【極限公式一覧】極限のイメージから基礎問題、重要テクニックまで総まとめ

小春

今回は極限の単元についてまとめてみたけど、結構大変だったなぁ・・・

そうだね。考え方自体はシンプルだけど、計算方法にかなり工夫が施されていて一回解説されないと分からないものばかりだよね笑

楓

小春

本当にそう、、、私もこのまとめから何度も復習しようっと。

Contents

1 はじめに・・・
2 数列の極限
3 関数の極限

はじめに・・・

極限は高校数学の後半で初めて登場する概念ですが、そのイメージは字面ではなかなか掴みづらいものがあります。

差がつく！

極限には『数列の極限』『関数の極限』の2種類がありますが、その違いを一望する機会というものはなかなかなく、それが実は極限が難しく感じる原因になっていたりします。

そのため、まずは極限のイメージを簡単でもいいので持っておくことをオススメします！

極限のイメージ

数列の極限は$n\rightarrow\infty$のみを考える。グラフを意識すると考えやすくなる。
関数の極限は$x$をいろんな値に近づけることができるが、近づけ方も考える必要がある。
極限を考えると数学的に「おおよそどんな値になるか」を考えられる。

参考【超簡単】極限って何？数学のリミットが意味することを図的に理解してみよう。

数列の極限

無限数列と極限の基礎

数列の極限

数列$\left\{a_n\right\}$が$n\to\infty$のとき、ある値$\alpha$に近づくとき、$\alpha$を極限値といい、数列は収束するという。

収束しない数列は発散する。

数列が収束するかどうか調べるためには、

グラフをもとに考える
極限公式をもとに考える

のどちらかを用いれば良い。

参考【発散・収束・振動】無限数列から始める、極限の着目すべき点と考え方

数列の極限の性質

2つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が共に収束して、$\mathbf{a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \alpha, b_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \beta}$であることが確定しているとき、

$$\lim_{n\to\infty} ka_n = k\lim_{n\to \infty} a_n =k\alpha$$
$$\lim_{n\to\infty} \left(a_n \pm b_n \right) =\lim_{n\to\infty}a_n \pm \lim_{n\to\infty}b_n = \alpha \pm \beta$$
$$\lim_{n\to\infty} a_n \cdot b_n = \lim_{n\to\infty}a_n \cdot \lim_{n\to\infty} b_n = \alpha \cdot \beta$$
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}= \frac{\lim_{n\to\infty} a_n}{\lim_{n\to\infty} b_n}= \frac{\alpha}{\beta}$$

小春

ただし極限が得意な人は、こんな考え方していないってのが特徴だったね。

参考【極限の性質】リミットには分配法則が成り立つが、特殊な解釈をしているゾ！

差がつく！

不定形

不定形は以下7つのことを言い、解としては採用できない。

$$\frac{0}{0}$$
$$\frac{\infty}{\infty}$$
$$0\times \infty $$
$$\infty - \infty$$
$$1^{\infty}$$
$$0^0$$
$$\infty^0$$

参考【不定形】種類・なぜ解にならないのか・回避方法をまとめました。

極限の大小関係

収束する2つの数列$\{a_n\},\{b_n\}$の極限は、極限値を求めなくても

$$a_n≦b_n\ (n=1,2,3,\cdots)$$

であれば、$\alpha ≦ \beta$となる。

これにより、極限値が直接求まらなくても、大小関係は比較することができる。

参考【数列の極限の大小関係】イメージでわかる、知っててアタリマエの公式

等比数列の極限

初項$a$、公比$r$の等比数列$\{ar^{n-1}\}$の極限には、

$r>1$のとき、$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \infty$
$r=1$のとき、$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} a$
$0<r<1$のとき、$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$
$-1<r<0$のとき、$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0$
$r<-1$のとき、$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 振動$

という性質がある。

ただし、これは覚えるのではなく、実際に調べた方がラク。

参考【等比数列の極限】暗記は絶対にダメ！絶対必要な極限の感覚をマスターしよう。

はさみうちの原理・追い出しの原理

はさみうちの原理

はさみうちの原理を使うためには、

STEP1

与えられた数列$\{b_n\}$の極限が求めにくい場合、一旦諦めよう。

式変形してゴリゴリ計算しているのに、不定形が解消されない場合や、数列の一部が振動する場合は、はさみうちの原理を考えてみます。
STEP2

次の条件を満たす数列$\{a_n\},\{c_n\}$を作り出す。
1. $\{a_n\},\{c_n\}$が同じ値に収束する・・・・こと
2. どんな自然数$n$に対しても、$a_n≦b_n≦c_n$が成り立つ
STEP3

はさみうちの原理を使って、おしまい

$\{a_n\},\{c_n\}$が同じ値に収束すること、そしてはさみうちの原理から$\{b_n\}$も同じ値に収束することを言えばOK

のようにすれば良い。

参考【はさみうちの原理】の使い方や、使う問題の見分け方を直感で分かるようになろう

差がつく！

追い出しの原理

2つの数列$\{a_n\},\{b_n\}$が、どの項でも$a_n≦b_n\ (n=1,2,3,\cdots)$となるとき

$$a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \inftyならばb_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} \infty$$

$$b_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} -\inftyならばa_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow} -\infty$$

参考【追い出しの原理】不等式を作って、発散することを示せばOK。あんまり使われないけどね・・・。

無限級数

無限数列$\{a_n\}$の無限級数$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$を調べるためには、

第$n$項までの部分和$S_n$を求め、
$$\lim_{n\to\infty} S_n$$を考えれば良い。

このとき、$S_n$の極限値のことを、無限級数の和と呼ぶ。

参考【無限級数】の定義と、収束・発散を調べるためのコツをまとめました。

無限等比級数

初項$a$、公比$r$の無限等比数列$\{ar^{n-1}\}$において、$|r|<1$のとき、無限級数の和は$\frac{a}{1-r}$に収束する。

ただしあまり覚えても効果ない。

参考【無限等比級数】新しく覚えることは何もない！？無駄な努力をやめよう！

無限級数の性質

2つの無限級数について

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \alpha,\ \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \beta$$

のように収束する場合のみ、次のことが成り立つ。

$$\sum_{n=1}^{\infty} ka_n = k\sum_{n=1}^{\infty} a_n = k\alpha$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \pm b_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n \pm \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \alpha+\beta $$

（※見切れている場合はスクロール）

楓

感覚的にいうと、分配法則的な感じだったね。

参考【無限級数の性質】無限級数にも分配法則が使える！？ただし、条件付き！

差がつく！

無限級数の収束・発散

無限数列$\{a_n\}$の無限級数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$について、

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_nが収束する\Longrightarrow \lim_{n\to\infty} a_n =0$$

また、この対偶をとると、

$$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Longrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_nは発散する$$

参考【無限級数の収束・発散条件】無限級数を見ただけで解答が思い浮かぶテクニック

関数の極限

関数の極限の基礎

左極限・右極限と関数の極限の存在

関数$y=f(x)$が$x=a$において、

左極限$f(x) \underset{x\to a-0}{\longrightarrow} \alpha$
右極限$f(x) \underset{x\to a+0}{\longrightarrow} \beta$

となるとき、$\alpha = \beta$であれば関数$f(x)$の極限値は$\alpha$であると定義する。

参考【関数の極限】見落としがちな解法の重要ポイントを徹底解説！迷わずに解けるようになろう！

関数の極限の性質

2つの数列$\{f(x)\},\ \{g(x)\}$が共に収束して、$ f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} \alpha, g(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \beta $であることが確定しているとき、

$$\lim_{x\to a} kf(x) = k\lim_{x\to a} f(x) =k\alpha$$
$$\lim_{x\to a} \left( f(x)+g(x) \right) =\lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x\to a}g(x) = \alpha \pm \beta$$
$$\lim_{x\to a} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x\to a} f(x) \cdot \lim_{x\to a} g(x) = \alpha \cdot \beta$$
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}= \frac{\alpha}{\beta}$$

（※見切れている場合はスクロール）

のようにリミットの分配法則が成り立つ。

参考【関数の極限の性質】基本法則と必須条件：不定形になったときの対処法