ルート 理系微分

【無理関数の微分公式】暗記0でOK。 たったの2ステップで秒速クリア

Today's Topic

無理関数を、公式暗記ゼロで微分する方法

 

今日は無理関数の微分を扱うよ!
また微分公式の暗記〜泣
小春
それが実は新しく暗記することはなくて、これまでに手に入れた微分公式に帰着させていくよ!

 

この記事を読むと、この問題がわかる!

  • $$y= \sqrt{2x-1}$$を微分せよ
  • $$y=\sqrt[3]{6x+1}$$を微分せよ

例題で扱うね!

 

無理関数の微分公式は覚えても無駄

 

教科書には無理関数の微分公式として

$$\left(\sqrt{x}\right)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

が紹介されているかもしれません。

 

しかしこの公式は覚えるよりも、自分で導出したほうが絶対にラクなんです。

 

なぜならこれまでに習得した

さえできれば、瞬殺できる問題だから。

 

さらに、平方根だけでなく3乗根以上でもOK。

 

なんでも暗記に頼ると、覚える量をむやみに増やすだけでなく、発想力も無くなっていきます。

今回のテクニックは、分数関数の微分でも使うものなので、ぜひマスターしてください。

 

分数関数の微分テクニック

 

無理関数の微分は、たったの2ステップでOK

それでは次の例題をもとに、テクニックを解説していきます。

 

例題

$$y= \sqrt{2x-1}$$を微分せよ。

 

STEP1 べき乗関数にする

 

無理関数は、すでに慣れ親しんだべき乗関数\(y=x^n\)の形に表すことができます。

$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$$

 

したがって、

\begin{align} y &= \sqrt{2x-1}\\\ &= (2x-1)^{\frac{1}{2}}\\\ \end{align}

 

このべき乗の形に直すことで、平方根だけでなく、3乗根以上の関数でも考えることが可能になります!

 

STEP2 合成関数の微分

 

はい、もう最後のステップです。

合成関数の微分公式を使うだけ!

 

\(y = u^{\frac{1}{2}}, u =2x-1\)と考えると、

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\\ &= \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\cdot u’ \\\ &= \frac{1}{\sqrt{2x-1}}\\\ \end{align}
合成関数の微分は外ビブン×中ビブンだったね!
え、終わった?!本当に合成微分するだけで終わるんだね!
小春
そうなんだよ。無理関数の微分公式、マジで覚えなくていいよ。

 

無理関数の微分 例題

 

それでは実際に、無理関数の微分を2STEPで解いていきましょう。

 

例題1

 

例題

$$y=\sqrt[3]{6x+1}$$を微分せよ

 

3乗根の微分も、2STEPするだけなので焦らなくてOK。

 

\(y=\sqrt[3]{u}=u^{\frac{1}{3}}, u=6x+1\)とみなすと

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\\ &= \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}\cdot u’ \\\ &= 2\left(6x+1\right)^{-\frac{2}{3}}\\\ \end{align}
最後はべき乗関数の形のままでOKだよ!

 

例題2

 

例題

$$y=x^{\frac{3}{4}}$$を微分せよ

 

これは4乗根ですが、もともとべき乗関数の形になっているので、STEP2だけ実行すればOK。

 

\(y=u^{\frac{3}{4}},u=x\)とみなすと

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\\ &= \frac{3}{4}u^{-\frac{1}{4}}\cdot u’ \\\ &= \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}\\\ \end{align}

 

合成関数ではないからSTEP2も本当はいらないんだけど、全部合成関数とみなした計算で統一したほうがラクでしょ?

 

例題3

 

例題

$$y=\sqrt{3x^3-x^2+2x+1}$$を微分せよ

 

見た目はグロいですが、いつもの通り2STEPを行うだけ。

 

\(y=u^{\frac{1}{2}},u=3x^3-x^2+2x+1\)とみなすと

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\\ &= \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\cdot u’ \\\ &= \frac{9x^2-2x+2}{2(3x^3-x^2+2x+1)^{\frac{1}{2}}}\\\ \end{align}

 

まとめ

最後にまとめるよ!

 

まとめ

無理関数の微分を行うためには、

  1. べき乗関数の形に直して
  2. 合成関数の微分を行えば良い

 

この手法は分数関数の微分でも使うことができるので、無理関数の微分公式を丸暗記するくらいなら、合成関数の微分法をマスターしましょう。

 

以上、「無理関数の微分」についてでした。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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