極限

【等比数列の極限】暗記は絶対にダメ!絶対必要な極限の感覚をマスターしよう。

等比数列の極限の性質

Today's Topic

初項\(a\)、公比\(r\)の等比数列\(\{ar^{n-1}\}\)の極限には、

  • \(r>1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \infty\)
  • \(r=1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} a\)
  • \(0<r<1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\)
  • \(-1<r<0\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\)
  • \(r<-1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 振動\)

という性質がある。

ただし、これは覚えるのではなく、実際に調べた方がラク

今日は等比数列の極限について考えよう、と言っても暗記するものは何もないよ!
なんか学校だと4つくらい公式覚えさせられた気が・・・。
小春
あぁ、あんなのいらないよ。内容的には小学生の算数レベルだから。

 

この記事を読むと、この問題が瞬間的にわかる!

  • $$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+1}{3^n}$$
  • $$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-(-5)^n}{(-5)^n+3^n}$$

1つは具体例で、もう1つは最後に答え合わせするね!

 

かける数によって、どのように数が変わるのか

 

「等比数列の極限」とタイトルをつけていますが、結論から言ってしまえば、別に「等比数列だから特別なことがある」というわけではありません

 

等比数列よりも、どちらかと言えば「掛け算」の性質に近いです。

じっくり具体例を見ながら考えていきましょう。

 

公比が1よりも大きい場合

例題

数列\(\{a_n\}\)の一般項が

$$a_n = 3\cdot 2^{n-1}$$

のとき、この数列の極限を求めよ。

 

初項が3、公比が2。

 

この数列はつまり、「3に2をどんどんかけていく」ということを表しています。

 

\(3\times2\)は?
\(6\)でしょ?
小春
\(3\times2\times2\)は?
\(12\)だよ・・・
小春
\(3\times2\times2\times\cdots\)
いつまでやるの・・・泣
小春
値はどんどん・・・?
あ、大きくなっていくね!
小春

 

このように、公比が1よりも大きい数列の場合、項が進むにつれて値は大きくなっていきます。

よって、

$$\lim_{n\to\infty}a_n = \infty$$

ということが分かりますね。

 

公比が0以上1以下の場合

例題

数列\(\{a_n\}\)の一般項が

$$a_n = 3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$

のとき、この数列の極限を求めよ。

 

初項が3、公比が\(\frac{1}{2}\)。

この数列はつまり、「3に\(\frac{1}{2}\)をどんどんかけていく」ということを表しています。

 

ポイント

公比が分数のとき、小数に直して考えてみると考えやすくなる。

 

\(\frac{1}{2}=0.5\)と1よりも小さく、掛けるたび値は半分になっていきますね。

そのため、項が進むにつれて値はどんどん小さくなりますが、決して0にはなりません。

 

よって、

$$\lim_{n\to\infty}a_n = 0$$

ということが分かります。

小春
つまり0に収束する(0に近づき続ける)んだね!

 

公比が1の場合

例題

数列\(\{a_n\}\)の一般項が

$$a_n = 3\cdot 1^{n-1}$$

のとき、この数列の極限を求めよ。

 

1は何回かけても・・・?
値は変わらない・・・?
小春
だから・・・?
極限も変わらない・・・
小春

 

よって、

$$\lim_{n\to\infty}a_n = 3$$

ということが分かります。

 

公比が負の場合

 

公比が負の場合には、2パターン考えることができます。

どちらもギザギザな動きをすることが特徴的ですが、発散か・収束かが異なります。

 

絶対値が1よりも大きい

例題

数列\(\{a_n\}\)の一般項が

$$a_n = \left(-\frac{11}{10}\right)^{n-1}$$

のとき、この数列の極限を求めよ。

 

ポイント

公比が負のとき、\(-1\)を切り離して考えてみると考えやすくなる。

 

初項が1、公比が\((-1)^{n-1}\times\left(\frac{11}{10}\right)^{n-1}\)。

 

一旦\(-1\)を除外して考えてみると、1に\(\frac{11}{10}\)をかけ続けると値は次第に大きくなっていきますね。

小春
\(\frac{11}{10}\)は1よりも大きいもんね。

 

ここで\(-1\)をかけ続けるとどうなるか考えてみると・・・。

小春
\(-1\)をかけるたびに、プラスマイナスが入れ替わるね。

 

グラフで捉えてみると、

公比が負のときの極限

このように振動していることが分かります。

 

よって、

$$\lim_{n\to\infty}a_n = 振動$$

ということが分かります。

 

絶対値が1よりも小さい

例題

数列\(\{a_n\}\)の一般項が

$$a_n = 5\left(-\frac{12}{13}\right)^{n-1}$$

のとき、この数列の極限を求めよ。

 

先ほどと同様に、\(-1\)を切り離して考えてみましょう。

 

初項5に\(\frac{12}{13}\)をかけ続けると・・・

小春
\(\frac{12}{13}<1\)だから、どんどん値が小さくなる!
その通り!ただし、0にはならないからね。

 

そして、\(-1\)をかけ続けるとどうなるか考えてみると・・・。

小春
やっぱり\(-1\)をかけるたびに、プラスマイナスが入れ替わるね。

 

グラフで捉えてみると、

公比が負のときの極限
小春
あ、しんどu・・・

 

これは振動ではありません。

 

極限の基礎の記事でも紹介した通り、振動とはプラマイが入れ替わると同時に、発散する場合のことです。

 

今回はギザギザに動いてはいますが、値が小さくなり、最終的に0に収束しているため

$$\lim_{n\to\infty}a_n = 0$$

ということが分かります。

 

小春
・・・・・・

 

等比数列の極限の性質

 

以上のことをまとめると、

ポイント

初項\(a\)、公比\(r\)の数列\(\{ar^{n-1}\}\)の極限は、

  • \(r>1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \infty\)
  • \(r=1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} a\)
  • \(0<r<1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\)
  • \(-1<r<0\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\)
  • \(r<-1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 振動\)

となります。

 

だけどこれを公式みたいに覚えるのは、なんというか労力の無駄だよね。。。
確かに、自分で「かけ続けるとどうなるかな」って考えた方が楽そうだね。
小春

 

等比数列の極限の例題

 

例題

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+1}{3^n}$$

 

そのまま考えると、\(\frac{\infty}{\infty}\)の不定形になってしまいますね。

 

そこで分母、分子を\(2^n\)で割って繁分数を考えてみると、

$$\frac{2^n+1}{3^n}=\frac{1+\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\left(\frac{3}{2}\right)^n}$$

となります。

 

\(\left(\frac{3}{2}\right)^n\)は初項\(\frac{3}{2}\)に、\(\frac{3}{2}\)をかけ続けるわけですから値は次第に大きくなります

$$ \left(\frac{3}{2}\right)^n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \infty$$

 

一方、\(\left(\frac{1}{2}\right)^n\)は初項\(\frac{1}{2}\)に、\(\frac{1}{2}\)をかけ続けるわけですから値は次第に小さくなります

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$$

 

つまり、

\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{2^n+1}{3^n} &= \lim_{n\to\infty}\frac{1+\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\left(\frac{3}{2}\right)^n} \\\ &= \frac{1+0}{\infty}\\\ &= 0 \\\ \end{align}

となります。

\(\frac{1}{\infty}\)は分母がむちゃくちゃ大きい数ってことね。
分母が大きくなるほど0に近くなるけど、0にはならないね。
小春

 

メモ

今回は分母、分子を\(2^n\)で割りましたが、\(3^n\)で割っても結果は同じです。

$$\frac{2^n+1}{3^n}=\left(\frac{2}{3}\right)^n+\left(\frac{1}{3}\right)^n$$

なので、

\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{2^n+1}{3^n} &= \lim_{n\to\infty} \left(\left(\frac{2}{3}\right)^n+\left(\frac{1}{3}\right)^n\right) \\\ &= 0\\\ \end{align}

 

まとめ

今日のまとめをするよ!

 

まとめ

初項\(a\)、公比\(r\)の等比数列\(\{ar^{n-1}\}\)の極限には、

  • \(r>1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \infty\)
  • \(r=1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} a\)
  • \(0<r<1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\)
  • \(-1<r<0\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\)
  • \(r<-1\)のとき、\(a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 振動\)

という性質がある。

ただし、これは覚えるのではなく、実際に調べた方がラク

 

今回学んだことは、今後極限の計算をしていく上で重要な考え方になります。

公式として覚えずに、公比を見極めて『かけ続けるとどうなるか』を考えていきましょう。

 

以上、「等比数列の極限について」でした。

 

チェック問題

 

例題

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-(-5)^n}{(-5)^n+3^n}$$


+ タップで解答表示

\(3^n\)や\(2^n\)で割ると、振動する部分が出てくるため考えにくくなります。

\((-5)^n\)で割ると、

\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{2^n-(-5)^n}{(-5)^n+3^n} &= \lim_{n\to\infty}\frac{\left(-\frac{2}{5}\right)^n-1}{1+\left(-\frac{3}{5}\right)^n}\\\ &= \frac{0+0}{1}\\\ &=0\\\ \end{align}

\今回の記事はいかがでしたか?/

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