文系積分

【定積分の計算公式】抑えておきたい5つの公式とその証明→原始関数に戻せばOK

定積分の計算公式

Today's Topic

$$\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$$

$$\int_a^b \left\{f(x) \pm g(x)\right\}dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$$

$$\int_a^a f(x) dx= 0$$

$$\int_a^b f(x)dx = \color{red}{-}\int_\color{red}{b}^\color{red}{a} f(x) dx$$

$$\int_a^b f(x)dx = \int_{\color{red}{p}}^b f(x) dx +\int_a^{\color{red}{p}} f(x) dx $$

(※見切れている場合はスクロール)

 

さて、今日も積分の計算法則を確認して行こうか。
不定積分のときと同じじゃないの?
小春
結論から言えば、同じ部分もあるよ。ただ、どうして同じなのか、をしっかり証明しておきたいね。

 

メモ

この記事では、特に断りがない限り

$$F'(x) = f(x)$$

$$G'(x) =g(x)$$

として\(f(x)\)の原始関数を\(F(x)\)、\(g(x)\)の原始関数を\(G(x)\)とします。

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • 定積分で抑えておきたい計算公式
  • 計算公式の証明とそのコツ

 

 

不定積分と同じ計算法則が成り立つ

 

不定積分の計算法則の記事で証明した通り、不定積分の場合には以下2つの公式が成り立ちます。

$$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$$

$$\int \left\{f(x) \pm g(x)\right\}dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

(※見切れている場合はスクロール)

この2つの計算法則は定積分の場合でも成り立ちます。

ポイント

$$\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$$

$$\int_a^b \left\{f(x) \pm g(x)\right\}dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$$

(※見切れている場合はスクロール)

 

証明方法は不定積分の場合と同様に、原始関数にしてから戻すという手法を使います。

例として、次の公式を証明してみましょう。

 

証明

$$\int_a^b \left\{f(x) + g(x)\right\}dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$$

(※見切れている場合はスクロール)


\begin{align} \int_a^b \left\{f(x) + g(x)\right\}dx &= \left[F(x)+G(x)\right]_a^b\\\ &= \left(F(b)+G(b)\right)-\left(F(a)+G(a)\right)\\\ &= \left(F(b)-F(a)\right)+\left(G(b)-G(a)\right)\\\ &= \int_a^b f(x) dx +\int_a^b g(x) dx\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

他の公式もこんな感じで証明できるから練習してみよう!

 

+残りの証明はここをタップ

\begin{align} \int_a^b kf(x)dx &= \left[kF(x)\right]_a^b\\\ &= kF(b)-kF(a)\\\ &= k\left(F(b)-F(a)\right)\\\ &= k\int_a^b f(x) dx\\\  \end{align}

\begin{align} \int_a^b \left\{f(x) - g(x)\right\}dx &= \left[F(x)-G(x)\right]_a^b\\\ &= \left(F(b)-G(b)\right)-\left(F(a)-G(a)\right)\\\ &= \left(F(b)-F(a)\right)-\left(G(b)-G(a)\right)\\\ &= \int_a^b f(x) dx -\int_a^b g(x) dx\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

上端と下端が等しければゼロ

 

定積分の値が0になるとき、それは上端と下端が一致するとき。

ポイント

$$\int_a^a f(x) dx= 0$$

 

証明は、、、思いついちゃいますか?

こちらも原始関数に戻すのですが、まぁ相殺そうさいしちゃうんですよね。。。

 

証明

\begin{align} \int_a^a f(x)dx &= \left[F(x)\right]_a^a\\\ &= F(a)-F(a)\\\ &= 0\\\ \end{align}

 

 

上端と下端は入れ替えられる

 

一般的に定積分では、上端>下端というのがお決まりです。

しかし、この上下関係は符号を逆にすることでひっくり返すことが可能です。

ポイント

$$\int_a^b f(x)dx = \color{red}{-}\int_\color{red}{b}^\color{red}{a} f(x) dx$$

 

証明は、、、

小春
原始関数に戻すのね!!!

。。。はいその通りです。

 

 

証明

\begin{align} \int_a^b f(x)dx  &= \left[F(x)\right]_a^b\\\ &= F(b)-F(a)\\\ &= - \color{red}{\left(F(a)-F(b)\right)}\\\ &= - \color{red}{\left[F(x)\right]_b^a}\\\ &= -\int_b^a f(x) dx  \end{align}

 

上端と下端は間で分割できる

 

\(a<p<b\)が成り立つとき、つまり下端\(a\)、上端\(b\)の中間\(p\)を考えます。

すると、

ポイント

$$\int_a^b f(x)dx = \int_{\color{red}{p}}^b f(x) dx +\int_a^{\color{red}{p}} f(x) dx $$

(※見切れている場合はスクロール)

と、まるで中間地点で分割しているような計算法則が成り立ちます。

 

 

証明

\begin{align} \int_a^b f(x)dx  &= \left[F(x)\right]_a^b\\\ &= F(b)-F(a)\\\ &= F(b)\color{red}{-F(p)+F(p)}-F(a)\\\ &= \left(F(b)-F(p)\right) + \left(F(p)-F(a)\right)\\\ &= \int_p^b f(x) dx +\int_a^p f(x) dx \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

まとめ

 

それではまとめます。

まとめ

$$\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$$

$$\int_a^b \left\{f(x) \pm g(x)\right\}dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$$

$$\int_a^a f(x) dx= 0$$

$$\int_a^b f(x)dx = \color{red}{-}\int_\color{red}{b}^\color{red}{a} f(x) dx$$

$$\int_a^b f(x)dx = \int_{\color{red}{p}}^b f(x) dx +\int_a^{\color{red}{p}} f(x) dx $$

(※見切れている場合はスクロール)

 

このように、定積分には主に5つの計算公式が存在しています。

計算法則としてみると、証明は難しくないもののいまいち何を表しているかピンときにくいのも事実です。

 

実はこの計算には、面積の意味合いが関わっているのですが、ここではあくまで『計算法則』としての観点だけでみました。

『面積』も絡ませた定積分の計算法則は、こちらの記事で紹介します。

 

以上、「定積分の計算法則について」でした。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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