極限

【分数関数収束の必要条件】暗記なし!「分子が収束することが必要である」に隠された本当の意味

分数関数が収束するための必要条件

Today's Topic

$$\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+1} - k}{x-3}$$が有限な値になるような定数\(k\)の値を求めよ。 

 

教科書の回答

分母に着目すると、$$\lim_{x\to 3}(x-3)=0$$なので、分子も0に収束することが必要条件である。・・・

 

小春
楓くん〜、「有限な値になるための必要条件」っていう謎問題が〜泣

あぁ、確かにそこは初見だと難しいかもね。
小春
何か暗記することとか、コツとかある??
ん〜、納得さえしてしまえば、暗記なんかいらないかな!

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • $$\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+1} - k}{x-3}$$が有限な値になるような定数\(k\)の値を求めよ。 
  • $$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{ax+b} = \frac{1}{3}$$が成り立つとき、定数\(a,\ b\)の値を求めよ。

2つとも例題で扱うよ!

 

分数関数の極限値が存在するためには・・・?

教科書の回答は、次の事実に基づいて記述されてます。

 

ポイント

分数関数\(\frac{f(x)}{g(x)}\)について、$$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=k$$つまり一定の値に収束するとき、

  1. \(g(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} 0\)ならば、\(f(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\cdot g(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} k\cdot 0 = 0\)
  2. \(f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} 0\)かつ\(\frac{f(x)}{g(x)}\)が0以外に収束するならば、\(g(x)=\frac{1}{\frac{f(x)}{g(x)}}\cdot f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} \frac{1}{k}\cdot 0 = 0\)

 

小春
・・・・ぐふっ

吐血!?大丈夫!すぐわかるから!!!!

 

分数関数収束の必要条件❶

 

例題を通して考えてみましょう。

 

例題

$$\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+1} - k}{x-3}$$が有限な値になるような定数\(k\)の値を求めよ。また、その有限な値はいくらか。 

 

この問題に「有限な値になるように」とあるので、「与えられた分数関数がある有限な値に収束する」という前提で考えてみます。

 

この値を\(a\)としてみましょう。

$$\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+1} - k}{x-3}=a$$

 

この条件を見てみると、分母\(x-3\)は0に収束していることがわかります。

小春
う〜ん、このとき分子はどうなればいいのかな???

 

ここで分子に、次のような意図的な変形を施します。

$$\sqrt{x+1}-k=\frac{\sqrt{x+1}-k}{\color{red}{x-3}} \cdot \color{red}{(x-3)}$$
小春
分子を考えていたのに、あえて与式の分数関数を作るのんだね!?

 

ここで分子の極限を考えてみると、分数関数は\(a\)に、\(x-3\)は0に収束するため、極限の分配法則極限の分配法則を適用できます。

\begin{align} \lim_{x\to3}\left(\sqrt{x+1}-k\right) &= \lim_{x\to 3} \left(\frac{\sqrt{x+1}-k}{x-3} \cdot (x-3)\right)\\\ &=\lim_{x\to 3} \left(\frac{\sqrt{x+1}-k}{x-3}\right) \cdot \lim_{x\to 3} \left(x-3\right) \\\ &= a\cdot 0 \\\ &= 0 \\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

よって、与えられた分数関数が収束し、かつ分母も収束0にするならば、分子も0に収束するということがわかりました。

 

命題の単元で学習した通り、「pならばq」という命題に対して、qはpの必要条件と呼ばれます。

 

つまり、「与えられた分数関数が収束する」「分母が0に収束する」という問題の条件に対して、「分子が0に収束する」は必要条件と言うことになりますね!

小春
教科書はこのことを言っていたんだね。。。

 

分子は0に収束するらしいので、

$$\lim_{x\to 3}\left(\sqrt{x+1}-k\right) =0 $$

を解いてみると、

$$k=2$$

となります。これを与式に代入してあげると、

\begin{align}\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x-3} &=\lim_{x\to 3} \frac{(\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2)}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}\\\ &= \lim_{x\to 3} \frac{1}{\sqrt{x+1}+2}\\\ &= \frac{1}{4} \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

となり、答えは\(\frac{1}{4}\)であることがわかりました。

 

分数関数収束の必要条件❷

 

もう一問だけ、見てみることにしましょう。

 

例題

$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{ax+b} = \frac{1}{3}$$が成り立つとき、定数\(a,\ b\)の値を求めよ。

 

今度は分子が0に収束する場合だね・・・!

 

結論から言ってしまうと、分母が収束するにしろ、分子が収束するにしろ、分数関数の収束条件は変わりません。

 

先ほど分子に施した処理と同じように、今度は分母から無理やり分数関数を作り出してみます。

\begin{align} ax+b &= \frac{1}{\frac{\cos x}{ax+b}} \cdot \cos x\\\ \end{align}

 

注意

ただしこの式変形を行う際、与えられた分数関数が分母になっていることに着目しましょう。

分母が0に収束する場合、結局不定形となりこの手法は使えなくなるので、与えられた分数関数が0以外に収束することを確かめた上で使いましょう!

 

もちろん前提条件より、\(\frac{\cos x}{ax+b}\)は\(\frac{1}{3}\)に、\(\cos x\)は0に収束することがわかっているので、こちらも極限の分配法則が使えますね!

\begin{align} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(ax+b\right) &= \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\frac{\cos x}{ax+b}} \cdot \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \cos x\\\ &= 3 \cdot 0 \\\ &= 0 \\\ \end{align}

 

小春
あ、分母が0に収束することが必要条件になったね!

その通り!もう少し整理してみよう。

 

よって、\(ax+b \underset{x\to \frac{\pi}{2}}{\longrightarrow} 0\)より

$$b=-\frac{a}{2}\pi$$

が、最も簡単な必要条件となりますね。

小春
まだ\(a\)も\(b\)も残ってる。。。
あとは与式に戻ると勝手に消えてくよ!

 

\begin{align} \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{ax+b}  &= \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{ax-\frac{a}{2}\pi} \\\ &= \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{2}{a} \cdot \frac{\cos x}{2x-\pi} \\\ \end{align}

 

このままだと不定形になってしまうので、\(t=2x-\pi\)とおいて処理していきます。

\(x\to \frac{\pi}{2}\)のとき、\(t\to 0\)なので、

\begin{align} \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{2}{a} \cdot \frac{\cos x}{2x-\pi} &=\lim_{t\to 0}\frac{2}{a} \cdot \frac{\cos \left(\frac{t+\pi}{2}\right)}{t}\\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{2}{a} \cdot \left( -\frac{\sin \frac{t}{2}}{2\cdot\frac{t}{2}} \right)\\\ &= -\frac{1}{a}\\\ \end{align}
サインの極限公式

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} =1$$

を使うよ!

 

以上より、

$$-\frac{1}{a} = \frac{1}{3}$$

とわかるので、\(a=-3,\ b=-\frac{3}{2}\pi\)となりましたね!

 

まとめ

最後にまとめるよ!

 

注意ポイント

分数関数が有限な値に収束するためには、

  1. 分母が0に収束するならば、分子も収束することが必要
  2. 分子が0に収束し、分数関数自体は0以外に収束するならば、分母も0に収束することが必要

という条件を使えば良い。

 

まとめではとりあえず2つ書きましたが、今回のように2つ目の事実は、結局1つ目の事実を応用して導くことができるので、結局1つ目だけ覚えておけばOKです。

 

いつも言いますが、「分子も0になることが必要条件」というのを覚えるのではなく、「なぜ必要条件になっているのか」をしっかり説明できるようになったほうが、結果としてはラクですよ。

 

以上、「分数関数が収束するための必要条件」についてでした。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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