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【複素数公式一覧】証明や差がつくポイント、役立つテクニックなど総まとめ(数Ⅱ・数Ⅲ対応)

複素数公式一覧
小春
今回は、数Ⅱで扱った複素数の基礎公式から数Ⅲの応用公式まで網羅したよ!
これまでの勉強の成果がしっかり出ているね。

 

基本(数Ⅱ複素数)

 

虚数と複素数

実数\(a,\  b\)に対して、数\(a+bi\ (b \neq 0)\)を虚数と定義し、数\(a+bi\ (b = 0もOK)\)を複素数と定義する。

参考虚数と複素数の違いと、考えるメリット→認めることで世界が広がる。

 

 

複素数の四則演算

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$

$$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

$$(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2=d^2}i$$

 

複素数\(z=a+bi\)と、その共役な複素数\(\overline{z}=a-bi\)について

  • \(z+\overline{z}=2a\)
  • \(z\overline{z}=|z|^2=a^2+b^2\)
  • \(|z|=|\overline{z}|\)
  • 方程式の解が\(z\)のとき、\(\overline{z}\)も解

2つの複素数\(\alpha,\beta\)について

  • \(\overline{\alpha\pm\beta}=\overline{\alpha}\pm\overline{\beta}\)
  • \(\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}\)
  • \(\overline{\alpha^n}=\left(\overline{\alpha}\right)^n\)
  • \(\overline{k\alpha}=k\overline{\alpha}\)

参考共役な複素数の重要性質4つ→特殊計算・分割可能・方程式の解・複素平面

 

応用(数Ⅲ複素数)

 

複素平面

  • 複素平面は、xy平面のベクトルと対応する。
  • 距離:\(AB=|\beta-\alpha|\)
  • 垂直二等分線:\(|z-\alpha|=|z-\beta|\)
  • 円:\(|z-\alpha|=r\)
  • 複素平面乗の軌跡を考えるためには、
     ・知っている形にごり押しする
     ・\(xy\)平面に戻して考える
    のようにすれば良い。
  • \(z\overline{z}=|z|^2\)は大事

参考複素平面の特徴と軌跡→xy平面に戻すor直線や円、二等分線の形になおす

 

極形式

実数\(r>0\),偏角\(\theta\)を用いると、どんな複素数も

$$r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$$

の形にすることができる。この形を極形式という。

参考極形式に変形するコツと、変形すべき場面→距離と偏角を意識した図を見る

 

ド・モアブルの定理

$$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

参考ド・モアブルの定理の証明と問題場面→極形式の形に直せればOK

 

(n)乗根

方程式\(z^n=\alpha\)の解を複素数\(\alpha\)の\(n\)乗根という。

参考サッとわかる複素数のn乗根の計算方法とイメージ→円を意識してドモアブル!

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