ルート 極限

【ルートの極限】と応用公式|不定形でわかる有理化を使うポイントと効率的な解法

無理関数の極限公式

Today's Topic

  1. そのまま極限を考えると\(\infty - \infty, \frac{0}{0}\)不定形になる場合、有理化を使うとうまくいく場合が多い。
  2. 負の無限大の極限を考える際、符号に注意する

 

今日は無理関数、つまりルートの極限公式への対処法を学ぶよ!
有理化すればいいんじゃないの?
小春
実は適切な場面で有理化を使わないと、遠回りになるんだよ!
なるほど、そしたら使うべき場面の見極め方とか教えて欲しいなぁ・・・
小春

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • $$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-4}$$
  • $$\lim_{x\to -\infty}\frac{2x-\sqrt{4x^2+x}}{\sqrt{x^2-1}-x}$$
  • $$\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$$

答えは最後に解説!

 

【注意すべき点は2つだけ】有理化すべき場面と、マイナスを忘れる危険性

 

ルートを含んだ極限を考える際、注意すべき点は次の2点です。

ポイント

  1. そのまま極限を考えると\(\infty - \infty, \frac{0}{0}\)不定形になる場合、有理化を使うとうまくいく場合が多い。
  2. 負の無限大の極限を考える際、符号に注意する

 

具体的に例題を見てみましょう。

 

有理化をすべき場面

例題

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$$

 

この問題では、そのまま極限を考えると\(\frac{0}{0}\)不定形になっていますね。

 

よって有理化が有効です。

\begin{align} \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} &= \lim_{x\to\infty}\frac{\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\color{red}{\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}}{x\color{red}{\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}}\\\ &= \lim_{x\to 0}\frac{2\require{cancel} \cancel{x}}{\require{cancel} \cancel{x}\color{red}{\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}}\\\ &= \frac{2}{1+1}\\\ &= 1 \\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

2行目の段階で\(\frac{0}{0}\)不定形の原因だった\(x\)が分母分子から消えているよ!

 

マイナスに注意すべき場面と対処法

例題

$$\lim_{x\to -\infty}\frac{3x+5}{\sqrt{x^2+2}-x}$$

この極限をそのまま求めようとすると、\(-\frac{\infty}{\infty}\)の不定形になります。

よってこの問題は先ほどとは違い、有理化はあまり有効ではありません。

 

 

有理化を使わないで解決する方法として、分母分子を\(x\)で割るという手法が考えられます。

\begin{align} \lim_{x\to -\infty}\frac{3x+5}{\sqrt{x^2+2}-2} &= \lim_{x\to -\infty}\frac{3+\frac{5}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+2}}{x}-1}\\\ &= \lim_{x\to -\infty}\frac{3+\frac{5}{x}}{\color{red}{-\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}-1}\\\ &= -\frac{3}{2}\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

ねっ、有理化なんか使わないでしょ?
ほんとだ・・・。だけど、なんで分母はマイナスになったの?
小春

 

この解答で注目して欲しいのが、赤で示している「急にマイナスが出てくる」タイプです。

これは、\(x\to - \infty\)という\(x<0\)と考えても良い場面が起因しています。

 

任意の数\(x\)の平方根は、\(\sqrt{x},\ -\sqrt{x}\)の2つがあります。

つまり

$$x=\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2}\ (x≧0) \\ -\sqrt{x^2}\ (x<0) \end{array} \right. $$

と定義されているわけです。

 

この中で\(x\to - \infty\)、つまり\(x<0\)の場面に適しているのは後者の\(-\sqrt{x^2}\)となります。

そのため先程の赤で示して部分には

\begin{align} \frac{\sqrt{x^2+2}}{x} &= \frac{\sqrt{x^2+2}}{\color{red}{-\sqrt{x^2}}}\\\ &= -\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}\\\ \end{align}

という式変形が隠れているというわけです。

 

小春
うわぁ、確かにそうだけど引っかかりそう・・・
\(x\to - \infty\)のとき\(x = -\sqrt{x^2}\ (x<0)\)と見抜けるのがベストだけど、間違えない方法も一応あるよ。

 

慣れてしまうのがベストですが、どうしても違和感がある場合は

\(t = - x\)というふうにおくことで解消されます。

\(t = -x\)とおくと、\(x \to - \infty\)のとき\(t \to \infty\)なので\(t>0\)と考えて良い。

\begin{align} \lim_{x\to -\infty}\frac{3x+5}{\sqrt{x^2+2}-x} &= \lim_{t\to \infty}\frac{-3t+5}{\sqrt{t^2+2}-t}\\\ &= \lim_{t\to \infty}\frac{3+\frac{5}{t}}{\sqrt{1+\frac{2}{t^2}}+1}\\\ &= -\frac{3}{2}\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

有理化すべきでない問題で有理化すると・・・

 

2番目に扱った例題

例題

$$\lim_{x\to -\infty}\frac{3x+5}{\sqrt{x^2+2}-x}$$

では、有理化は使用すべきでありませんでした。

 

では、有理化をするとどういうことが起きるかみてみましょう。

\begin{align} \lim_{x\to -\infty}\frac{3x+5}{\sqrt{x^2+2}-x} &= \lim_{x\to -\infty}\frac{(3x+5)\color{red}{\left(\sqrt{x^2+2}+x\right)}}{\left(\sqrt{x^2+2}-x\right)\color{red}{\left(\sqrt{x^2+2}+x\right)}}\\\ &= \lim_{x\to -\infty} \frac{(3x+5)\left(\sqrt{x^2+2}+x\right)}{2}\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

小春
あれ、\(\infty - \infty\)不定形の部分が出てくる・・・。

 

このように「ルートが来たから有理化」という単純な問題ではなく、時と場合を選ばないとますます複雑にしてしまうだけです。。。

【まとめ】

今日のまとめ

 

まとめ

  1. そのまま極限を考えると\(\infty - \infty, \frac{0}{0}\)不定形になる場合、有理化を使うとうまくいく場合が多い。
  2. 負の無限大の極限を考える際、符号に注意する

 

教科書ではサラッと流される無理関数の極限ですが、実際には有理化すべき場面を見抜いたり、\(x\)の極限から符号を判断したりと、言われなきゃ身につかないテクニックがあります。

是非したのチェック問題でも力試しをしてみて下さい。

 

以上、「無理関数の極限について」でした。

 

チェック問題

 

例題

$$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-4}$$

$$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-4} = \frac{2-2}{-3} = 0$$

テクニック以前に、極限をそのまま考えるとどうなるかを考えることを忘れずに!

 

例題

$$\lim_{x\to -\infty}\frac{2x-\sqrt{4x^2+x}}{\sqrt{x^2-1}-x}$$

小春
そのまま考えると\(-\frac{\infty}{\infty}\)不定形だから、有理化は使わなくていいね!

 

\(x\to-\infty\)のもとで考えるので\(x<0\)とみなしてよく、このとき\(x= -\sqrt{x^2}\)であることに注意する。

分母分子を\(x\)で割ると

\begin{align} \lim_{x\to -\infty}\frac{2x-\sqrt{4x^2+x}}{\sqrt{x^2-1}-x} &=\lim_{x\to -\infty}\frac{\frac{2x}{x}-\frac{\sqrt{4x^2+x}}{\color{red}{-\sqrt{x^2}}}}{\frac{\sqrt{x^2-1}}{\color{red}{-\sqrt{x^2}}}-\frac{x}{x}} \\\ &= \lim_{x\to -\infty} \frac{2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}}{-\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-1}\\\ &= \frac{2+2}{-1-1}\\\ &= -2\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

メモ

\(x=-\sqrt{x^2}\)と変形するのが不安な場合は\(t=-x\)とおくようにしよう!

 

例題

$$\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$$

小春
そのまま考えると\(\frac{0}{0}\)不定形だから、有理化が効果抜群かも?!

 

\begin{align} \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} &= \lim_{x\to 2}\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\color{red}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)}}{(x-2)\color{red}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)}}\\\ &= \lim_{x\to 2}\frac{\require{cancel} \cancel{x-2}}{\require{cancel} \cancel{(x-2)}\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)}\\\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}}\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

メモ

\(x\to 2\)なので\(x>0\)と考えてよく、

\begin{align} x-2 &= \left(\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2\\\ &= \left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\\\ \end{align}

と考えると少しだけ早く計算できますよ。

 

\今回の記事はいかがでしたか?/

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