文系微分 練習問題

【実数解の個数】グラフの形や極値、x軸に着目して条件を見つけよう!

実数解の個数問題

今回の例題

\(x^3-3x^2-9x-m=0\)が異なる3つの実数解を持つとき、定数\(m\)の値の範囲を求めよ。

【難易度:

 

3次方程式のグラフの形を考えて、極値や\(x\)軸に着目する。

 

小春
方程式の問題を、あえて三次関数に持ち込むのね。
グラフの形に着目したいので、微分を使うよ!!

解答

 

\(f(x)=x^3-3x^2-9x-m\)とする。

\begin{align} f'(x) &= 3x^2-6x-9\\\ &= 3(x-3)(x+1)\\\ \end{align}

 

\(f'(x)=0\)のとき、\(x=-3,1\)。

よって増減表は次のようになる。

$$x$$ $$\cdots$$ $$-1$$ $$\cdots$$ $$3$$ $$\cdots$$
$$f'(x)$$ $$+$$ $$0$$ $$-$$ $$0$$ $$+$$
$$f(x)$$ $$\nearrow$$ $$f(-1)$$ $$\searrow$$ $$f(3)$$ $$\nearrow$$

 

つまり\(y=f(x)\)のグラフは以下のようになる。

3次関数のグラフ

 

ここで、\(f(x)\)が3つの異なる実数解を持つとき、\(y=f(x)\)は\(x\)軸(\(y=0\))と次のように交われば良い。

実数解の個数と交点

 

よって、次の条件が成り立てば良い。

+ 解法①

極値に着目すると、

$$f(-1)>0 かつ f(3)<0$$

であれば良い。

$$f(-1)=5-m >0$$

$$f(3)=-27-m <0$$

より\(-27<m<5\)

+ 解法②

極大値と極小値に着目すると、

$$(極大値)\times(極小値)<0$$

であれば良い。

よって、

$$f(-1)\times f(3) = (5-m)(m+27)>0$$

(※見切れている場合はスクロール)

これを満たすのは、

$$\left\{ \begin{array}{l} 5-m<0かつm+27<0 \cdots ①\\ 5-m>0かつm+27>0 \cdots② \end{array} \right. $$

①は\(5<m<-27\)より不適

②より\(-27<m<5\)

 

解答のポイント

 

似たような問題は、どのように解けばいいのでしょうか。

ここからは、問題を解く上での観点を紹介します。

 

解答の流れ

方程式\(f(x)=0\)の解\(x\)は、\(y=f(x)\)と\(y=0\)、つまり\(x\)軸との交点の\(x\)座標を表していることに着目します。

 

すると、

  • 実数解の個数が3つ→\(x\)軸との交点が3つである
  • 実数解の個数が2つ→\(x\)軸との交点が2つである
  • 実数解の個数が1つ→\(x\)軸との交点が1つである
  • 実数解の個数が0→\(x\)軸との交点がない

ということが言えますね。

 

三次関数の場合▼

実数解の個数とグラフ

 

また三次関数のグラフの形にも注目してみると、

  • 極小値<\(x\)軸<極大値 →実数解3つ
  • 極小値=\(x\)軸、極大値=\(x\)軸 →実数解2つ
  • \(x\)軸<極小値、極大値<\(x\)軸 →実数解1つ

と言えることがわかります。

 

よって実数解の個数を判断する条件として、極値と\(x\)軸の関係を調べればOK。

 

位置に着目するか、符号に着目するか

解答では2つの方法を示しました。

 

解法①では極大値が\(x\)軸よりも大きいこと、極小値が\(x\)軸よりも小さいことを利用しています。

また、このとき極大値\(\times\)極小値は必ず負になることがわかります。

 

これを利用しているのが解法②。

極大値\(\times\)極小値が正になるときは、実数解の個数が1つだね。
あ、極大値\(\times\)極小値が0なら実数解は2つということもわかる!
小春

 

結局どちらも同じことを言っているので、計算量などでお好きな方を選んでください。

 

まとめ

 

まとめ

方程式\(f(x)=0\)の実数解の個数を調べるためには、

  1. \(y=f(x)\)のグラフを考えて、
  2. \(x\)軸との交点を調べれば良い。

極値がある場合には、極大値や極小値に着目すれば良い。

 

小春
極大値・極小値と\(x\)軸の関係性を調べればOKだね!
難易度はそれほど高くないので、2、3問解けばOKです。

 

以上、「実数解の個数問題」でした。

 

練習

 

問題

\(x^3-3a^2x+4a=0\)が異なる3つの実数解を持つとき、定数\(a\)の値の範囲を求めよ。

 

回答を表示

\(f(x)=x^3-3a^2x+4a\)とすると、

\begin{align} f'(x) &= 3x^2-3a^2\\\ &= 3(x-a)(x+a)\\\ \end{align}

メモ

ここで\(a\)の値によって、極大値・極小値の個数が変わることに注意してください。

(ⅰ)\(a=0\)のとき、

\(x=0\)で\(f'(x)=0\)となるが、その前後で符号が変わらないため単調増加。

つまり実数解は1つしか存在しない

単調増加は常に実数解が1つ

(ⅱ)\(a\neq 0\)のとき、

\(x=\pm a\)のとき極値をとる。

\(a\)の符号によって極大値、極小値の値は変わるが、

$$f(a)\times f(-a) < 0$$

は必ず満たす。

よって、

\begin{align} f(a)\times f(-a) &= 2a(a^2+2)\times\left\{-2a(a^2-2)\right\}\\\ &= -\underbrace{4a^2(a^2+2)}_{必ず正}(a^2-2)<0\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

これにより\(a^2-2>0\)。

$$a<-\sqrt{2},\sqrt{2}<a$$

 

今回は極大値\(\times\)極小値の条件を使ったけど、なぜだかわかる?
小春
あ、極値の値が\(a\)の符号によって変わるってことは場合分けが増えるのか!
その通り!しかも場合分けすると増減表も書き直しになるからめんどくさいんだよね。

\今回の記事はいかがでしたか?/

-文系微分, 練習問題

© 2020 青春マスマティック Powered by AFFINGER5