文系積分

【不定積分の計算公式】インテグラルの性質と注意すべきポイントを解説

Today's Topic

\(F'(x)=f(x), G'(x)=g(x)\)のとき、

$$\int 1 dx = x+C$$

$$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$$

$$\int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx = \int f(x)dx\pm \int g(x)dx$$

(※見切れている場合はスクロール)

ただし\(k\)は定数、\(C\)は積分定数

 

不定積分の計算公式を確認していこう!
微分のときと同じ流れだね。
小春

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  •  積分の基本的な計算
  •  積分が難しいワケ

小春
最後に練習問題があるよ!

 

1の不定積分

 

定数1の不定積分は次のように求められる。

ポイント

$$\int 1 dx = x+C$$

 

証明はとても簡単で、「微分して1になる関数って何かなぁ。」を考えるだけ。

小春
あ、\(x\)だね。
積分定数も忘れずにね。

 

\(\int 1dx\)を\(\int dx\)と表すことが多々ある。

 

定数倍された不定積分

 

\(F'(x)=f(x)\)とすると、関数\(kf(x)\)の不定積分は次のように求められます。

ポイント

\begin{align} \int kf(x)dx &= k\int f(x)dx\\\ &= kF(x)+C\\\ \end{align}

 

証明

関数\(kF(x)\)を微分すると、定数倍の微分公式より

\begin{align} \left(kF(x)\right)' &= kf(x)\\\ \end{align}

となるため、\(kF(x)\)は\(kf(x)\)の原始関数の1つと言える。

 

不定積分は『原始関数+定数』の形で表せばよかったので、

\begin{align} \int kf(x)dx &= kF(x)+C\\\ \end{align}

 

これは

\begin{align} \int kf(x)dx  &= kF(x)+C\\\ &= k\int f(x)dx\\\ \end{align}

より、

\begin{align} \int kf(x)dx &= k\int f(x)dx\\\ \end{align}

であることを示している。

 

定数はインテグラルの外に出すことができる!

 

関数の和や差の不定積分

 

2つの関数\(f(x),g(x)\)の和\(f(x)+g(x)\)の不定積分では、次のことが成り立つ。

ポイント

\begin{align} \int\left(f(x)+g(x)\right)dx &= \int f(x)dx+\int g(x)dx\\\ &= F(x)+G(x)+C\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

証明

関数の和\(F(x)+G(x)\)の微分は、和の微分公式から

$$\left(F(x)+G(x)\right)'=F'(x)+G'(x)$$

となるため、\(F(x)+G(x)\)は\(f(x)+g(x)\)の原始関数の1つと言える。

 

不定積分は『原始関数+定数』の形で表せばよかったので、

\begin{align} \int\left(f(x)+g(x)\right)dx &= F(x)+G(x)+C\\\ \end{align}

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これは

\begin{align} \int\left(f(x)+g(x)\right)dx &= F(x)+G(x)+C\\\ &= \int f(x)dx+\int g(x)dx\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

より、

$$\int\left(f(x)+ g(x)\right)dx = \int f(x)dx+ \int g(x)dx$$

(※見切れている場合はスクロール)

であることを示している。

関数\(f(x)-g(x)\)の不定積分のときも同じことが言えるよ。

 

インテグラルは、和と差の場合は分配できる!

 

【ここが山場】関数の積や商の不定積分

 

2つの関数が和や差で結ばれている場合、インテグラルを分配することができました。

では積や商の形で結ばれているものでも、同じように分配できるのでしょうか。

$$\int f(x)g(x)dx = ???$$
$$\int \frac{f(x)}{g(x)}dx =???$$

結論から言うと、積や商で結ばれている場合は分配できません!

 

積で結ばれている場合を考えてみましょう。

関数\(F(x)G(x)\)の微分は、積の微分公式から

$$(F(x)G(x))' = F'(x)G(x) + F(x)G'(x)$$

となります。

 

つまり関数\(F(x)G(x)\)は\(f(x)g(x)\)の原始関数とはいえないため、

$$\int f(x)g(x) dx = F(x)G(x) +C$$

が成り立ちません。

 

これにより、

\begin{align} \int f(x)g(x) dx &= F(x)G(x) +C\\\ &= \int f(x)dx \int g(x) dx \\\ \end{align}

と言うことはできないのです。

 

小春
じゃあ積や商で結ばれた関数の不定積分は、どうやって求めるの?
これが結構工夫が必要なところで、簡単そうなものでも数Ⅲ以降の知識を使わないと解けないんだ。
小春
えぇぇ・・・。

 

積や商で結ばれた関数の積分は分配できません。いろいろな工夫・・が必要です。

 

まとめ

最後にまとめるよー!

まとめ

インテグラルは

  • 1を省略する
  • 定数を外に出せる
  • 和や差の場合は分配法則ライクに扱える

 

積分の単元では、『積分できる形』まで細かく分解したり、くっつけたりする必要があります。

今回のこの公式たちは、主に細かくするときに必須のテクニックになりますので、いろんな問題を解いて計算速度を上げておきましょう。

 

以上、「不定積分の計算法則について」でした。

 

チェック問題

 

例題

$$\int \left(x^2 + x\right)dx$$


(解答)

インテグラルは分配できることに着目しよう!

+タップで解答を表示

\begin{align} \int \left(x^2 + x\right)dx &= \int x^2 dx + \int x dx\\\ &= \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2} x^2 +C\\\ \end{align}

 

例題

$$\int \left(2x^2+3x-4\right)dx$$


(解答)

小春
定数はインテグラルの外に出せるんだったね!

+タップで解答を表示

\begin{align} \int \left(2x^2+3x-4\right)dx &= 2\int x^2 dx + 3\int x dx -4\int dx\\\ &= \frac{2}{3}x^3 +\frac{3}{2}x^2 -4x +C\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

 

\今回の記事はいかがでしたか?/

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