対数 指数 極限

【指数・対数関数の極限】と応用公式|2つの不定形と4つの極限公式だけ覚えよう!

指数・対数関数の極限公式

Today's Topic

指数・対数関数の極限を考えるためには、

  1. $$\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$$
  2. $$\lim_{h\to \infty} \left(1+\frac{1}{h}\right)^{h} = e$$
  3. $$\lim_{h\to 0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1$$
  4. $$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$$

のどれかに帰着させて考えれば良い。

ただし、\(1^{\infty}\)不定形の場合は、ネイピア数の定義である公式1、もしくは公式2を使うと良い。

 

今日は指数・対数関数の極限でよく使う公式を見ていくよ!
基本はこの間学習したもんね!
小春

参考【指数関数の極限(基礎)】底に着目すれば暗記ゼロ!実践で使える指数関数の考え方

参考【対数関数の極限(基礎)】実践で使える重要な性質と対数関数の極限の意味

難しく感じる場合は、指数・対数関数の極限の基本を確認しながら進めてね!

 

この記事を読むと、この問題が解ける!

  • $$\lim_{n\to\infty} n\left\{\log(n+1)-\log n\right\}$$
  • $$\lim_{x\to0}\frac{x}{2^x-1}$$

 

 

【覚えるべき公式4選】全ては\(e\)の定義に持ち込める!

 

まず結論から述べると、指数・対数関数の極限で覚えるべき公式は次の4つに限定されます。

ポイント

  1. $$\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$$
  2. $$\lim_{h\to \infty} \left(1+\frac{1}{h}\right)^{h} = e$$
  3. $$\lim_{h\to 0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1$$
  4. $$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$$

 

お気づきかもしれませんが、公式1はネイピア数\(e\)の定義そのものです。

参考自然対数、ネイピア数とは?なぜあの定義なのか、何が自然なのか。お金の話で超簡単に理解できる!!

 

そして公式2は、公式1の\(h\)を\(\frac{1}{h}\)に書き換えた形になっています。

どちらもそのまま計算すると\(1^{\infty}\)不定形になりますので、この公式はしっかり覚えておかないと対処できなくなります

 

 

公式3は公式1を使って、公式4は公式3を使って導くことができます。

【公式3の証明】
公式1のネイピア数の定義を用いる。
$$\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$$
両辺に自然対(\log\)をとると、
$$\log\left( \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}}\right) = \log e = 1$$
 
リミットとログは入れ替えることができるので、
$$\lim_{h\to 0} \log(1+h)^{\frac{1}{h}} = 1$$
よって、
$$\lim_{h\to 0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1$$

 

【公式4の証明】
$$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$$
において\(t = e^h-1\)とおくとき、

  • \(h\to0\)のとき\(t \to 0\)
  • \(h=\log(1+t)\)

なので、
\begin{align} \lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} &= \lim_{h\to 0} \frac{t}{\log(1+t)}\\\ &= 1\\\ \end{align}

小春
公式3の逆数の形に持っていくんだね!

 

いずれにしろ、どの公式も公式1を出発点としていることが非常に大事だね!

 

4つの公式の中で、

  • 公式1、公式2:\(1^{\infty}\)不定形
  • 公式3、公式4:\(\frac{0}{0}\)不定形

となっていることに着目すると、次のような使い分けができるようになります。

 

【使い分けの奥義】\(1^{\infty}\)不定形は\(e\)の公式を使え!

 

上記4つの式ですが、実は使い分けのコツがあります。

それは

「考えたい極限が不定形で、かつ\(1^{\infty}\)不定形である場合、公式1or公式2を使う」

というものです。

小春
つまり\(1^{\infty}\)不定形の場合は、\(e\)の定義に帰着させればいいのね!
例題を見てみよう

 

 

例題

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x-2}{x}\right)^x$$

 

そのまま極限を考えると\(1^{\infty}\)となっていますね。

そこでネイピア数の定義である公式1、もしくは公式2が使える形に持っていきます。

 

\(h=-\frac{2}{x}\)とおくと、\(x\to \infty \)のとき\(h \to 0\)なので、

\begin{align} 与式 &= \lim_{x\to\infty} \left(1-\frac{2}{x}\right)^x\\\ &= \lim_{h\to 0}(1+h)^{-\frac{2}{h}}\\\ &= \lim_{h \to 0}\left\{\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right\}^{-2}\\\ &= e^{-2} \\\ \end{align}

となります。

 

これでは少々物足りないでしょうから、もう少し複雑な例題も扱ってみましょう。

 

例題

$$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^x$$

$$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^x = \lim_{x\to\infty} \left(1-\frac{2}{x+1}\right)^x$$

なので、これはそのまま計算すると\(1^{\infty}\)の不定形になりますね。

 

そこで先ほどと同様、\(h=-\frac{2}{x+1}\)とおいてみましょう。

すると、

  • \(x\to\infty\)のとき、\(h\to 0\)
  •  
  • \(x = -\frac{2}{h}-1\)

なので、次のように式変形できます。

 

\begin{align} 与式 &= \lim_{h\to0} (1+h)^{-\frac{2}{h}-1}\\\ &= \lim_{h\to 0} \left\{(1+h)^{\frac{1}{h}}\right\}^{-2}(1+h)^{-1}\\\ &= e^{-2}\cdot 1 \\\ &= \frac{1}{e^2} \\\ \end{align}

 

このように\(1^{\infty}\)不定形の場合はネイピア数の定義に帰着すればいいことが多く、それ以外の不定形は式変形をうまく駆使して\(\frac{0}{0}\)不定形に持ち込むことで公式3、4が使えるようになります。

最後に練習問題で扱うね!

まとめ

それではまとめます。

 

まとめ

指数・対数関数の極限を考えるためには、

  1. $$\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$$
  2. $$\lim_{h\to \infty} \left(1+\frac{1}{h}\right)^{h} = e$$
  3. $$\lim_{h\to 0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1$$
  4. $$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$$

のどれかに帰着させて考えれば良い。

ただし、\(1^{\infty}\)不定形の場合は、ネイピア数の定義である公式1、もしくは公式2を使うと良い。

 

指数・対数関数の極限は数問解いていくうちに「解くためのコツ」がほとんど共通していることに気がつけます。

それほど難しい内容ではないので、さっと理解した上で問題をガッツリ解いてみると力になりますよ!

 

以上、「指数・対数関数の極限」についてでした。

 

チェック問題

 

例題

$$\lim_{n\to\infty} n\left\{\log(n+1)-\log n\right\}$$

 

$$\lim_{n\to\infty} n\left\{\log(n+1)-\log n\right\} = \lim_{n\to\infty}n\log \frac{n+1}{n}$$

(※見切れている場合はスクロール)

より、このまま計算すると\(\infty \times 0\)不定形になる。

 

ここで繁分数

$$n = \frac{1}{\frac{1}{n}}$$

の考え方を用いると、

$$\lim_{n\to\infty}n\log \frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\log\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}$$

となり\(\frac{1}{n} \to 0\)より、与式は\(\frac{0}{0}\)不定形まで変形することができた。

 

ここまで来れば公式3を使うことで

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\log\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} =1$$

と導くことができる。

 

例題

$$\lim_{x\to0}\frac{x}{2^x-1}$$

小春
このまま考えると\(\frac{0}{0}\)だから、公式3か4が使える形に変形すればいいのね!

 

ネイピア数の公式

$$e^{\log2} = 2$$

を用いる。

これは数Ⅲでよく出てくる式だから押さえておこう!

参考log(ログ)って何?常用対数、自然対数とは?対数を徹底解説!!

 

\begin{align} \lim_{x\to0}\frac{x}{2^x-1} &= \lim_{x\to0}\frac{x}{e^{(\log 2)x}-1}\\\ &= \lim_{x\to0}\color{red}{\frac{(\log 2)x}{e^{(\log 2)x}-1}}\cdot \frac{1}{\log 2}\\\ &= \color{red}{1}\cdot \frac{1}{\log 2} \\\ &= \frac{1}{\log 2}\\\ \end{align}
小春
公式4の逆数を使ったんだね!

\今回の記事はいかがでしたか?/

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