文字で割る
  • くくり出してみる
  • \(\frac{●}{●}=1\)をかけたり、\(■-■=0\)を加えてみる

などして、ゴミを作って必要な部分だけ残す作業をすればOK。

 

小春
楓くん、不定形って結局何種類あるの?
ん〜、7種類かなぁ。
小春
えぇ〜...。そもそもなんで不定形って何がダメなの?
答えのようで、実は何も言っていないってトコかな。
小春
うわぁ、もう全然わかんない泣 詳しく教えてよ!

 

この記事を読むと、この問題が解ける!

  • $$\lim_{n\to \infty} \frac{2n^2-5}{n+3}$$
  • $$\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^2+n}+3n}{2n-1}$$

 

 

不定形とは【この7つには要注意】

 

不定形とは、

ポイント

  1. $$\frac{0}{0}$$
  2. $$\frac{\infty}{\infty}$$
  3. $$0\times \infty $$
  4. $$\infty - \infty$$
  5. $$1^{\infty}$$
  6. $$0^0$$
  7. $$\infty^0$$

の7つのことを言いいます。

 

極限を計算したときに、この7つのうちどれかに該当した場合、解としては無意味であることを意味しています。

なので極限の計算では、この不定形を避けるように式変形することが大切!

 

ここでは迷わないよう7つと紹介していますが、式変形をすると全て

$$\frac{0}{0}$$
$$\frac{\infty}{\infty}$$

の2つに帰着することができます。

 

なぜ不定形がダメなのか

 

ここでは不定形が、なぜ解としては無意味なのかを丁寧に解説していきます。

 

具体的に次の問題を考えてみましょう。

例題

$$\lim_{n\to \infty} \frac{n}{n}$$

 

分母も分子もともに\(\infty\)に近づくので、\(\frac{n}{n}\)は\(\frac{\infty}{\infty}\)に近づきます。

 

ところで、当然ですが\(\frac{n}{n}=1\)なので、

$$\lim_{n\to \infty} \frac{n}{n}=\lim_{n\to\infty} 1=1$$

より極限値は1のはず。

 

つまり

$$\frac{\infty}{\infty}=1$$

ということが言えるわけです。

 

では次の例題はどうでしょうか。

例題

$$\lim_{n\to \infty} \frac{n}{2n}$$

 

先ほどと同様に考えてみましょう。

 

分母も分子もともに\(\infty\)に近づくので、\(\frac{n}{2n}\)は\(\frac{\infty}{\infty}\)に近づきます。

当然ですが\(\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\)なので、

$$\lim_{n\to \infty} \frac{n}{2n}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

より極限値は\(\frac{1}{2}\)のはず。

 

つまりここでは

$$\frac{\infty}{\infty}=\frac{1}{2}$$

ということが言えるわけです。

 

小春
あれ?同じ\(\frac{\infty}{\infty}\)なのに、1になったり、\(\frac{1}{2}\)になったりするの?!

 

このように、\(\frac{\infty}{\infty}\)は特定の値を表しているのではなく、式によってその意味が変わってしまいます

なので不定形、つまり何も定めていない数として呼び名がつきました。

他の不定形も同様に、答えが式によってコロコロ変わるんだ・・・。

 

不定形を回避する超便利変形

 

そのまま極限を考えると不定形になってしまうものでも、適切な式変形を施すと不定形を回避することが可能です。

ここでは、よくある「不定形を回避するための式変形」をご紹介します。

 

分母分子を割る

例題

$$\lim_{n\to \infty} \frac{n^2+3n}{2n^2+5}$$

 

そのまま極限を考えると、\(\frac{\infty}{\infty}\)の不定形になってしまいます。

 

 

そこで、分母分子を\(n^2\)で割ってみると

$$\frac{n^2+3n}{2n^2+5}=\frac{1+\frac{3}{n}}{2+\frac{5}{n^2}}$$
小春
分母分子を共通のもので割っても、値は変わらないんだったね。

 

ここで数列の極限の計算法則でも紹介した

 

\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \alpha, b_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \beta\)のとき、

$$\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}=\frac{\beta}{\alpha}$$

 

を使いましょう。

 

すると、

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \frac{n^2+3n}{2n^2+5} &= \lim_{n\to \infty} \frac{1+\frac{3}{n}}{2+\frac{5}{n^2}}\\\ &= \frac{\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{3}{n}\right)}{\lim_{n\to \infty}\left(2+\frac{5}{n^2}\right)}\\\ &= \frac{1}{2}\\\ \end{align}

 

くくりだす

例題

$$\lim_{n\to \infty} \left(3^n-2^n\right)$$

 

そのまま考えると\(\infty-\infty\)の不定形になってしまいます。

そこで今回もゴミを見つけるところから始めてみましょう。

 

試しに\(3^n\)でくくってみると、

$$\left(3^n-2^n\right)=3^n \left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$$

となります。

 

\(n\to\infty\)のとき、\(3^n \to \infty\)となり、\(\left(\frac{2}{3}\right)^n\to 0\)(ゴミ)となるので、

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \left(3^n-2^n\right) &= \lim_{n\to \infty} 3^n \left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)\\\ &= \infty \times 1 \\\ &= \infty\\\ \end{align}

となり、うまく不定形を避けることができました。

 

作り出す

例題

$$\lim_{n\to \infty} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$$

 

そのまま考えると、\(\infty-\infty\)の不定形になってしまいます。

 

そこで有理化を意識して、

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \color{red}{\times \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$$

(※見切れている場合はスクロール)

のように、式変形をしてみます。

小春
\(\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=1\)だから、勝手に掛け算しても問題ないのね!

 

すると、

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) &= \lim_{n\to \infty} \left\{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\color{red}{\times \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\right\}\\\ &= \lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)\\\ &= \frac{1}{\infty}\\\ &= 0 \\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

となり、不定形を回避できました。

 

まとめ

お疲れ様、まとめます!

 

まとめ

不定形には7つの種類があり、そのどれも式によって意味する値が変化するため、解としては無意味である。

不定形を避けるためには

  • 分母分子を共通の文字で割る
  • くくり出してみる
  • \(\frac{●}{●}=1\)をかけたり、\(■-■=0\)を加えてみる

などして、ゴミを作って必要な部分だけ残す作業をすればOK。

 

今回紹介した不定形の意味は、案外知っている人が少ないので、しっかりと意味を押さえておくとかっこいいですね。

また、不定形の回避方法も今回暑かった3つだけでなく、式によって様々な対処法があります。

基本として押さえておきましょう。

 

以上、「不定形について」でした。

 

チェック問題

 

例題

$$\lim_{n\to \infty} \frac{2n^2-5}{n+3}$$


(解答)

+ タップで解答表示

そのまま極限を求めると\(\frac{\infty}{\infty}\)の不定形になる。

そこで、分母と分子を\(n\)で割ると

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \frac{2n^2-5}{n+3} &= \lim_{n\to \infty} \frac{2n-\frac{5}{n}}{1+\frac{3}{n}}\\\ &= \infty\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

\(\frac{5}{n},\ \frac{3}{n}\)がゴミになる。
最高次数の文字\(n^2\)で割ればいいってもんじゃないんだね。
小春

 

例題

$$\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^2+n}+3n}{2n-1}$$


(解答)

+ タップで解答表示

そのまま極限を求めると\(\frac{\infty}{\infty}\)の不定形になる。

そこで、分母と分子を\(n\)で割ると

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^2+n}+3n}{2n-1} &= \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{\sqrt{n^2+n}}{n}+3}{2-\frac{1}{n}}\\\ &= \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+3}{2-\frac{1}{n}}\\\ &= \frac{1+3}{2}\\\ &= 2 \\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

\(\sqrt{●}\)があるからって、有理化とは限らないよ!

\今回の記事はいかがでしたか?/

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