文系積分

【囲まれた面積】定積分で求めるときに持っていたほうがいいイメージをささっと解説

定積分と囲まれた面積

Today's Topic

囲まれた面積と定積分

$$S=\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$

 

小春
楓くん、2つの曲線で囲まれた面積ってどうして引き算で求められるの?
簡単にいうと「大きい面積」ー「小さい面積」をしているからなんだ。
小春
なんか図で見せてくれない・・・?
じゃあ今日は囲まれた面積の求め方のコツと、定積分の捉え直しをやってみようか。

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • 囲まれた面積を求める際に必要なイメージ
  • \(x\)軸と曲線で囲まれたグラフの考え方

最後に練習問題もあるから、やってみよう!

 

2つのグラフで囲まれた面積

 

2つのグラフで囲まれた図形の面積を考えるためには、まずそれぞれの面積を求めるところから始めます。

 

STEP1. \(f(x)\)が\(a≦x≦b\)で作る面積

 

定積分が面積を表す理由で紹介した通り、一般に

定積分と面積

$$S=\int_0^a f(x) dx$$

が成り立ちます。

 

これをもとに考えると、

区間0〜の定面積
$$S_1 = \int_0^b f(x) dx$$

 

区間0〜の定面積
$$S_2 = \int_0^a f(x) dx$$

 

の2つから、\(f(x)\)が\(a≦x≦b\)で作る面積\(S_f\)は

残された面積
$$S_f = \int_0^b f(x) dx - \int_0^a f(x) dx$$

で求められることがわかります。

 

また、定積分の計算公式から

\begin{align} S_f &= \int_0^b f(x) dx - \int_0^a f(x) dx\\\ &= \int_0^b f(x) dx + \int_a^0 f(x) dx\\\ &= \int_a^b f(x) dx\\\ \end{align}

とまとめられることもわかります。

 

STEP2. \(g(x)\)が\(a≦x≦b\)で作る面積

 

\(g(x)\)が\(a≦x≦b\)で作る面積を\(S_g\)とします。

 

\(f(x)\)が作る面積\(S_f\)と同様に考えると、

aとbに挟まれた面積
$$S_g = \int_a^b g(x) dx$$

となりますね。

 

STEP3. 大きい面積ー小さい面積

 

見た目で分かる通り、\(S_f\)の方が\(S_g\)よりも大きくなりますね。

 

よって区間\(a≦x≦b\)において\(f(x)\)と\(g(x)\)で囲まれた面積\(S\)は

大きい面積から小さい面積をひく
残った面積

$$S = S_f - S_g $$

で求められます。

 

インテグラルの式に直して考えてみると、定積分の計算法則より次のような変形ができます。

\begin{align} S &= S_f-S_g\\\ &= \int_a^b f(x) dx - \int_a^b g(x) dx\\\ &=\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx  \end{align}
小春
要は上側にある\(f(x)\)から下側にある\(g(x)\)を引いたものの積分をすればいいんだね!

 

\(x\)軸との面積

 

以上のように、区間\(a≦x≦b\)における2つのグラフで囲まれた面積は

$$\int_a^b \left((上側のグラフ) - (下側のグラフ)\right)dx$$

と考えることができるので、次のように考えることができます。

 

\(x\)軸よりも上のグラフ

 

x軸よりもグラフが上にある面積

上のような図の場合、\(x\)軸の方が\(y=f(x)\)よりも下にあります。

 

この面積\(S\)は、\(x\)軸は\(y=0\)と表すことができたので、

$$\int_a^b \left(\underbrace{f(x)}_{上のグラフ} - \underbrace{0}_{下のグラフ} \right)dx$$

(※見切れている場合はスクロール)

 

と考えることができます。

 

\(x\)軸よりも下のグラフ

 

x軸よりもグラフが下にある面積

上のような図の場合、\(x\)軸の方が\(y=f(x)\)よりも上にあります。

 

この面積\(S\)は、\(x\)軸は\(y=0\)と表すことができたので、

$$\int_a^b  \left( \underbrace{0}_{上のグラフ}-\underbrace{f(x)}_{下のグラフ} \right)dx$$

(※見切れている場合はスクロール)

と考えることができます。

 

まとめ

今日はこれだけ!まとめるよ!

 

まとめ

  • 2つのグラフで囲まれる面積を求めるためには、その区間で上にあるグラフ\(y=f(x)\)と下にあるグラフ\(y=g(x)\)に着目して、『\(f(x)\)が\(x\)軸と作る面積』ー『\(g(x)\)が\(x\)軸と作る面積』を考えればOK。
  • この計算は$$\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$のようにまとめることができる。

 

この大きい面積から小さい面積をひく、といういっけん簡単に聞こえる当たり前の行動。

このイメージがあるかないかで計算スピードが大きく変わります。

 

練習問題などでも、ぜひ「どの面積からどこを引いているのかな?」と考えてみて下さい。

 

以上、「囲まれた面積の求め方について」でした。

 

チェック問題

 

 

例題

2つの放物線\(y=x^2-2x,\ y=-x^2+3x\)と直線\(x=1,\ x=2\)で囲まれた部分の面積\(S\)を求めよ。


(解答)

+ タップで解答表示

定積分の練習問題

グラフを考えてみると、区間\(1≦x≦2\)では\(y=-x^2+3x\)の方が上に位置する。

よって、

\begin{align} S &= \int_1^2 \left(\left(-x^2+3x\right)-\left(x^2-2x\right)\right)dx\\\ &= \int_1^2 \left(-2x^2+5x\right)dx\\\ &=\left[-\frac{2}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2\right]_1^2\\\ &= \frac{17}{6}\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

 

例題

3次関数\(y=x^3-3x^2+2x\)が区間\(0≦x≦2\)において、\(x\)軸となす面積\(S\)を求めよ。


(解答)

+ タップで解答表示

定積分の練習問題

グラフを考えると、

  • 区間\(0≦x≦1\)では曲線のほうが、\(x\)軸よりも上に位置している
  • 区間\(1≦x≦2\)では曲線のほうが、\(x\)軸よりも下に位置している

ことがわかる。

なので、区間ごとに分けて

\begin{align} S &= \int_0^1 \left(f(x)-0\right)dx + \int_1^2 \left(0-f(x)\right)dx\\\ &= \left[\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2\right]_0^1-\left[-\frac{1}{4}x^4+x^3-x^2\right]_1^2\\\&=\frac{1}{2}\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

\今回の記事はいかがでしたか?/

-文系積分

© 2020 青春マスマティック Powered by AFFINGER5