場合の数 数A

【納得できる】円順列の考え方と重要ポイント→ダブりの規則性を考える!

Today's Topic

\(n\)個の要素を並べた円順列の場合の数は$$(n-1)!通り$$

 

小春
楓くん、円順列って普通の順列と何が違うの?
円順列は一列に並べていたものを円形に並べただけ。ただそれによって、重大な性質が現れるんだ。
小春
重大な性質?!
実はその重大な性質を理解して、問題を眺めてみると『場合の数』の単元では一体何をしたいのか見えてくるんだ。
小春
じゃあここは公式暗記に頼らず、しっかり考え方を理解しないとね・・・。

 

こんなあなたへ

「円順列を考える意味がわからない。何のために円形に並べるの?!」

「円順列の公式の意味がわからない。何がしたいの?」

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • AからFまでの6人を円形に並べたとき、輪の作り方は何通り?
  • AからFまでの6人を円形に並べたとき、AとFが向かい合わせになるのは何通り?

答えは最後にあるよ!

 

順列とは何か→横並びにしたときの場合の数を求めたい

まずは順列の意味から、カンタンに復習しよう。

 

順列とは、異なるものを順番に並べる方法のことを言います。具体的に次の例題を見てみましょう。

 

例題

赤、青、緑、白、黒の5色の玉が1つずつある。これを一列に並べたとき、並べ方は何通りあるか。

順列を考えてみる

 

例えば1番目に赤色の玉を置いたとすると、樹形図はこのようになります。

赤色の球を選択したときの樹形図

枝が均等に分かれているので、積の法則が使えそうです。

和の法則・積の法則について復習したい人はこちらを参考にしてください。

 

枝の分かれ方に着目すると、1番目に赤色を選択した場合、

$$4\times 3\times 2\times 1 通り$$

の選択肢があります。

 

そして1番目の選択肢は赤から黒までの5通りなので、

$$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120通り$$

の選択肢がありそうです。

小春
枝が均等に分かれてることから積の法則が使えるとわかると、樹形図を全部書かなく済むね。

 

順列ではこのように、1つずつ値が減っていき、それらを順に掛ける計算が非常に多く出てきます。

そこで、

$$5! = 5\times 4\times 3\times 2\times 1$$

のように「!」をつけることで1まで掛け算し続けるということを表します。

 

円順列とは何か→円形に並べたときの場合の数を求めたい

小春
円順列って、何を考えているの?

 

さて、本題に入りましょう。

円順列とは、先ほど一列に並べた玉を円形に並べたときの並べる方法のことです。

円順列とは

 

はい、これだけです。

小春
え、おしまい!?
そだよ。
小春
円順列ってもうちょっと、難しいものかと・・・。
実はこの円形という並びが特殊な条件を生み出すんだ!

 

円順列の前提条件と重要な”制限”

順列と円順列は、一列に並べているか、円形に並べているかの違いしかありません。

しかしこの、円形という並びが場合の数を考える上で超大事なポイントになります。

 

では具体的にみていきましょう。

まずは2つの順列を見比べてみましょう。

2つの順列を見比べる

上と下を見比べたとき、同じ並べ方に見えるかな?
え、全然違うくない?!
小春

 

一列に並べると、どれか1つの玉を動かしただけでも並び方が全く違うものになりますね。

 

では、円形の場合はどうでしょうか。

次の2つを見比べてみましょう。

2つの円順列を見比べる

小春
パッと見、違うように見えるけどなあ

 

では次のように見てみるとどうでしょうか。

文字に着目してみて!

2つの円順列が同じもの

小春
あ、右の円順列は、左の円順列が横に倒れたようなパターンになってるね!
つまりみる角度が違うだけで、並び方自体は同じだとみなせるよね!

 

このように円順列では、

みる角度を変えただけで同じになる並び方は、全て同じとみなす

という特殊な前提条件があります。

小春
一列に並べた順列では発生しない考え方だね!

 

今回のケースだと、以下5つの並び方はすべて同じ並びとみなされます

円順列は回転して同じものは一緒とみなす

 

ここまでの内容をまとめてみると、円順列は円形に並べたことによって

  1. 一見違うように見えても、回転すると同じとみなせる並び方があった。
  2. そこでみる角度を変えると同じ並びになるパターンは全て、同じものとみなすことにした。

というわけです。

 

円順列の場合の数の求め方→ダブっているパターンを取り除く

ここからがちょっと頑張って欲しいポイントね!

 

円順列は、一列に並べる順列とは違い、みる角度を変えて同じ並びになるパターンは同じものとみなすという特殊な性質があります。

 

これはつまり、普通に数えると『ダブり』が発生してしまうことを意味します。

 

例えば、一列に並べる順列の場合、

2つの順列を見比べる

上図のような並び方は、異なるパターンとみなされ2通りとカウントされます。

 

一方、円順列の場合、

2つの円順列が同じもの

は全く同じものとみなすので、これを2通りとすると、ダブって数えていることになってしまいます。

小春
同じものを2回カウントしているってことね。

 

つまり円順列では、同じとみなせる並び方を数えないようにする工夫が必要になるわけです。

 

ではこの問題となっている、『同じとみなせる並び方』はいくつあるのでしょうか。

今回の例で言えば、すでにご紹介した通り、以下5つの並び方は同じものとみなされます。

円順列は回転して同じものは一緒とみなす

 

この図を見てわかるのは、

反時計回りにちょうど一周するまでに作られるパターンは、全て最初の並び方と同じ並び方と考える

ということ。

回り方はどっち向きでもいいんだけどね。

 

これを『5通り』とカウントすると、ダブってカウントしていることになるので、

$$5通りの並び方 \div 5つのダブり = 1通り$$

とすることで、しっかりカウントすることができます。

 

玉の並び方自体は、一列に並べた順列と同じ

$$5! = 5\times 4\times 3\times 2\times 1$$

通りだけ存在します。

しかしこれは、同じ玉の並べ方を『5通り』とダブっているにもかかわらずカウントした場合の数です。

円順列の場合の和はダブりを解消する

 

そこでダブりを解消するために、

$$並び方の総数 \div ダブっているパターン数$$

とすることで、正しくカウントします。

ここで割り算が出てくるのは、どんな並びでもダブり方が均等だからだよ。

 

今回の場合、

$$\frac{5!}{5}=4!$$

となります。

 

\(n\)個の要素を並べてできる円順列は、基本的に\((n-1)!\)で求められますが、この公式よりも考え方を重視して欲しいです。

 

ポイント

円順列でしっかり場合の数をカウントするためには、

$$並び方の総数 \div ダブっているパターン数$$

を考えれば良い。

 

円順列をやる意味→ダブっているときを考える練習

最後に、なんでわざわざ円形に並べるなんていう場合の数を求めなきゃいけないのでしょうか。

小春
確かに、日常でもそれほど有用な場面はなさそうだけど・・・。

 

結論を言うと、円順列の問題の答えを求めることにあまり価値はないと思っています。

円順列を扱う本当の意味は、今回何度も言っている『ダブリ』の解消について考えるため、と僕は解釈しています。

 

これから先、色々な場合の数が出てきますが、結局何通りあるかをモレなくダブリなく数えたいだけです。

ダブりの規則性がわかっていれば、今回のようにサッと計算で求めることができます。

 

円順列のダブりの規則性はとてもシンプルで、ダブリの解消方法を学ぶにはピッタリなんだよね。
だからさっき公式よりも考え方重視って言ってたのね!
小春

 

まとめ

今日のまとめをします。

 

まとめ

  1. 円順列は、一列に並べた順列とは異なり、回転すると同じ並び方とみなせるという条件がある。
  2. この条件により、普通に数えるとダブりが発生してしまう。
  3. そこで、ダブリが均等であることに着目し、$$並び方の総数 \div ダブっているパターン数$$を考えれば良い。

 

円順列はこれから先の場合の数で出てくる『ダブリ』解消の大きなヒントを与えてくれます。

ぜひ円順列で、ダブリをしないための計算を身につけてください。

 

以上、「円順列とは何か」でした。

 

最初の答え
Q.AからFまでの6人を円形に並べたとき、輪の作り方は何通り?
$$\  $$
並べ方自体は\(6!\)通り。
ただし円順列特有の『回転して同じ並びは同じもの』という性質により、ダブリが発生する。
このダブりは、どの並びでも均等に6パターンできる。
$$\ $$
よって、\(\frac{6!}{6}=120通り\)
$$ \ $$
Q.AからFまでの6人を円形に並べたとき、AとFが向かい合わせになるのは何通り?
図のようにAとFの位置を固定すると、回転しないので『ダブリ』が発生しない。
円順列の練習問題
よって、残り4箇所の並び方を考えればいいので、
$$4! =24通り$$

\今回の記事はいかがでしたか?/

-場合の数, 数A

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