【指数・対数関数の極限】と応用公式｜2つの不定形と4つの極限公式だけ覚えよう！

Today's Topic

指数・対数関数の極限を考えるためには、

$$\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$$
$$\lim_{h\to \infty} \left(1+\frac{1}{h}\right)^{h} = e$$
$$\lim_{h\to 0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1$$
$$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$$

のどれかに帰着させて考えれば良い。

ただし、$1^{\infty}$不定形の場合は、ネイピア数の定義である公式1、もしくは公式2を使うと良い。

楓

今日は指数・対数関数の極限でよく使う公式を見ていくよ！

基本はこの間学習したもんね！

小春

参考【指数関数の極限（基礎）】底に着目すれば暗記ゼロ！実践で使える指数関数の考え方

参考【対数関数の極限（基礎）】実践で使える重要な性質と対数関数の極限の意味

楓

難しく感じる場合は、指数・対数関数の極限の基本を確認しながら進めてね！

この記事を読むと、この問題が解ける！

$$\lim_{n\to\infty} n\left\{\log(n+1)-\log n\right\}$$
$$\lim_{x\to0}\frac{x}{2^x-1}$$

Contents

1 【覚えるべき公式4選】全ては$e$の定義に持ち込める！
2 【使い分けの奥義】$1^{\infty}$不定形は$e$の公式を使え！
3 まとめ

【覚えるべき公式4選】全ては$e$の定義に持ち込める！

まず結論から述べると、指数・対数関数の極限で覚えるべき公式は次の4つに限定されます。

ポイント

$$\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$$
$$\lim_{h\to \infty} \left(1+\frac{1}{h}\right)^{h} = e$$
$$\lim_{h\to 0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1$$
$$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$$

お気づきかもしれませんが、公式1はネイピア数$e$の定義そのものです。

参考自然対数、ネイピア数とは？なぜあの定義なのか、何が自然なのか。お金の話で超簡単に理解できる！！

そして公式2は、公式1の$h$を$\frac{1}{h}$に書き換えた形になっています。

どちらもそのまま計算すると$1^{\infty}$不定形になりますので、この公式はしっかり覚えておかないと対処できなくなります。

公式3は公式1を使って、公式4は公式3を使って導くことができます。

【公式3の証明】
公式1のネイピア数の定義を用いる。
$$\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$$
両辺に自然対(\log\)をとると、
$$\log\left( \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}}\right) = \log e = 1$$

リミットとログは入れ替えることができるので、
$$\lim_{h\to 0} \log(1+h)^{\frac{1}{h}} = 1$$
よって、
$$\lim_{h\to 0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1$$

【公式4の証明】
$$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$$
において$t = e^h-1$とおくとき、

$h\to0$のとき$t \to 0$
$h=\log(1+t)$

なので、
\begin{align} \lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} &= \lim_{h\to 0} \frac{t}{\log(1+t)}\\\ &= 1\\\ \end{align}

小春

公式3の逆数の形に持っていくんだね！

楓

いずれにしろ、どの公式も公式1を出発点としていることが非常に大事だね！

4つの公式の中で、

公式1、公式2：$1^{\infty}$不定形
公式3、公式4：$\frac{0}{0}$不定形

となっていることに着目すると、次のような使い分けができるようになります。

【使い分けの奥義】$1^{\infty}$不定形は$e$の公式を使え！

上記4つの式ですが、実は使い分けのコツがあります。

それは

「考えたい極限が不定形で、かつ$1^{\infty}$不定形である場合、公式1or公式2を使う」

というものです。

小春

つまり$1^{\infty}$不定形の場合は、$e$の定義に帰着させればいいのね！

例題を見てみよう

楓

例題

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x-2}{x}\right)^x$$

そのまま極限を考えると$1^{\infty}$となっていますね。

そこでネイピア数の定義である公式1、もしくは公式2が使える形に持っていきます。

$h=-\frac{2}{x}$とおくと、$x\to \infty $のとき$h \to 0$なので、

\begin{align} 与式 &= \lim_{x\to\infty} \left(1-\frac{2}{x}\right)^x\\\ &= \lim_{h\to 0}(1+h)^{-\frac{2}{h}}\\\ &= \lim_{h \to 0}\left\{\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right\}^{-2}\\\ &= e^{-2} \\\ \end{align}

となります。

これでは少々物足りないでしょうから、もう少し複雑な例題も扱ってみましょう。

例題

$$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^x$$

$$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^x = \lim_{x\to\infty} \left(1-\frac{2}{x+1}\right)^x$$

なので、これはそのまま計算すると$1^{\infty}$の不定形になりますね。

そこで先ほどと同様、$h=-\frac{2}{x+1}$とおいてみましょう。

すると、

$x\to\infty$のとき、$h\to 0$
$x = -\frac{2}{h}-1$

なので、次のように式変形できます。

\begin{align} 与式 &= \lim_{h\to0} (1+h)^{-\frac{2}{h}-1}\\\ &= \lim_{h\to 0} \left\{(1+h)^{\frac{1}{h}}\right\}^{-2}(1+h)^{-1}\\\ &= e^{-2}\cdot 1 \\\ &= \frac{1}{e^2} \\\ \end{align}

このように$1^{\infty}$不定形の場合はネイピア数の定義に帰着すればいいことが多く、それ以外の不定形は式変形をうまく駆使して$\frac{0}{0}$不定形に持ち込むことで公式3、4が使えるようになります。

楓

最後に練習問題で扱うね！

まとめ

それではまとめます。

まとめ

指数・対数関数の極限を考えるためには、

$$\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$$
$$\lim_{h\to \infty} \left(1+\frac{1}{h}\right)^{h} = e$$
$$\lim_{h\to 0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1$$
$$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$$

のどれかに帰着させて考えれば良い。

ただし、$1^{\infty}$不定形の場合は、ネイピア数の定義である公式1、もしくは公式2を使うと良い。

指数・対数関数の極限は数問解いていくうちに「解くためのコツ」がほとんど共通していることに気がつけます。

それほど難しい内容ではないので、さっと理解した上で問題をガッツリ解いてみると力になりますよ！

以上、「指数・対数関数の極限」についてでした。

チェック問題

例題

$$\lim_{n\to\infty} n\left\{\log(n+1)-\log n\right\}$$

$$\lim_{n\to\infty} n\left\{\log(n+1)-\log n\right\} = \lim_{n\to\infty}n\log \frac{n+1}{n}$$

（※見切れている場合はスクロール）

より、このまま計算すると$\infty \times 0$不定形になる。

ここで繁分数

$$n = \frac{1}{\frac{1}{n}}$$

の考え方を用いると、

$$\lim_{n\to\infty}n\log \frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\log\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}$$

となり$\frac{1}{n} \to 0$より、与式は$\frac{0}{0}$不定形まで変形することができた。

ここまで来れば公式3を使うことで

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\log\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} =1$$

と導くことができる。

例題

$$\lim_{x\to0}\frac{x}{2^x-1}$$

小春

このまま考えると$\frac{0}{0}$だから、公式3か4が使える形に変形すればいいのね！

ネイピア数の公式

$$e^{\log2} = 2$$

を用いる。

楓

これは数Ⅲでよく出てくる式だから押さえておこう！

参考log(ログ)って何？常用対数、自然対数とは？対数を徹底解説！！

\begin{align} \lim_{x\to0}\frac{x}{2^x-1} &= \lim_{x\to0}\frac{x}{e^{(\log 2)x}-1}\\\ &= \lim_{x\to0}\color{red}{\frac{(\log 2)x}{e^{(\log 2)x}-1}}\cdot \frac{1}{\log 2}\\\ &= \color{red}{1}\cdot \frac{1}{\log 2} \\\ &= \frac{1}{\log 2}\\\ \end{align}

小春

公式4の逆数を使ったんだね！