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【完全版】高校数学の勉強法とオススメの参考書をレベル別にまとめてみました。

集合と命題

【命題】が必ず理解できる4ステップ!真偽の基準と証明するテクニックを徹底解説!

命題の解き方

Today's Topic

命題の真偽を確かめる(証明する)ためには、

  • 仮定と結論を把握し、略記に直す
  • 仮定の要素全てを列挙できるか考える
  • 仮定の条件式を変形して、結論の式と一致できるか考える
  • 反例を考える

の順に考えれば良い。

 

さて、今回から命題に入るよ!数学の中で最も理解しておくべき内容だよ。
そうなの?!
小春
正直、この命題がわからないと証明問題はほぼ解けなくなる。今回は命題の考え方と、その回答のアプローチを教えるね。
ということは、全ての証明問題に通ずるのか。。(ゴクリ)
小春

 

この記事を読むと、この問題が解ける!

  • 実数\(a, \ b\)において\(a>0, \ b>0\)ならば\(\frac{a+b}{2} ≧ \sqrt{ab}\)
  • 実数\(a, \ b\)において\(a>b>0\)ならば\(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)

答えは一番最後に扱うよ!

 

数学における命題とは

 

「命題」とは、数学に限らず世間一般でも使われることのある言葉です。

意味にそれほど違いはありませんが、しっかり定義しようとすれば次のようになります。

定義

命題とは正しいか、正しくないか、が常に定まる文章のこと。

正しい場合を真、正しくない場合を偽であるという。

 

例えば

100は大きい

は人や比較対象によって真偽が変わりますね。なので命題にはなり得ません。

例えば1クラスの人数100人は多いけど、地球の人口に対して100人は小さいよね。
真偽が人によって変わる曖昧な文章は命題じゃないってことね
小春

 

では次の文章はどうでしょうか?

1. \(1< x< 99\)とするとき、100は\(x\)よりも大きい
2. 11の方が7よりも小さい
小春
なるほど、これは誰が見ても1番目は真、2番目は偽ってなりそうだね。
これは比較対象の\(x\)や7によって、文章に人の曖昧さが介入できないような制限がついたってことね。

 

このように命題では、比較対象の\(x\)や7みたいな、大小関係や文字式などの条件が含まれることが多いです。

小春
そうすることで、なるべく曖昧さが含まれないようにしているんだね!
なのでまずは条件を捉えるところが大事。

 

仮定と結論

数学では命題を記号で略記することが多いです。

 

具体例を見ていきましょう。

条件\(A\): \(x > 3\),
条件\(B\): \(x > 1\)

とします。

 

このとき、命題「\(x > 3\)ならば、\(x>1\)」は

$$x > 3 \Rightarrow x>1$$

と書くことができます。

 

またこの条件\(A\)のように\(\Rightarrow\)より前にある部分を仮定、条件\(B\)のように\(\Rightarrow\)より後ろにある部分を結論と言います。

 

数学における命題は必ずこの形で書くことができ、仮定が前提条件、結論が示すべきことがらとなっています。

 

例えば先程の具体例

1. \(1<x<99\)とするとき、100は\(x\)よりも大きい
2. 11の方が7よりも小さい

を命題に直すと、

1. \(99 > x > 1 \Rightarrow 100>x\)
2. \(x = 7 \Rightarrow x > 11\)

のようになります。

 

命題が真か偽かは命題の定義には含まれていないので、1、2のどちらも、真偽に関係なく命題となります。

ただし、1を真の命題、2を偽の命題のように区別はするよ。

 

【重要】仮定の考え方

命題を理解するためのポイントは仮定にあります。

 

突然ですが、命題が真であると認められるときはどういうときでしょうか?

小春
えっ、、、命題が正しいときじゃないの・・・?
なるほど、じゃあ正しいってなんなの??
小春
ふぇええええ。。。

 

答えられましたか?

数学がわからなくなる要因の1つに、何を示せば命題が真として認められるのか把握していないことが起因していることが多いです。

 

それでは答えを発表します。

ポイント

数学における命題では、仮定を満たす全ての要素が結論を満たしている場合にのみ真であると認められます。

 

具体例を通して見ていきましょう。

1. \(99 > x > 1\Rightarrow 100>x\)
2. \(x = 7 \Rightarrow x > 11\)

 

1では、仮定が\(99 > x > 1\)となっています。

このとき仮定を満たすすべての要素とは、\(99> x > 1\)を満たすすべての数になります。

 

そのため

$$x = 2, 3, 4, \cdots 98$$

のすべての数において、\(100 > x\)が認められればこの命題は真となるというわけです。

小春
どれも100よりも小さから、この命題は真となるんだね。

 

2では、仮定が\(x=7\)となっています。

これを満たすすべての要素、といっても7しかありませんね。

よって\(x=7\)が\(x  >11\)を満たしていればこの命題は真となるわけです。

小春
これは満たしてないから偽だね!

 

数の集合を用いた前提条件

早速ですが、この命題は真でしょうか?

$$x < 11 \Rightarrow 0 < x $$

 

正解は命題になっていない、が答えです。

小春
ひ、引っかけだ〜〜〜〜。性格わるいわ〜
 

 

数学における数には自然数や整数、実数などの数の世界がありましたね。

参考【数の集合】自然数とは?整数とは?感覚だけでわかる数の集合

 

上の命題では、仮定における\(x\)がどの数の集合かが決められていません。

そのため、仮定が次のように数の集合によって変化してしまいます。

\(x\)が自然数の場合の仮定: \(1,2,3,\cdots,11\)
\(x\)が整数の場合の仮定: \(\cdots, -2, -1, 0 ,1, 2, \cdots, 11\)

 

これはつまり、\(x\)を自然数として認識した人と整数として認識した人で結論が分かれることを意味します。

小春
自然数の場合であれば結論\(0<x\)を満たすので真となるけど、整数の場合は普通に\(x=-3\)のときとかアウトだね。。。

 

よって、上記を正しく命題として表記するのであれば

\(x\)は自然数であるとする。このとき
$$x < 11 \Rightarrow 0 < x $$

のように注釈を付け加える必要があり、略記で表すと

$$xは自然数かつx < 11 \Rightarrow 0 < x$$

のように書く必要がありますね。

 

以上のことから、命題として成立させる上で

数の集合が重要な前提条件となる

ことがお分かりいただると思います。

 

反例

 

大事なことなので、もう一度掲載しておきましょう。

ポイント

数学における命題では、仮定を満たす全ての要素が結論を満たしている場合にのみ真であると認められます。

 

小春
そういえば、すべての数が満たしているって示すの結構大変じゃない?
ほぅ、例えば・・・?
小春
そうだな〜、、、例えば仮定が「\(x\)は整数ならば・・・」とかなってたら、整数全てを列挙しなきゃいけないわけでしょ。。。
いいところに気がついたね!

 

これはその通りで、仮定を満たすすべての要素を列挙して結論が成り立っていることを証明するのは難しい場合があります。

 

そこで考え方を変えて、偽であることを示すためにはどうすれば良いでしょうか?

 

答えは、

ポイント

仮定で述べられる条件を満たした要素の中で、結論を満たしていない要素を示せば偽と認められます。

そしてこの「仮定で述べられる条件を満たした要素の中で、結論を満たしていない要素」のことを反例と言います。

 

つまり反例を1つでも示せたら、命題を偽として扱うことができるんだっ!
そっか、、、!1つでも反例が上がれば、「仮定を満たすすべての要素が結論を満たす」真の場合に反するのね。。。
小春
そゆこと。すべての要素が結論を満たしていると証明するより、こっちは1つだけ示せばOKだからちょっと楽でしょ?

 

反例を1つ示せば、その命題は偽となる

 

後ほど、練習問題でこの反例を実際に使ってみることにしましょう。

 

集合とのリンク

 

命題は、これまで扱っていた集合として捉えることもできます。

次の命題を考えて見ましょう。

 

例題

実数\(x\)に対して、2つの条件

$$p:\ x≦2,\ \ q:\ x≦4$$

とする。このとき、命題\(p \Rightarrow q\)の真偽を調べよ。

 

実数全体の集合を全体集合\(U\)としたとき、仮定\(p\)を満たす数の集合\(P\)と、結論\(q\)を満たす数の集合\(Q\)とします。

 

命題が真の場合の集合関係

命題\(p \Rightarrow q\)が真の場合とは、仮定を満たすすべての要素が結論を満たすことでした。

これを集合で捉えると、

$$x \in Pならばx \in Q$$

(集合\(P\)に含まれる全ての\(x\)が、集合\(Q\)にも含まれる)

となります。

小春
ん、、、?これどっかで見た気がする。。。

 

そしてこれは「集合\(P\)が集合\Q\)の部分集合である」の定義とそのまんま一致しています。

参考【集合の包括関係・部分集合】部分集合の捉え方と等しい集合の条件を解説

 

つまり、

ポイント

命題が真であることは、集合\(P\)が集合\(Q\)の部分集合であることを意味しています。

 

命題が偽である場合の集合関係

では命題が偽の場合はどうでしょうか?

真の場合とは反対に、

ポイント

偽の命題は、部分集合になっていない次の2つの集合関係にあることを意味しています。

偽の命題の場合の集合関係 偽の命題の場合の集合関係

 

特に最初の集合関係にあるとき、\(x\in P かつx \notin P\cap Q\)に含まれる要素たちが反例と言われるわけです。

集合における反例の捉え方

小春
つまり「反例を1つでも示せれば命題を偽と扱える」のは、反例が上がった時点で\(P\)が\(Q\)の部分集合でないことが確定するからなんだね。

 

【命題の捉え方】真or偽を示す極意

 

命題は、数学における問題文と言っても過言ではありません。

命題を理解できなければ、数学の問題を理解していないことになるので、証明をはじめとして様々な問題が難解となります。

 

そんな基礎的な命題ですが、コツを掴めば特に気負う必要もなく、また証明問題では何を論点として証明を展開すればいいかが鮮明になります。

 

ここからは命題の真偽を証明するための考え方を見ていきましょう。

やることは次の3ステップです。

 

  •  
    STEP1
    命題の仮定と結論を把握し、略記に直す
    日本語で表された文章を、数学の命題として考えやすいように略記に直してみます。
  •  
    STEP2
    仮定の要素を考えてみて、全ての要素を列挙できるか考える
    仮定を満たす要素を、もれなくダブりなく列挙できるか考えてみましょう。
  •  
    STEP3
    仮定の条件から式変形して、結論の式に持っていけないか考えてみましょう。
    仮定を満たす全ての要素が列挙できない場合、条件式を式変形することで結論の式と一致することが示せないか考えましょう。
  •  
    STEP4
    全ての要素について証明できないなら、反例を考える
    上記までで仮定が結論を満たしていると証明できない場合、反例をあげられないか考えてみましょう。

 

命題 練習問題

それでは例題を通して、上記4ステップを身につけてみましょう。

 

問題1

 

例題

実数\(a, b, c\)について、次の命題の真偽を調べよ。

$$a + b> b +cを満たすとき、a>c$$

step
1
略記に直す

「〜を満たせば」の部分が仮定、「〜である」の部分が結論

 

$$a,b,cは実数かつa + b> b +c \Rightarrow a>c$$

(※見切れている場合はスクロール)

 

step
2
仮定を満たす全ての要素を列挙できるか

今回の場合、列挙していると実数全てを列挙しないといけなくなります。

そんなこと不可能ですね。。。

 

そこで仮定の式を、結論に向けて式変形できるか試みます。

小春
式変形で結論の式と一致すればいいの、、、?なんで??

 

step
3
仮定の式を変形して、結論の式と一致させられるか

先に説明しておくと、仮定の条件だけで行う式変形は、仮定の式と同じ要素を指し示します

例えば\(x = a+b\)を満たす全ての要素\(x\)は、\(2x = 2(a+b)\)を満たす要素\(x\)と一致するよね?

 

つまり

ポイント

仮定から式変形していき、結論の式まで変形できれば、仮定の全ての要素が結論の要素と一致することを表している

ということです。

 

今回の場合、

$$a+b > b+c$$

を満たす実数\(a, b, c\)は、両辺に\(-b\)を足した

$$a+b + (-b) > b+ c +(-b)$$

も満たします。

 

そしてこれはまさしく、結論の式

$$a > c$$

になりますねっ!

 

step
4
反例を考える

今回はすでに証明できたので、このステップはいりません。

 

問題2

 

例題

実数\(a, b, c\)について、次の命題の真偽を調べよ。

\(n\)を正の整数とするとき、

$$a>b ならば a^n > b^n$$

である。

 

step
1
略記に直す

$$a,b,cは実数かつnは正の整数かつa>b \Rightarrow a^n > b^n$$

(※見切れている場合はスクロール)

 

step
2
仮定を満たす全ての要素を列挙できるか

全ての実数と整数の組み合わせを列挙するのは不可能です。

次のステップにいきましょう。

 

step
3
仮定の式を変形して、結論の式と一致させられるか

今回の場合、仮定の条件が少ないのでかなり難しい戦いになります。

仮定の条件が少ないほど、命題の真偽判定は難しくなるよ。
つまり文が短い命題ほど難しくなるってことね。。。
小春

 

\(a>b\)の式変形としては、\(a-b>0\)や\(-a-b<-2b\)などがありますが、結論の\(a^n > b^n\)に持っていくのは、厳しいです。

そこで見方を変えて、反例があげられないか考えましょう。

 

step
4
反例を考える

実数\(a,\ b\)と正の整数\(n\)の組み合わせで、仮定は満たしつつ、結論を満たしていないものを探していきましょう。

もう一度言いますが、反例は1つ示せればその命題が偽であることを示していることになります。

 

例えば\(a=1, b=-3, n=2\)のときを考えてみましょう。

このとき\(a > b\)はしっかり満たしていますね。

ところが、結論の式に当てはめてみると、\(1^2 > (-3)^2\)となり、これは\(1>9\)となるため正しくありません。

 

つまり仮定を満たす条件\(a=1, b=-3, n=2\)は、結論が成立しない反例となるわけです。

 

日常生活での命題

ちょっとだけ脱線した内容を書きますね。

疲れた方は読み飛ばしてください。

 

この命題の理解は、論理的に人の話を理解する力を圧倒的に高めてくれます。

つまり日常生活で最も役立つ数学の分野と言っても過言ではありません。

 

社会を見渡してみると、多くの人が騙されている胡散臭い広告なんかがたくさんあります。

 

「あなたは私の親友よ。だから私はあなたを裏切るはずないわ!(だからこの書類に印鑑を・・・)」

「この仕事は社会に何も貢献できてない。つまりこの仕事をしている人は無意味な人だ。」

「私は人が好きです。だからこのビジネスを始めてあなたがお金持ちになることで、私も幸せです。」

などなど。。。

 

これらを命題にしてみるとどうでしょう。

反例を挙げること、できませんか??

小春
1つ目は親友に裏切られた人はいっぱいいるから、それが反例になるね。。。
2つ目はその仕事が誰に影響して、どんな作用が及んでいるかが説明されていないので結論を鵜呑みにできないよね。

 

では3つ目はどうでしょう。。。

「あなたと私の幸せは違うでしょう?例えば私が殺しに快感を覚える殺人鬼であなたの前で人を殺してもあなたは幸せなの・・・?」

小春
えっ、、、こわっ、、、!

 

一般的に命題は、仮定の範囲が大きくなるほど反例が出やすくなります。

 

例えば

「女性たちは皆、身長の高い男性と結婚したい」

という命題は、世界中探せば身長の低い人と付き合っている方(反例)はたくさんいますね。

 

しかし範囲を限定した

「私の友達の女性たちは皆、身長の高い男性と結婚したい」

であれば、その人の友達全員を調査すれば真であると示せます。

 

何が言いたいかというと、論理的に説明しているように見えて実は

  • 反例がポンポン出てくる
  • 仮定が大きすぎる

などのポンコツ理論が押し付けられることはよくあります。

なので人の話は信じる前に、よく聞いて反例がないかを考えてみてください

 

まとめ

 

それじゃあまとめよう!

 

まとめ

命題の真偽を確かめる(証明する)ためには、

  • 仮定と結論を把握し、略記に直す
  • 仮定の要素全てを列挙できるか考える
  • 仮定の条件式を変形して、結論の式と一致できるか考える
  • 反例を考える

の順に考えれば良い。

 

命題は数学の根幹であり、問題文とも言える部分。

どんなにあなたが正しいと思っても、反例が示せたり、仮定から導けないのであれば、その結論は間違っていることになります。

これは日常生活でも同じ。変な人に騙されないようにしようね。。。

 

以上、「命題について」でした。

 

チェック問題

 

例題

実数\(a, \ b\)において\(a>0, \ b>0\)ならば\(\frac{a+b}{2} ≧ \sqrt{ab}\)

 

step
1
略記に直す

$$a>0, b>0 \Rightarrow \frac{a+b}{2} ≧ \sqrt{ab}$$

 

step
2
仮定を満たす全ての要素を列挙できるか

仮定の\(a, b\)は実数を表しているので、全数を列挙して示すのは無理。

 

step
3
仮定の式を変形して、結論の式と一致させられるか

\(a>0,\  b>0\)のとき、\(a+b -2\sqrt{ab}\)について考えることができる。

小春
ルートの中身は必ず正じゃないといけなかったから、\(a>0,\  b>0\)のときだけ\(\sqrt{ab}\)が考えられるんだね。

 

$$a+b -2\sqrt{ab} = \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2$$

実数において、2乗されたものは必ず正となるので

$$a+b -2\sqrt{ab} = \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2≧0$$

 

よって

$$a+b ≧ 2\sqrt{ab}$$

となり両辺に\(\frac{1}{2}\)をかけると

$$\frac{a+b}{2} ≧ \sqrt{ab}$$

となり結論と一致する。

step
4
反例を考える

このフェーズはいりません。

 

例題

実数\(a, \ b\)において\(a>b>0\)ならば\(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)

 

step
1
略記に直す

$$a> b>0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$$

 

 

step
2
仮定を満たす全ての要素を列挙できるか

仮定の\(a, b\)は実数を表しているので、全数を列挙して示すのは無理。

 

step
3
仮定の式を変形して、結論の式と一致させられるか

ポイント

\(x<y\)を示す場合、1つの手として\(x-y < 0\)を示す方法がある。

 

$$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab}$$

 

ここで仮定の条件より、

  • \(ab > 0\)
  • \(b-a < 0\)

より、\(\frac{b-a}{ab} < 0\)となる。

 

よって、\(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} < 0\)より、

$$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$$

 

step
4
反例を考える

このフェーズはいりません。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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