文系微分

【極大値・極小値】定義と求め方→最大値・最小値とは求め方が異なる!

Today's Topic

極大値・極小値の定義と導出の仕方

 

今日は微分の分野で頻出の極値について扱うよ!
授業でやったけど、最大値・最小値っぽいやつだよね?
小春
ん〜、似て非なるものって感じかな。極大値・極小値は2つの条件が揃って初めて極大値・極小値になるんだ。
じゃあ2つの条件の意味さえわかればOKなんだね!
小春

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • 極大値・極小値の意味
  • 極値の存在する条件

 

極大値・極小値とは

 

\(x\) \(\cdots\) \(a\) \(\cdots\) \(b\) \(\cdots\)
\(f'(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f(x)\) \(\nearrow\) \(f(a)\)
極大値
\(\searrow\) \(f(b)\)
極小値
\(\nearrow\)

 

上の増減表のように、

  • \(f’(a) = 0\)
  • \(x = a\)の前後で微分係数の符号が\(+ \to -\)に入れ替わっている

を満たすような\(x=a\)を考えた時、\(f(a)\)のことを極大値といいます。

 

また、

  • \(f’(b) = 0\)
  • \(x = b\)の前後で微分係数の符号が\(- \to +\)に入れ替わっている

を満たすような\(x=b\)を考えた時、\(f’(b)\)のことを極小値といいます。

 

グラフで考えると、図のような位置が極大値・極小値でとなっています。

極小値と極大値
小春
お山の頂上が極大、谷間の奥が極小って感じかな?
まぁそんな感じ。微分係数の符号が入れ替わるとグラフはU字カーブするから、カーブの中心ともいえるね。

 

また極大値・極小値をまとめて極値ということがあります。

 

最大値・最小値との違い

 

先程のグラフを見て考えると、最大値・最小値との違いに迷うかもしれません。

実は先ほど紹介した極大・極小の定義は、厳密げんみつなものではありません。

 

大学で扱われる極値の厳密な定義を、簡単にいうと

極めて狭い範囲のなかで、最大・最小の値

です。

 

一方で最大値・最小値の定義は

全ての定義域内で、最大・最小の値

となっています。

 

よって極大値・極小値の判別は先ほどの2つの条件で行い、最大値・最小値の判別は定義域内の値を参考にして求めた方が良いです。

 

ちなみに、極大(小)値と最大(小)値が一致することもありますが、基本的には一致しないと考えたほうが良きです。

極大値・極小値と最大値・最小値の関係

 

極値が存在しない場合がある

 

「\(x=a\)で極値(極大値&極小値)である」という条件は次の2つでした。

  • \(f’(a) = 0\)
  • \(x = a\)の前後で微分係数の符号が入れ替わっている

 

そこで、次のような例題を考えてみましょう。

 

例題

$$y = x^3 -1\ (-\frac{1}{2} ≦ x ≦ \frac{1}{2})$$

 

この三次関数の増減表とグラフは以下の通りです。

増減表の注意点

 

今回の増減表をみてわかるように、\(f’(a) = 0\)を満たしても、その前後で符号が入れ替わっていない場合があります。

これは2つの条件のうち1つに当てはまっていないので、この場合極値は存在しません

 

しかし定義域内で最大値・最小値は存在し

  • 最大値:\(x=\frac{1}{2}\)のとき、\(y = -\frac{7}{8}\)
  • 最小値:\(x = -\frac{1}{2}\)のとき、\(y = -\frac{9}{8}\)

となります。

 

単調増加と単調減少

 

ちなみに先程の例題のように、常に\(f’(a) ≧ 0 \)が成り立つ場合、そのグラフは減少することなく、永遠に値が増加し続けることを意味します。

これを単調増加と言います。

 

反対に、常に\(f’(a)≦0\)が成り立つ場合、そのグラフは増加することなく、永遠に値が減少し続けることを意味しています。

これを単調減少と言います。

 

この単調増加・単調減少という条件は、グラフを考える上でかなり重要な条件になりますので、別の記事で扱いたいと思います。

 

まとめ

小春
それでは最後にまとめるよ!

 

まとめ

  • \(f’(a) = 0\)
  • \(x = a\)の前後で微分係数の符号が\( + \to -\)に入れ替わっている

場合、\(f(a)\)のことを極大値という。

微分係数の符号が\( - \to +\)に入れ替わっている場合は極小値という。

極大値・極小値はまとめて極値と言い、極値は必ず存在するとは限らない。

 

文系数学において、微分の単元はかなり限定的な内容しか扱えないため、出題できる問題が少なく、極値はかなり頻出の問題です。

 

数Ⅲ以降では、極値の他に変曲点と呼ばれる重要な考え方が出てくるので、今のうちにしっかりと押さえておきましょう。

 

以上、「極大値・極小値について」でした。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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