基本講座

繁分数って、なんですか?どうやって処理するんですか?いつ使うんですか?

Today's Topic

$$\frac{\frac{d}{c}}{\frac{b}{a}}$$

 

小春
楓くん、分母分子が分数の分数って存在するの?
あぁ、繁分数のことね。ちゃんと数として認められてるよ!
小春
そうなの...。なんか見た目グロくて何すればいいかわかんないけど...
あぁ、難しくないよ笑。小学校卒業できてれば大丈夫!
小春
え?!一体どうするの?

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • $$\frac{3}{\frac{3}{4}}$$
  • $$\frac{\frac{5}{6}}{\frac{11}{4}}$$

例題で扱うよう

 

繁分数とは

 

分子・分母のどちらか、あるいはどちらも分数になっているような分数を繁分数と言います。

(例)
$$\frac{3}{\frac{1}{2}},\frac{\frac{1}{5}}{3},\frac{\frac{11}{3}}{\frac{4}{3}}$$

 

特に分母だけが分数になっているものを連分数と言って区別する場合もありますが、それは連分数展開と呼ばれる特殊な変形があるためです。

 

繁分数の処理

 

繁分数は見た目こそグロいですが、処理はとても簡単。
小学校の時に習った約分を施すだけです。

 

ただ、ここでいう約分は小学校で習った時とは少しだけ違うので、もう一度見直すことにしましょう。

 

約分の再考

 

あなたは次の変形に何も違和感を抱かないのではないでしょうか?

$$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

 

小春
うん、約分だね。
どうしてこれは成り立つの?
小春
え、だって分母と分子を同じ数で割ったからじゃないの?!
お、その通り!

 

小学校では、分母と分子を共通の数で割ることができ、それを約分と教わりました。

$$\frac{2}{4} = \frac{2\div 2}{4\div 2} = \frac{1}{2}$$

 

そういえば、割り算は掛け算で表現することができるので、約分は「分母と分子に共通の数をかけてもOK」ということですね。

$$\frac{2}{4} = \frac{2\times \frac{1}{2}}{4\times \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$$

 

繁分数の計算

 

分母と分子に同じ数をかけてもOKということは、繁分数は次のように処理すればOKということ。

$$\frac{\frac{3}{8}}{4} = \frac{\frac{3}{8}\times 8}{4\times 8} = \frac{3}{32}$$

 

つまり、分子・分母にある分数の分母がうまく相殺されるような数を分子・分母にかけてあげれば良いということです!!

小春
や、ややこしいwww
だよね、例題を見てもらったほうが早いかも笑

 

例題

 

例題

$$\frac{\frac{2}{3}}{7} = \frac{\frac{2}{3}\times 3}{7 \times 3} = \frac{2}{21}$$

 

例題

$$\frac{3}{\frac{3}{4}} = \frac{3\times 4}{\frac{3}{4}\times 4}= \frac{12}{3}$$

 

例題

$$\frac{\frac{5}{6}}{\frac{11}{4}} = \frac{\frac{5}{6}\times 4}{\frac{11}{4}\times 4} = \frac{\frac{10}{3}\times 3}{11 \times 3} = \frac{10}{33}$$

 

\(\div a = \times \frac{1}{a}\)のワケ

 

小学校の頃、割り算が逆数の掛け算でOKとも教わりましたね。

その理由は繁分数で説明することができます。

 

$$\begin{align} \frac{b}{a} \div \frac{d}{c} &= \frac{\frac{b}{a}}{\frac{d}{c}}\\\ &= \frac{\frac{b}{a}\times \frac{c}{d}}{\frac{d}{c}\times \frac{c}{d}}\\\ &= \frac{b}{a} \times \frac{c}{d}\\\ \end{align}$$

 

繁分数のメリット

 

繁分数はそれほどフォーカスされることもありませんし、問題の中でキーポイントになることも少ないです。

しかし、計算をする上で分母・分子に分数を認めることができるだけで、計算が結構楽になります。

 

例題

$$\frac{1}{x} = 1+ \frac{7}{3}$$

 

$$x = \frac{1}{1+\frac{7}{3}}$$

 

分母・分子に3をかけて

$$x=\frac{1\times 3}{\left(1+\frac{7}{3}\right)\times 3}=\frac{3}{10}$$

 

また、連分数展開と呼ばれる特殊な展開もあり、1つの大門を飾らなくても解法としてはかなり大きな力を持っています。

 

まとめ

最後にまとめをしておきましょう!

 

まとめ

  • 繁分数の中でも、分母だけが分数になっているものを連分数という。
  • 繁分数を処理するためには、分母・分子の分数が整数になるような数を、分母にも分子にもかければOK。

 

繁分数を活用できれば、計算の複雑さを緩和できるので、ぜひマスターしてください。

それほどむずくもないでしょ笑
だって、ただの約分だもんね。。。
小春

 

以上、「繁分数について」でした。

 

\今回の記事はいかがでしたか?/

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