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基本（数Ⅱ複素数）
虚数と複素数
実数\(a,\ b\)に対して、数\(a+bi\ (b \neq 0)\)を虚数と定義し、数\(a+bi\ (b = 0もOK)\)を複素数と定義する。
参考虚数と複素数の違いと、考えるメリット→認めることで世界が広がる。
複素数の四則演算
$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$
$$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$
$$(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$
$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2=d^2}i$$
複素数\(z=a+bi\)と、その共役な複素数\(\overline{z}=a-bi\)について
- \(z+\overline{z}=2a\)
- \(z\overline{z}=|z|^2=a^2+b^2\)
- \(|z|=|\overline{z}|\)
- 方程式の解が\(z\)のとき、\(\overline{z}\)も解
２つの複素数\(\alpha,\beta\)について
- \(\overline{\alpha\pm\beta}=\overline{\alpha}\pm\overline{\beta}\)
- \(\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}\)
- \(\overline{\alpha^n}=\left(\overline{\alpha}\right)^n\)
- \(\overline{k\alpha}=k\overline{\alpha}\)
参考共役な複素数の重要性質４つ→特殊計算・分割可能・方程式の解・複素平面
応用（数Ⅲ複素数）
複素平面
- 複素平面は、xy平面のベクトルと対応する。
- 距離：\(AB=|\beta-\alpha|\)
- 垂直二等分線：\(|z-\alpha|=|z-\beta|\)
- 円：\(|z-\alpha|=r\)
- 複素平面乗の軌跡を考えるためには、
・知っている形にごり押しする
・\(xy\)平面に戻して考える
のようにすれば良い。 - \(z\overline{z}=|z|^2\)は大事
参考複素平面の特徴と軌跡→xy平面に戻すor直線や円、二等分線の形になおす
極形式
実数\(r>0\),偏角\(\theta\)を用いると、どんな複素数も
$$r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$$
の形にすることができる。この形を極形式という。
参考極形式に変形するコツと、変形すべき場面→距離と偏角を意識した図を見る
ド・モアブルの定理
$$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$
参考ド・モアブルの定理の証明と問題場面→極形式の形に直せればOK
(n)乗根
方程式\(z^n=\alpha\)の解を複素数\(\alpha\)の\(n\)乗根という。
