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【中間値の定理】たった3つ確かめればOK!使い道やよくある例題を徹底解説

中間値の定理

Today's Topic

関数\(f(x)\)が閉区間\([a, b]\)で連続かつ、\(f(a) \neq f(b)\)であるならば、\(f(a) < k < f(b)\)となる任意の\(k\)に対して

$$f(c) = k$$

を満たす\(c\)が\(a\)と\(b\)の間に少なくとも1つ存在する。

 

小春
楓く〜ん、中間値の定理って、なんかわかるようでわかんない〜泣
言ってることはなんとなくわかるけど、「だからなんだよ!?」って感じじゃない?笑
小春
そうなの!何が言いたいのって感じ。。。
よし、今回は中間値の定理を使う場面を見ながら、実際に使い方に慣れていこう!!

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

\(f(x) = e^{-x-1}\)について、
$$x=f(x)$$
は少なくとも1つの解を持つことを証明せよ。ただし\(f(x)\)は連続であることは認めて良い。

 

中間値の定理が言いたいこと

 

中間値の定理が言いたいことは至ってシンプル。

まずは難しい言葉を、1つずつ消化していってみましょう。

 

まず前提である

関数\(f(x)\)が閉区間\([a, b]\)で連続かつ、\(f(a) \neq f(b)\)であるならば、

という部分で、図のような\(f(x)\)のグラフが意識されています。

 

中間値の定理の前提条件
両端まで含まれていて、かつ両端の高さが違う連続的なグラフであればなんでもOKだよ!
連続じゃない場合は成り立たない定理なんだね!
小春

 

この条件のもと、

\(f(a) < k < f(b)\)となる任意の\(k\)に対して
$$f(c) = k$$
を満たす\(c\)が\(a\)と\(b\)の間に少なくとも1つ存在する。

を考えてみます。

 

\(y\)座標が\(f(a)\)よりも高く、\(f(b)\)よりも低い適当な位置に点をとってみます。

このとき、適当にとった点の\(x\)座標はどこでも大丈夫です。

中間値の定理:任意の点を取れる

 

このとき閉区間\([a, b]\)の間で、適当な点と同じ高さにある点を\(f(x)\)上に見つけることができますね。

中間値の定理:同じ高さの点を見つけられる

 

適当な高さ\(y=k\)を\(f(a)\)と\(f(b)\)の間に設定すると、閉区間\([a, b]\)の間で\(f(x)=k\)となるような\(x\)座標を必ず見つけられるよ〜

 

小春
言ってることはなんとなく分かったけど、これどうやって使うの???

 

中間値の定理の使い方

中間値の定理のよくある例題をみていこう。

 

例題

方程式\(2^x + x -4 = 0\)は\(1<x<2\)の範囲に、少なくとも1つの実数解を持つことを示せ。

小春
解を求めるんじゃなくて、解があることを示せればOKなのね!

 

与えられた方程式を

$$f(x) = 2^x + x -4$$

と考えると、\(f(x)\)は閉区間]\([1, 2]\)の間で連続的です。

本来なら連続であることの証明がいるんだけど、高校数学では連続であることが暗黙の了解です、、、

 

閉区間上の端点\(x=1\)と\(x=2\)のときを考えてみましょう。

$$f(1) = 2 + 1 - 4 = -1$$
$$f(2) = 4 + 2 - 4 = 2$$

と、両端が異なる値となりました。

 

また、その\(-1\)と\(2\)の間に、与えられた方程式の右辺\(0\)が存在しますね?

つまり\(f(1) < 0 < f(2) \)が成り立つってことね!

 

以上より、

  • 閉区間]\([1, 2]\)の間で連続
  • \(f(1) \neq f(2)\)なので両端が異なる値である
  • \(f(1) < 0 < f(2) \)

の3つの点から、中間値の定理より、

$$f(c) = 2^c + c -4 =0$$

を満たす\(c\)が閉区間]\([1, 2]\)の間に必ず1つは存在することが約束されました。

 

小春
あれ?結局\(c\)の値はわからないの?
そう。この定理は具体的に解を求めるということよりも、抽象的に解が特定の範囲内にあることを確かめるものなんだ!

 

【これだけは覚えて!】中間値の定理の超便利な使い方

 

実は中間値の定理は、

$$f(x)=0$$

となるような\(x\)の値が、特定の閉区間で存在することを示すのにむちゃくちゃ便利です。

例を見てみましょう。

 

例題

次の方程式

$$f(x) = 2^x + 4^{\frac{3}{x}} -5x=0$$

は閉区間\([2,4]\)の間に解を持つか。

 

ご覧の通り、むちゃくちゃめんどくさい方程式が出てきたとします。

これを解く以前に、そもそもこいつは解を持つのかどうかがわかれば、解答の指針を立てやすくなりますね?

 

さて、本当は連続であることの証明から入りたいですが、高校数学では基本的に連続関数しか扱わないので、ここでも連続であることを前提に扱いましょう。

 

閉区間の端点\(x=2\)と\(x=4\)をそれぞれ代入すると、

$$f(2) = 2^{2}+4^{\frac{3}{2}} -10 > 0$$
$$f(4) = 2^{4}+4^{\frac{3}{4}} -20 < 0$$

であることがわかりますね。

 

小春
あれ、正確な値まで求めなくていいの?
そう、異符号であることだけ確かめられればOK!

 

2つの端点は異符号なので、その間に必ず0を挟む事になります。

つまり\(f(2) < 0 < f(4)\)であることは確定したので、中間値の定理より、

$$f(x) = 2^x + 4^{\frac{3}{x}} -5x=0$$

を満たすような\(x\)の値が1つはあることが約束されるというわけです。

 

\(f(x)\)が与えられた閉区間上で、連続かつ端点の符号が異なるならば、必ず\(f(x) = 0\)を満たす\(x\)の値が存在することが中間値の定理からわかる!

 

まとめ

最後にまとめます!

 

まとめ

\(f(x) = k\)の解\(x\)が最低1つは存在することを確かめるためには、

  • 与えられた方程式\(f(x)\)が閉区間上で連続であること
  • 閉区間\([a,b]\)の端点の値\(f(a),\ f(b)\)が異なること
  • \(f(a) < k f(b)\)であること

を示し、中間値の定理を用いれば良い。

特に、\(f(x) = 0\)の解が少なくとも1つ存在することを示したい(確認したい)場合、

  • 与えられた方程式\(f(x)\)が閉区間上で連続であること
  • 閉区間\([a,b]\)の端点の値\(f(a),\ f(b)\)が異符号であること

だけを示せれば良い。

 

小春
なるほど、中間値の定理って解の存在を確かめるために使えばいいのね!
そのとおり。これまでやってきた具体的な問題に使うというより、抽象的な話で活躍するよ。
小春
だからちょっとイメージが付きにくかったのね・・・。

 

どうでしょう、少しでもイメージ掴めましたか?

下の練習問題もぜひ一度やってみてください!

以上、「中間値の定理の意味と使い方について」でした。

 

チェック問題

 

例題

\(f(x) = e^{-x-1}\)について、

$$x=f(x)$$

は少なくとも1つの解を持つことを証明せよ。ただし\(f(x)\)は連続であることは認めて良い。

2013年日大/医4 改

 

\(g(x) = f(x) - x = e^{-x-1} -x\)とする。

連続関数同士の差もまた連続関数となるので、\(g(x)\)は任意の区間で連続である。

 

ここで勘で適当な閉区間\([2,4]\)を考えてみましょう。

$$g(2) = e^{-3} -2 < 0$$
$$g(4) = e^{-5} -5 < 0$$
小春
う〜ん、これじゃあ端点の値が異なることはわかるけど、異符号じゃないから\(g(x) = 0\)になることの証明にはならないね。
でも\(x=4\)のときの方が\(x=2\)のときよりも小さそうだね。

 

では幅を広げて閉区間\([-1,4]\)のときはどうでしょうか?

$$g(0) = 1 + 1 > 0$$
$$g(4) = e^{-5} -5 < 0$$
小春
おっ!

 

以上より、

  • \(g(x) = f(x) - x \)は任意の区間で連続である
  • 閉区間\([-1,4]\)のとき、2つの端点は符号が異なる

ことから、中間値の定理より、\(g(x) = 0\)を満たす解\(x\)は閉区間\([-1,4]\)の間に少なくとも1つはある。

 

よって\(x=f(x)\)は、閉区間\([-1,4]\)の間に少なくとも1つの解を持つ。

メモ

勘ではなく正確に値を求めるためには

などの方法を使えばOKです。

ちなみに単調減少であることを示せると、「少なくとも1つ」ではなく「ただ1つ」であることもわかります。

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