理系微分

【合成関数の微分法】のコツと証明→「約分」感覚でOK!小学生もできます。

合成関数の微分法

Today's Topic

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}$$

 

はい、じゃあ今日は合成関数の微分法を、逃げるな!
だってぇ、関数の関数の微分とか、下手くそな日本語みたいじゃん!絶対難しい!
小春
それがそんなことないんだ。それにここを抑えると、暗記物がグッと減るんだよ。
えっ、そうなの!教えて!!
小春
現金な子だなぁ・・・

 

▼復習はこちら

合成関数について
合成関数って、結局なんなんですか?要点だけを徹底マスター!

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この記事を読むと・・・

  •  合成微分のしたいことがわかる!
  •  合成微分を簡単に計算する裏ワザを知ることができる!

 

 

合成関数講座|合成関数の微分公式

合成関数の最重要ポイント、それが合成関数の微分だ!

 

まずは、合成関数を微分するとどのようになるのか見てみましょう。

合成関数の微分

2つの関数\(y=f(u),u=g(x)\)の合成関数\(f(g(x))\)を\(x\)について微分するとき、微分した値\(\frac{dy}{dx}\)は

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}\)

と表せる。

 

小春
本当に、分数の約分みたい!

合成関数の微分法

その通り!まずは例題を通して、この微分法のコツを勉強しよう!

 

合成関数の微分法のコツ

 

はじめにコツを紹介しておきますね。

合成関数の微分のコツ

合成関数の微分をするためには、

  1. 合成されている2つの関数をみつける。
  2. それぞれ微分する。
  3. 微分した値を掛け合わせる。

の順に行えば良い。

 

それではいくつかの例題を見ていきましょう!

 

例題1

例題

合成関数\(y=(2x+1)^3\)を微分せよ。

 

これは\(y=u^3, u=2x+1\)の合成関数。

よって

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\\ &= 3u^2\cdot u'\\\ &= 6(2x+1)^2\\\ \end{align}
外ビブン×中ビブンと考えることもできるね!

 

例題2

例題

合成関数\(y= \frac{1}{\cos x}\)を微分せよ。

 

これは\(y=u^{(-1)}, u=\cos x\)の合成関数。

よって

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\\ &= -u^{(-2)}\cdot u'\\\ &= \frac{\sin x}{\cos^2 x}\\\ \end{align}

 

例題3

例題

合成関数\(y= \log \left({3x^2+1}\right)\)を微分せよ。

 

これは\(y=\log u, u=3x^2+1\)の合成関数。

よって

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\\ &= \frac{1}{u}\cdot u'\\\ &= \frac{6x}{3x^2+1}\\\ \end{align}

 

 

合成関数の微分法の証明

2つの関数\(y=f(u), u=g(x)\)を考えます。

合成関数\(y=f(g(x))\)を\(x\)で微分した\(\frac{dy}{dx}\)を、導関数の定義から証明していきますね。

 

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{(x+h)-x}\\\ \end{align}

 

しかしこのままだと意味が分からないので、次のような意図的な変形を施します。

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{(x+h)-x}\\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{\color{red}{g(x+h)-g(x)}}\cdot \frac{\color{red}{g(x+h)-g(x)}}{(x+h)-x}\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

ポイント

式\(\frac{A}{B}\)について考えるとき、

$$\frac{A}{C}\cdot\frac{C}{B}$$

のように、無理やりCを作ることで式が考えやすくなることがある。

小春
\(\frac{1}{C}\cdot \frac{C}{1} = 1\)だから式の整合性はOKなのね!

 

この変形により、リミットを分配してあげると

\begin{align} &\ \ \ \ \lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot \lim_{h\to 0 }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\\ &= \frac{d}{dg(x)}f(g(x))\cdot\frac{d}{dx}g(x)\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

となります。

 

\(u=g(x)\)なので、

$$\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$

が示せました。

 

まぁ、厳密には間違ってるんだけどね。
えっ・・・。
小春
厳密verは大学でやるけど、正確な反面、かなりわかりにくい。
なるほど、高校範囲だとここまでで十分ってことね…。
小春

 

合成関数講座|まとめ

最後にまとめです!

 

まとめ

  • 合成関数\(f(g(x))\)の微分を考えるためには、合成されている2つの関数\(y=f(t),t=g(x)\)をそれぞれ微分してかければ良い。
  • 外側の関数\(y=f(t)\)の微分をした後に、内側の関数\(t=g(x)\)の微分を掛け合わせたものともみなせる!
小春
外ビブン×中ビブンと覚えてもいいね

 

以上のように、合成関数の微分は合成されている2つの関数を見破ってそれぞれ微分した方が簡単に終わります。

今後重要な位置を占めてくる微分法なので、ぜひ覚えておきましょう。

 

以上、「合成関数の微分公式について」でした。

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