【分数関数収束の必要条件】暗記なし！「分子が収束することが必要である」に隠された本当の意味

Today's Topic

$$\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+1} - k}{x-3}$$が有限な値になるような定数$k$の値を求めよ。

教科書の回答

分母に着目すると、$$\lim_{x\to 3}(x-3)=0$$なので、分子も0に収束することが必要条件である。・・・

小春

楓くん〜、「有限な値になるための必要条件」っていう謎問題が〜泣

あぁ、確かにそこは初見だと難しいかもね。

楓

小春

何か暗記することとか、コツとかある？？

ん〜、納得さえしてしまえば、暗記なんかいらないかな！

楓

この記事を読むと、この意味がわかる！

$$\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+1} - k}{x-3}$$が有限な値になるような定数$k$の値を求めよ。
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{ax+b} = \frac{1}{3}$$が成り立つとき、定数$a,\ b$の値を求めよ。

楓

2つとも例題で扱うよ！

Contents

1 分数関数の極限値が存在するためには・・・？
2 分数関数収束の必要条件❶
3 分数関数収束の必要条件❷
4 まとめ

分数関数の極限値が存在するためには・・・？

教科書の回答は、次の事実に基づいて記述されてます。

ポイント

分数関数$\frac{f(x)}{g(x)}$について、$$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=k$$つまり一定の値に収束するとき、

$g(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} 0$ならば、$f(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\cdot g(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} k\cdot 0 = 0$
$f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} 0$かつ$\frac{f(x)}{g(x)}$が0以外に収束するならば、$g(x)=\frac{1}{\frac{f(x)}{g(x)}}\cdot f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} \frac{1}{k}\cdot 0 = 0$

小春

・・・・ぐふっ

吐血！？大丈夫！すぐわかるから！！！！

楓

分数関数収束の必要条件❶

例題を通して考えてみましょう。

例題

$$\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+1} - k}{x-3}$$が有限な値になるような定数$k$の値を求めよ。また、その有限な値はいくらか。

この問題に「有限な値になるように」とあるので、「与えられた分数関数がある有限な値に収束する」という前提で考えてみます。

この値を$a$としてみましょう。

$$\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+1} - k}{x-3}=a$$

この条件を見てみると、分母$x-3$は0に収束していることがわかります。

小春

う〜ん、このとき分子はどうなればいいのかな？？？

ここで分子に、次のような意図的な変形を施します。

$$\sqrt{x+1}-k=\frac{\sqrt{x+1}-k}{\color{red}{x-3}} \cdot \color{red}{(x-3)}$$

小春

分子を考えていたのに、あえて与式の分数関数を作るのんだね！？

ここで分子の極限を考えてみると、分数関数は$a$に、$x-3$は0に収束するため、極限の分配法則極限の分配法則を適用できます。

\begin{align} \lim_{x\to3}\left(\sqrt{x+1}-k\right) &= \lim_{x\to 3} \left(\frac{\sqrt{x+1}-k}{x-3} \cdot (x-3)\right)\\\ &=\lim_{x\to 3} \left(\frac{\sqrt{x+1}-k}{x-3}\right) \cdot \lim_{x\to 3} \left(x-3\right) \\\ &= a\cdot 0 \\\ &= 0 \\\ \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）

よって、与えられた分数関数が収束し、かつ分母も収束0にするならば、分子も0に収束するということがわかりました。

命題の単元で学習した通り、「pならばq」という命題に対して、qはpの必要条件と呼ばれます。

つまり、「与えられた分数関数が収束する」「分母が0に収束する」という問題の条件に対して、「分子が0に収束する」は必要条件と言うことになりますね！

小春

教科書はこのことを言っていたんだね。。。

分子は0に収束するらしいので、

$$\lim_{x\to 3}\left(\sqrt{x+1}-k\right) =0 $$

を解いてみると、

$$k=2$$

となります。これを与式に代入してあげると、

\begin{align}\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x-3} &=\lim_{x\to 3} \frac{(\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2)}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}\\\ &= \lim_{x\to 3} \frac{1}{\sqrt{x+1}+2}\\\ &= \frac{1}{4} \end{align}

（※見切れている場合はスクロール）

となり、答えは$\frac{1}{4}$であることがわかりました。

分数関数収束の必要条件❷

もう一問だけ、見てみることにしましょう。

例題

$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{ax+b} = \frac{1}{3}$$が成り立つとき、定数$a,\ b$の値を求めよ。

楓

今度は分子が0に収束する場合だね・・・！

結論から言ってしまうと、分母が収束するにしろ、分子が収束するにしろ、分数関数の収束条件は変わりません。

先ほど分子に施した処理と同じように、今度は分母から無理やり分数関数を作り出してみます。

\begin{align} ax+b &= \frac{1}{\frac{\cos x}{ax+b}} \cdot \cos x\\\ \end{align}

注意

ただしこの式変形を行う際、与えられた分数関数が分母になっていることに着目しましょう。

分母が0に収束する場合、結局不定形となりこの手法は使えなくなるので、与えられた分数関数が0以外に収束することを確かめた上で使いましょう！

もちろん前提条件より、$\frac{\cos x}{ax+b}$は$\frac{1}{3}$に、$\cos x$は0に収束することがわかっているので、こちらも極限の分配法則が使えますね！

\begin{align} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(ax+b\right) &= \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\frac{\cos x}{ax+b}} \cdot \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \cos x\\\ &= 3 \cdot 0 \\\ &= 0 \\\ \end{align}

小春

あ、分母が0に収束することが必要条件になったね！

その通り！もう少し整理してみよう。

楓

よって、$ax+b \underset{x\to \frac{\pi}{2}}{\longrightarrow} 0$より

$$b=-\frac{a}{2}\pi$$

が、最も簡単な必要条件となりますね。

小春

まだ$a$も$b$も残ってる。。。

あとは与式に戻ると勝手に消えてくよ！

楓

\begin{align} \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{ax+b} &= \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{ax-\frac{a}{2}\pi} \\\ &= \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{2}{a} \cdot \frac{\cos x}{2x-\pi} \\\ \end{align}

このままだと不定形になってしまうので、$t=2x-\pi$とおいて処理していきます。

$x\to \frac{\pi}{2}$のとき、$t\to 0$なので、

\begin{align} \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{2}{a} \cdot \frac{\cos x}{2x-\pi} &=\lim_{t\to 0}\frac{2}{a} \cdot \frac{\cos \left(\frac{t+\pi}{2}\right)}{t}\\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{2}{a} \cdot \left( -\frac{\sin \frac{t}{2}}{2\cdot\frac{t}{2}} \right)\\\ &= -\frac{1}{a}\\\ \end{align}

楓

サインの極限公式

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} =1$$

を使うよ！

以上より、

$$-\frac{1}{a} = \frac{1}{3}$$

とわかるので、$a=-3,\ b=-\frac{3}{2}\pi$となりましたね！

まとめ

楓

最後にまとめるよ！

注意ポイント

分数関数が有限な値に収束するためには、

分母が0に収束するならば、分子も収束することが必要
分子が0に収束し、分数関数自体は0以外に収束するならば、分母も0に収束することが必要

という条件を使えば良い。

まとめではとりあえず2つ書きましたが、今回のように2つ目の事実は、結局1つ目の事実を応用して導くことができるので、結局1つ目だけ覚えておけばOKです。

いつも言いますが、「分子も0になることが必要条件」というのを覚えるのではなく、「なぜ必要条件になっているのか」をしっかり説明できるようになったほうが、結果としてはラクですよ。

以上、「分数関数が収束するための必要条件」についてでした。

【分数関数収束の必要条件】暗記なし！「分子が収束することが必要である」に隠された本当の意味

分数関数の極限値が存在するためには・・・？

分数関数収束の必要条件❶

分数関数収束の必要条件❷

まとめ

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