Today's Topic
- そのまま極限を考えると\(\infty - \infty, \frac{0}{0}\)不定形になる場合、有理化を使うとうまくいく場合が多い。
- 負の無限大の極限を考える際、符号に注意する
楓
今日は無理関数、つまりルートの極限公式への対処法を学ぶよ！
小春
楓
実は適切な場面で有理化を使わないと、遠回りになるんだよ！
なるほど、そしたら使うべき場面の見極め方とか教えて欲しいなぁ・・・
小春
この記事を読むと、この意味がわかる！
- $$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-4}$$
- $$\lim_{x\to -\infty}\frac{2x-\sqrt{4x^2+x}}{\sqrt{x^2-1}-x}$$
- $$\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$$
楓
【注意すべき点は2つだけ】有理化すべき場面と、マイナスを忘れる危険性
ルートを含んだ極限を考える際、注意すべき点は次の2点です。
ポイント
- そのまま極限を考えると\(\infty - \infty, \frac{0}{0}\)不定形になる場合、有理化を使うとうまくいく場合が多い。
- 負の無限大の極限を考える際、符号に注意する
具体的に例題を見てみましょう。
有理化をすべき場面
例題
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$$
この問題では、そのまま極限を考えると\(\frac{0}{0}\)不定形になっていますね。
よって有理化が有効です。
\begin{align} \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} &= \lim_{x\to\infty}\frac{\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\color{red}{\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}}{x\color{red}{\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}}\\\ &= \lim_{x\to 0}\frac{2\require{cancel} \cancel{x}}{\require{cancel} \cancel{x}\color{red}{\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}}\\\ &= \frac{2}{1+1}\\\ &= 1 \\\ \end{align}
（※見切れている場合はスクロール）
楓
2行目の段階で\(\frac{0}{0}\)不定形の原因だった\(x\)が分母分子から消えているよ！
マイナスに注意すべき場面と対処法
例題
$$\lim_{x\to -\infty}\frac{3x+5}{\sqrt{x^2+2}-x}$$
この極限をそのまま求めようとすると、\(-\frac{\infty}{\infty}\)の不定形になります。
よってこの問題は先ほどとは違い、有理化はあまり有効ではありません。
有理化を使わないで解決する方法として、分母分子を\(x\)で割るという手法が考えられます。
\begin{align} \lim_{x\to -\infty}\frac{3x+5}{\sqrt{x^2+2}-2} &= \lim_{x\to -\infty}\frac{3+\frac{5}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+2}}{x}-1}\\\ &= \lim_{x\to -\infty}\frac{3+\frac{5}{x}}{\color{red}{-\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}-1}\\\ &= -\frac{3}{2}\\\ \end{align}
（※見切れている場合はスクロール）
楓
ほんとだ・・・。だけど、なんで分母はマイナスになったの？
小春
この解答で注目して欲しいのが、赤で示している「急にマイナスが出てくる」タイプです。
これは、\(x\to - \infty\)という\(x<0\)と考えても良い場面が起因しています。
任意の数\(x\)の平方根は、\(\sqrt{x},\ -\sqrt{x}\)の2つがあります。
つまり
$$x=\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2}\ (x≧0) \\ -\sqrt{x^2}\ (x<0) \end{array} \right. $$
と定義されているわけです。
この中で\(x\to - \infty\)、つまり\(x<0\)の場面に適しているのは後者の\(-\sqrt{x^2}\)となります。
そのため先程の赤で示して部分には
\begin{align} \frac{\sqrt{x^2+2}}{x} &= \frac{\sqrt{x^2+2}}{\color{red}{-\sqrt{x^2}}}\\\ &= -\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}\\\ \end{align}
という式変形が隠れているというわけです。
小春
\(x\to - \infty\)のとき\(x = -\sqrt{x^2}\ (x<0)\)と見抜けるのがベストだけど、間違えない方法も一応あるよ。
楓
慣れてしまうのがベストですが、どうしても違和感がある場合は
\(t = - x\)というふうにおくことで解消されます。
\(t = -x\)とおくと、\(x \to - \infty\)のとき\(t \to \infty\)なので\(t>0\)と考えて良い。
\begin{align} \lim_{x\to -\infty}\frac{3x+5}{\sqrt{x^2+2}-x} &= \lim_{t\to \infty}\frac{-3t+5}{\sqrt{t^2+2}-t}\\\ &= \lim_{t\to \infty}\frac{3+\frac{5}{t}}{\sqrt{1+\frac{2}{t^2}}+1}\\\ &= -\frac{3}{2}\\\ \end{align}
（※見切れている場合はスクロール）
有理化すべきでない問題で有理化すると・・・
2番目に扱った例題
例題
$$\lim_{x\to -\infty}\frac{3x+5}{\sqrt{x^2+2}-x}$$
では、有理化は使用すべきでありませんでした。
では、有理化をするとどういうことが起きるかみてみましょう。
\begin{align} \lim_{x\to -\infty}\frac{3x+5}{\sqrt{x^2+2}-x} &= \lim_{x\to -\infty}\frac{(3x+5)\color{red}{\left(\sqrt{x^2+2}+x\right)}}{\left(\sqrt{x^2+2}-x\right)\color{red}{\left(\sqrt{x^2+2}+x\right)}}\\\ &= \lim_{x\to -\infty} \frac{(3x+5)\left(\sqrt{x^2+2}+x\right)}{2}\\\ \end{align}
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小春
あれ、\(\infty - \infty\)不定形の部分が出てくる・・・。
このように「ルートが来たから有理化」という単純な問題ではなく、時と場合を選ばないとますます複雑にしてしまうだけです。。。
【まとめ】
楓
まとめ
- そのまま極限を考えると\(\infty - \infty, \frac{0}{0}\)不定形になる場合、有理化を使うとうまくいく場合が多い。
- 負の無限大の極限を考える際、符号に注意する
教科書ではサラッと流される無理関数の極限ですが、実際には有理化すべき場面を見抜いたり、\(x\)の極限から符号を判断したりと、言われなきゃ身につかないテクニックがあります。
是非したのチェック問題でも力試しをしてみて下さい。
以上、「無理関数の極限について」でした。
チェック問題
例題
$$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-4}$$
$$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-4} = \frac{2-2}{-3} = 0$$
テクニック以前に、極限をそのまま考えるとどうなるかを考えることを忘れずに！
例題
$$\lim_{x\to -\infty}\frac{2x-\sqrt{4x^2+x}}{\sqrt{x^2-1}-x}$$
小春
そのまま考えると\(-\frac{\infty}{\infty}\)不定形だから、有理化は使わなくていいね！
\(x\to-\infty\)のもとで考えるので\(x<0\)とみなしてよく、このとき\(x= -\sqrt{x^2}\)であることに注意する。
分母分子を\(x\)で割ると
\begin{align} \lim_{x\to -\infty}\frac{2x-\sqrt{4x^2+x}}{\sqrt{x^2-1}-x} &=\lim_{x\to -\infty}\frac{\frac{2x}{x}-\frac{\sqrt{4x^2+x}}{\color{red}{-\sqrt{x^2}}}}{\frac{\sqrt{x^2-1}}{\color{red}{-\sqrt{x^2}}}-\frac{x}{x}} \\\ &= \lim_{x\to -\infty} \frac{2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}}{-\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-1}\\\ &= \frac{2+2}{-1-1}\\\ &= -2\\\ \end{align}
（※見切れている場合はスクロール）
メモ
\(x=-\sqrt{x^2}\)と変形するのが不安な場合は\(t=-x\)とおくようにしよう！
例題
$$\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$$
小春
そのまま考えると\(\frac{0}{0}\)不定形だから、有理化が効果抜群かも？！
\begin{align} \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} &= \lim_{x\to 2}\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\color{red}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)}}{(x-2)\color{red}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)}}\\\ &= \lim_{x\to 2}\frac{\require{cancel} \cancel{x-2}}{\require{cancel} \cancel{(x-2)}\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)}\\\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}}\\\ \end{align}
（※見切れている場合はスクロール）
メモ
\(x\to 2\)なので\(x>0\)と考えてよく、
\begin{align} x-2 &= \left(\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2\\\ &= \left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\\\ \end{align}
と考えると少しだけ早く計算できますよ。
