極限

【数列の極限の大小関係】イメージでわかる、知っててアタリマエの公式

数列の極限の大小関係

Today's Topic

収束する2つの数列\(\{a_n\},\{b_n\}\)の極限は、極限値を求めなくても

$$a_n≦b_n\ (n=1,2,3,\cdots)$$

であれば、\(\alpha ≦ \beta\)となる。

これにより、極限値が直接求まらなくても、大小関係は比較することができる。

 

今日は数列の極限の大小関係を見ていくよ。
前回は極限値の演算をやったから、来ると思ってたよ!
小春
今回扱う内容は、厳密な証明よりもイメージを大事にしよう!
あぁ、証明が大学数学になっちゃうんだね・・・。
小春

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • 数列の極限の大小関係は、極限を求めずに把握できる
  • グラフから、感覚的に数列の極限の大小関係を把握できるようになる

 

 

数列の極限の大小関係

 

数列の極限の大小関係で押さえておくべき公式はこれ!

 

ポイント

2つの数列\(\{a_n\}, \{b_n\}\)が、それぞれ\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \alpha,\ b_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \beta\)となるとき

どの項に対しても\(a_n≦b_n\)が成り立つならば、\(\alpha≦\beta\)

 

また、この公式から次のことも言えます。

おまけの公式

  • ある実数\(X\)に対して、どの項でも\(a_n≦X\)が成り立つならば、\(\alpha≦X\)
  • ある実数\(X\)に対して、どの項に対でも\(Y≦b_n\)が成り立つならば、\(Y≦\beta\)

 

それでは、詳しく見ていきましょう!

ポイントは『グラフをイメージすること』です。

 

\(a_n≦b_n(n=1,2,3,\cdots)\)ならば、\(\alpha≦\beta\)

 

具体的に考えてみましょう。

 

例題

2つの数列\(\{a_n\},\{b_n\}\)の一般項が、それぞれ

$$a_n=-\frac{1}{n},\ b_n=\frac{1}{n}+1$$

のとき、極限値の大小を比べてみよう。

 

厳密な証明は大学で行うので、ここでは感覚的に捉えておけばOK。

 

そのためにグラフを用いて、大小関係を把握してみましょう。

 

\(a_n=-\frac{1}{n}\)を\(y=-\frac{1}{x}\)、\(b_n=\frac{1}{n}+1\)を\(y=\frac{1}{x}+1\)と読み替えてみます。

ただし、数列における\(n\)は自然数なので、この時の\(x\)は自然数の値しか取りません。

 

この条件のもと、グラフを描いてみるとこのようになります。

数列の極限の大小関係

 

グラフを見てみると、\(n\)がどんな値をとっても\(a_n≦b_n\)が常に成り立つのであれば、\(a_n\)の極限値が\(b_n\)の極限値よりも小さいことが分かりますね。

 

この公式の凄いところは、直接極限値を求めなくても、数列の大小関係だけで極限値の大小関係がわかるところです。

 

ここに注意

2つの数列が、\(a_n<b_n(n=1,2,3,\cdots)\)のような関係でも、極限値\(\alpha,\ \beta\)が\(\alpha<\beta\)とは限らず、\(\alpha = \beta\)となることもあります。

例えば、

$$a_n = -\frac{1}{n},\ b_n=\frac{1}{n}$$

とすると、グラフより、常に\(a_n<b_n\)であることは明らかですが、その極限値は同じく0であることが分かります。

数列の極限の大小関係

 

\(a_n≦X(n=1,2,3,\cdots)\)ならば、\(\alpha≦X\)

 

先ほどの公式

どの項に対しても\(a_n≦b_n\)が成り立つならば、\(\alpha≦\beta\)

の数列\(\{a_n\},\{b_n\}\)が

 

$$\{a_n\}= -\frac{1}{n}, \{b_n\}= 3, 3, 3, \cdots$$

のような場合を考えてみます。

 

すると、グラフは見てわかる通り、数列\(\{a_n\}\)のどの項も3より小さいため、極限値も3を下回っていますね。

数列の極限の大小関係

 

だからと言って極限値が3とは限らないよ!
あくまで「\(\{a_n\}\)の極限値<3」ということが言えただけなんだね。
小春
それでも、極限値を求めなくても大小関係がわかることが後々大事になるよ。

 

\(Y≦b_n(n=1,2,3,\cdots)\)ならば、\(Y≦\beta\)

 

これも1つ目の公式をもとに考えれば、それほど難しくありません。

どの項に対しても\(a_n≦b_n\)が成り立つならば、\(\alpha≦\beta\)

の数列\(\{a_n\},\{b_n\}\)が

$$\{a_n\}= -1,-1,-1,\cdots, \{b_n\}= \frac{1}{n}$$

のような場合を考えてみます。

 

すると、グラフは見てわかる通り、数列\(\{b_n\}\)のどの項も\(-1\)より大きいため、極限値も\(-1\)を上回っていますね。

数列の極限の大小関係

 

数列の極限の大小関係の注意点

 

今回扱った公式には、いくつか勘違いしやすい点があります。

 

どの項でも大小関係が覆らない

 

まず、3つの公式の前提には

どの項においても、\(a_n≦b_n\)が成り立つ

ということが挙げられています。

 

そのため、例えば

「第7項だけ、数列\(\{a_n\}\)の方が\(\{b_n\}\)よりも大きくなる」

という場合には、これら3つの公式は使えません。

あくまで\(n=1,2,3,\cdots\)のどの場合でも、\(a_n ≦ b_n\)が成り立たなければ意味がないんだ。

 

収束すること

 

そして3つの公式では、2つの数列が極限値\(\alpha,\beta\)を持っていることも前提に含まれています。

 

つまり、これは数列が収束することが仮定されているので、発散する場合にこれらの公式は使えないということになります。

ただし発散する場合は、『追い出しの原理』というものが考えられるよ!

参考【追い出しの原理】不等式を作って、発散することを示せばOK。あんまり使われないけどね・・・。

 

まとめ

最後にまとめるね。

 

まとめ

収束する2つの数列\(\{a_n\},\{b_n\}\)の極限は、極限値を求めなくても

$$a_n≦b_n\ (n=1,2,3,\cdots)$$

であれば、\(\alpha ≦ \beta\)となる。

これにより、極限値が直接求まらなくても、大小関係は比較することができる。

 

今回得たこの大小関係の公式は、これから先かなり重要になる『はさみうちの原理』のもとになります。

そのため、まとめにも書きましたが、

極限値が直接求まらなくても、大小関係は比較することができる。

という点を、よく覚えておきましょう。

 

以上、「数列の極限の大小関係」についてでした。

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