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無理関数を、公式暗記ゼロで微分する方法
この記事を読むと、この問題がわかる！
- $$y= \sqrt{2x-1}$$を微分せよ
- $$y=\sqrt[3]{6x+1}$$を微分せよ
Contents
無理関数の微分公式は覚えても無駄
教科書には無理関数の微分公式として
が紹介されているかもしれません。
しかしこの公式は覚えるよりも、自分で導出したほうが絶対にラクなんです。
なぜならこれまでに習得した
さえできれば、瞬殺できる問題だから。
さらに、平方根だけでなく3乗根以上でもOK。
なんでも暗記に頼ると、覚える量をむやみに増やすだけでなく、発想力も無くなっていきます。
今回のテクニックは、分数関数の微分でも使うものなので、ぜひマスターしてください。
分数関数の微分テクニック
無理関数の微分は、たったの2ステップでOK。
それでは次の例題をもとに、テクニックを解説していきます。
例題
$$y= \sqrt{2x-1}$$を微分せよ。
STEP1 べき乗関数にする
無理関数は、すでに慣れ親しんだべき乗関数\(y=x^n\)の形に表すことができます。
したがって、
このべき乗の形に直すことで、平方根だけでなく、3乗根以上の関数でも考えることが可能になります！
STEP2 合成関数の微分
はい、もう最後のステップです。
合成関数の微分公式を使うだけ！
\(y = u^{\frac{1}{2}}, u =2x-1\)と考えると、
無理関数の微分 例題
それでは実際に、無理関数の微分を2STEPで解いていきましょう。
例題1
例題
$$y=\sqrt[3]{6x+1}$$を微分せよ
3乗根の微分も、2STEPするだけなので焦らなくてOK。
\(y=\sqrt[3]{u}=u^{\frac{1}{3}}, u=6x+1\)とみなすと
例題2
例題
$$y=x^{\frac{3}{4}}$$を微分せよ
これは4乗根ですが、もともとべき乗関数の形になっているので、STEP2だけ実行すればOK。
\(y=u^{\frac{3}{4}},u=x\)とみなすと
例題3
例題
$$y=\sqrt{3x^3-x^2+2x+1}$$を微分せよ
見た目はグロいですが、いつもの通り2STEPを行うだけ。
\(y=u^{\frac{1}{2}},u=3x^3-x^2+2x+1\)とみなすと
まとめ
まとめ
無理関数の微分を行うためには、
- べき乗関数の形に直して
- 合成関数の微分を行えば良い
この手法は分数関数の微分でも使うことができるので、無理関数の微分公式を丸暗記するくらいなら、合成関数の微分法をマスターしましょう。
以上、「無理関数の微分」についてでした。
