数Ⅱ 数Ⅲ 理系複素数

共役な複素数の重要性質4つ→特殊計算・分割可能・方程式の解・複素平面

Today's Topic

『複素数\(a+bi\)に対して、\(a-bi\)で表せる複素数を、共役な複素数という。』

 

今日は共役な複素数について、解説するよ〜!
共役な複素数って、パッと扱っちゃダメなテーマなの?そこまで難しくないけど・・・?
小春
共役な複素数には、複素数の問題を解く上で絶対外せない性質がいくつかあるんだ。今回はその性質にフォーカスしていくよ!

 

こんなあなたへ

「共役な複素数って、何か特別なの?」  

「共役な複素数の性質や使い方が知りたい!

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • ある二次方程式の解が、\(x=3+2i\)であった。このときのもう1つの解を求めよ。
  • \(z+\frac{1}{z}\)が純虚数ならば、複素数\(z(z\neq0)\)も純虚数であることを示せ。

答えは一番最後にあるよ!

 

複素数を一気に理解したい方への記事は、こちらにまとめてあります。

 

共役(きょうやく)な複素数とは

定義

複素数\(a+bi\)に対して、\(a-bi\)のように虚部を\(-1\)倍した関係にある複素数のこと。

 

例えばこんな感じ。

 

$$1+2i \rightarrow 1-2i$$
$$3-i \rightarrow 3+i$$
$$\sqrt{2}i \rightarrow -\sqrt{2}i$$
$$5 \rightarrow 5$$

 

小春
\(\sqrt{2}i\)や5のような実数や純虚数は、複素数\(a+0i\)や\(0+bi\)の場合だと見なせばいいね。

 

共役な複素数による重要性質4つ

ここからは共役な複素数が見せる、とても便利な性質をご紹介していきます。

 

共役な複素数を足す/掛けると実数化する

複素数\(a+bi\)に対して、共役な複素数を足してみます。

\begin{align} (a+bi)+(a-bi) &= (a+a)+(b-b)i\\\ &= 2a\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

ご覧の通り、虚部が相殺して実部が2倍された数のみ残りました。

式からもわかるけど、引き算の場合は逆に虚部だけが残るね。
\begin{align} (a+bi)-(a-bi) &= (a-a)+(b+b)i\\\ &= 2bi\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

 

次に、共役な複素数を掛けてみましょう。

\begin{align} (a+bi)(a-bi) &= \left(a^2+b^2\right) +(-ab+ab)i\\\ &= a^2+b^2\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

こちらもまた、虚部が相殺して実数のみになりました。

出来上がった実数\(a^2+b^2\)は、必ず正の値しかとらないことも大切です。

 

共役な複素数は分割できる

複素数\(z\)に対して、共役な複素数を\(\overline{z}\)と表します。

このとき、2つの複素数\(\alpha,\beta\)について、以下2つの性質が成り立ちます。

 

  • $$\overline{\alpha\pm\beta}=\overline{\alpha}\pm\overline{\beta}$$
  • $$\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}$$

小春
割り算のときは、いつも通り掛け算のときに帰着して考えればいいのね。

証明は右辺と左辺が等しい値になることを言えばOK!

 

また、\(\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}\)より

  • $$\overline{\alpha^n}=\left(\overline{\alpha}\right)^n$$
  • $$\overline{k\alpha}=k\overline{\alpha}(kは実数)$$

ということもできます。

小春
共役な複素数を表す上バーが分割できるってみなせるね。

 

\(a+bi\)が(実数係数の)方程式の解になるとき、共役複素数\(a-bi\)も解

方程式の解に\(1+i\)が含まれるとき、\(1-i\)も必ず解になっているという、一度で2度美味しい性質です。

いきなりこの証明に取り掛かるのは厳しいので、まずは実験をしてみましょう。

 

二次方程式\(x^2+2x+3=0\)を考えてみると、解の公式から

\begin{align} x &= \frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}\\\ &= -1\pm\sqrt{2}i\\\ \end{align}

となります。

確かに共役な複素数も解になったね。

 

では三次方程式\(x^3=1\)を考えてみましょう。

\(x=1\)は解になるので、\(x^3-1=0\)は\((x-1)\)で因数分解できるはずです。

 

整式の割り算等を駆使して、

$$x^3-1=(x-1)(-x^2-x-1)$$

のように因数分解します。

すると\(-x^2-x-1=0\)を考えればよく、二次方程式に落とし込むことができます。

 

解の公式から

\begin{align} x &= \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4}}{2}\\\ &= -\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}i}{2}\\\ \end{align}

となり、これも共役複素数が答えになっていることが確認できました。

 

ではここから、一般的に\(n\)次方程式の証明をしてみましょう。

 

\(n\)次方程式

$$f(x)=k_0+k_1x+k_2x^2+\cdots=0(k_0,k_1,\cdotsは実数)$$

(※見切れている場合はスクロール)

が虚数解\(z=a+bi\)を持つと仮定します。

ここから\(\overline{z}=a-bi\)が解として求められることを示せばOKですね。

整式の性質から、\(f(z)=0\)が成り立つことに注目しておこう。

 

step
1
整式\(f(\overline{z})\)を\(f(z)\)に帰着させる。

\(n\)次方程式\(\overline{f(z)}\)について考える。

上記で既に説明した共役複素数の性質\(\overline{\alpha\pm\beta}=\overline{\alpha}\pm\overline{\beta}\)より

\begin{align} \overline{f(z)} &= \overline{k_0+k_1z+k_2z^2+\cdots} \\\ &= \overline{k_0}+\overline{k_1z}+\overline{k_2z^2}+\cdots\\\ \end{align}

と変形できる。

 

さらに、共役複素数の性質

  • \(\overline{k\alpha}=k\overline{\alpha}(kは実数)\)
  • \(\overline{\alpha^n}=\left(\overline{\alpha}\right)^n\)

を順に使うことにより、

\begin{align} \overline{k_0}+\overline{k_1z}+\overline{k_2z^2}+\cdots &= k_0+k_1\overline{z}+k_2\overline{z^2}+\cdots\\\ &= k_0+k_1\overline{z}+k_2\left(\overline{z}\right)^2+k_3\left(\overline{z}\right)^3\cdots\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

となり、これは\(f(\overline{z})\)を表す。

 

よって\(\overline{f(z)}=f\left(\overline{z}\right)\)が言える。

 

step
2
実数の共役複素数は、そのまま

問題の条件から、\(f(z)=0\)が成り立つのだった。

さっき注目してねって言ったところだよ!

 

実数\(0\)は複素数\(0+0i\)と一致するので、0の共役複素数は\(0-0i=0\)となる。

ゆえに\(f(z)=0\)ならば、\(\overline{f(z)}=\overline{0}=0\)となる。

 

step
3
Step1、2を連結

  • Step1より、\(\overline{f(z)}=f\left(\overline{z}\right)\)
  • Step2より、\(\overline{f(z)}=\overline{0}=0\)

繋げると、

\(\overline{f(z)}=0\)ならば、\(f\left(\overline{z}\right)=0\)

となる。

 

よって\(n\)次方程式が複素数を解に持つとき、その共役複素数も解になることが示された。

お疲れちゃん。

 

数Ⅲ複素平面上で\(x\)軸対称の位置にいる

複素平面上で2つの複素数\(1+1i\)、\(-3+2i\)とその共役複素数をプロットすると、図のような位置関係にいます。

 

この図から、複素数\(z\)と共役な複素数\(\overline{z}\)には次のような関係があると言えます。

  • \(x\)軸対称
  • 原点からの距離が等しい

 

特に後者の性質から、\(z=a+bi\)とすると、

原点から複素数\(z\)までの距離を|z|とするとき、
$$|z|=|\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}$$

と言えます。

小春
複素数と、その共役な複素数は距離が変わらないんだね。

 

これは、最初らへんに述べた

『複素数とその共役複素数の積は、非負実数\(a^2+b^2\)になる』

という感覚とも一致しますね。

 

まとめ

長くなったね、まとめておきましょう。

 

まとめ

複素数\(z=a+bi\)と、その共役な複素数\(\overline{z}=a-bi\)について

  • \(z+\overline{z}=2a\)
  • \(z\overline{z}=|z|^2=a^2+b^2\)
  • \(|z|=|\overline{z}|\)
  • 方程式の解が\(z\)のとき、\(\overline{z}\)も解

2つの複素数\(\alpha,\beta\)について

  • \(\overline{\alpha\pm\beta}=\overline{\alpha}\pm\overline{\beta}\)
  • \(\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}\)
  • \(\overline{\alpha^n}=\left(\overline{\alpha}\right)^n\)
  • \(\overline{k\alpha}=k\overline{\alpha}\)
小春
合わせて8つもあるの?!
そうだけど、暗記するのではなく理解すれば簡単だよ。

 

共役複素数を持つ複素数の世界では、感覚的にはちょっと不思議な、でも成り立つとありがたい性質がこんなにもあります

これから先、複素数の問題を解いていけばわかりますが、この特殊な性質を使わない問題はまずありません。

この性質を完璧に理解して、自分のものにすることで、複素数はちゃんと得点源になりますよ。

 

以上、「共役複素数について」でした。

最初の答え
Q.ある二次方程式の解が、\(x=3+2i\)であった。このときのもう1つの解を求めよ。
 

複素数が方程式の解となるとき、共役複素数もまた解になる。

よって\(x=3+2i,3-2i\)を解に持つ。

 
Q.\(z+\frac{1}{z}\)が純虚数ならば、複素数\(z(z\neq0)\)も純虚数であることを示せ。
 

複素数と共役複素数の和は、虚部が相殺して実数になる。

これより純虚数とその共役複素数の和は0になるはずである。

よって、

$$\left(z+\frac{1}{z}\right)+\overline{\left(z+\frac{1}{z}\right)}=0$$

整理すると、

$$(z+\overline{z})+\frac{\overline{z}+z}{z\overline{z}}=0$$

となる。

 

\(z\overline{z}=|z|^2\)に注意して\((z+\overline{z})\)でくくると、

$$(z+\overline{z})\left(1+\frac{1}{|z|^2}\right)=0$$

\(\left(1+\frac{1}{|z|^2}\right)>0\)より、\((z+\overline{z})=0\)

これが成り立つとき、実部は0のはずである。よって\(z\)は純虚数。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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