場合の数 数A

場合の数ができない人は、ここが抜けてる!しっかり数えるための和の法則・積の法則→モレなく、ダブりなく

Today's Topic

樹形図の枝分かれが均等なとき、積の法則が適用でき、そうでないときは場合わけして和の法則を使う。

 

小春
うーん。。。なかなか場合の数が理解できないなぁ。
どこらへんが難しい?
小春
最初らへんはわからないこともないんだけど、『4!』とか『\(_3P_2\)』とか出てくると、もうダメだ・・・。
それはきっと、『数える』という感覚が抜けているからだね。
小春
数える?
実は場合の数で出てくるものは全て、樹形図を使えばわかる話なんだ。今回は具体例を多く交えて、場合の数のやりたいことに迫ってみよう。

 

こんなあなたへ

「場合の数の意味がわからない。何をしたいの?」

「和の法則と積の法則はなぜ成り立つの?」

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • 2つのサイコロを投げた時、サイコロの目の出方は何通りあるか。
  • 2つのサイコロを投げた時、サイコロの目の和が5、もしくは6となるのは何通りか。

小春
答えは最後にあるよ!

 

そもそも場合の数とはなんだろう。→何通りの場合が考えられるか。

まず最初に『場合の数』なんていう、不気味な言葉について考えてみましょう。

カンタンに訳すと、

『何か実験をしたときに、どんなパターンが何通り起こり得るかな?』

を考えた数が、場合の数です。

 

例えば、サイコロを1つ転がす実験をしてみましょう。

すると起こり得るパターンは

  • 1の目がでた。
  • 2の目がでた。
  • 3の目がでた。
  • 4の目がでた。
  • 5の目がでた。
  • 6の目がでた。

の6パターンではないでしょうか。

小春
つまりこの時の”場合の数”は6通りってことね。

 

 

ただし、ここで肝心なのは、考えられるパターンを全て列挙する必要があるということです。

全て列挙するためには、考えられるパターンを『モレなく、ダブりなく』数える必要があります。

 

例えば先ほどのサイコロの例で、『6の目がでた』場合を数え忘れていたら、場合の数は5通りとなり、正しい場合の数とは言えません。

また『1の目がでた』を2回ダブって数えてしまうと、場合の数は7通りとなり、これまた正しい場合の数とは言えません。

 

今回の例ではそれほどモレやダブりが発生することはないと思いますが、次の例題はどうでしょうか。

 

例題1

サイコロを2回転がすとき、目の出方のパターンは何通りあるか。

 

1回目のサイコロが1のとき、2回目のサイコロは1の場合もあれば2の場合もあります。もちろん3〜6の場合も。

じゃあ1回目のサイコロが2のときは?3のときは?

 

小春
うーん、言葉で考えるとぐちゃぐちゃしてくるね・・・。
その通り。ごちゃごちゃすることで、モレやダブりが発生するんだ。

 

というわけで、モレやダブりが発生しないように、効率的にスッキリと数える必要があるわけです。

 

モレなくダブりなく数えたい→樹形図の活用

最も原始的な『効率的な数え方』の1つに、樹形図を描くという手法があります。

中学でもやった通り、樹形図とは1つの選択に対して何通りの選択肢が考えられるかを図で表したものです。

2つのサイコロを転がした際の場合の数

例えば最初に1の目が出たとしたら、2回目の選択肢は図のような6通りになるね。

 

では2回サイコロを転がした際に考えられる全てのパターンは、何通りなのでしょうか。

樹形図を利用して考えてみると、

合計で36通りあることがわかったね。
確かに36通り、言葉だけでもモヤモヤ考えるのはしんどいなぁ。
小春

 

積の法則とはなんだろう。→効率よく数えたい。

ただし樹形図にも弱点があります。

それは

  • とにかく描くスペースが必要。
  • 選択肢が増えるほど、枝分かれが増えて書きにくいし見えにくくなる。

という点です。

要するに選択肢が増えると、描くのに手間がかかるんだよね。

 

そこで、先ほどの樹形図を見て何か規則性がないか考えてみましょう。

 

小春
この樹形図を見ると、1回目にどの目が出ても2回目の出方は等しく6通りだね。
その通り、つまり6通りに分岐するものが6つあるとみなせるので全部で\(6\times6\)通りあるとみなせるね。

 

では次の例題はどうでしょうか。

 

例題2

4人の生徒A,B,C,Dを1列に並べる際、順番の並び方は何通りあるか。

例えばAさんを先頭にした場合、樹形図はこのように描けます。

順列のイメージ

これは先頭がAさんの場合の樹形図。あとこれと同じ樹形図を3つ描く必要があるよ。

 

確かに樹形図ちょっとめんどいなぁ。規則性を探してみればいいんだよね。
小春

 

ではここで規則性を探す際のポイントを見てみましょう。

規則性を探すポイント

枝分かれしているところに着目し、1つの選択肢に対して何通りの枝分かれがあるかを考えよう。

 

まずAから分岐した3つの選択肢。これらはそれぞれ2つに分岐します。

枝分かれに注目

言い換えると、2通りになるものが3つあるってこと。
つまり合計で\(2\times 3=6\)通りあるってことだね。
小春

 

3つの選択肢から分岐した、2つのそれぞれの選択肢は分岐することなく、最後のひとを1通りに決めています。

枝分かれに注目

言い換えると、1通りになるものが2つあるってこと。
つまり合計で\(1\times 2\times 3=6\)通りあるってことだね。
小春

 

そして先頭の選択肢はA,B,C,Dの4通りありましたね。

これはつまり、合計で\(1\times 2\times 3=6\)通りある選択肢が4つあるということです。

樹形図の全貌

よって、

$$1\times 2\times 3\times 4 = 24通り$$

の選択肢があるということがわかりました。

 

このように樹形図の枝分かれに着目すると、結果的に分岐した選択肢の個数を掛けていくと全ての場合の数が得られることがわかります。

これを積の法則といいます。

枝分かれの仕方が規則的である場合にのみ使えるものですが、いちいち樹形図を描かなくても計算で全ての場合の数をモレなく、ダブりなく数えることができます。

 

順列と積の法則の”制限”

例題1のサイコロ問題のように、枝分かれしても選択肢が減らないような樹形図を持つものを『重複(ちょうふく)順列』といい、

例題2の並び方問題のように、枝分かれするたびに選択肢が減るような樹形図を持つものを『順列』といいます。

 

順列は並び方を考えるときによく登場し、その度に

$$4\times 3\times 2\times 1$$

と書くのはめんどいので、

$$4\times 3\times 2\times 1 = 4!$$

と表します。

 

順列は、結局のところ積の法則を満たすようなパターンの『場合の数』をちょっとカッコよく言っただけ

わからなくなったら、樹形図書けば済む話なんですね。

まぁめんどっちいけど・・・。

 

そして、この積の法則には絶対に忘れてはいけない制限があります。

それは『枝分かれの仕方が均等であること』です。

どれも等しく枝分かれしているからこそ、掛け算ができるのであって、そうでない場合は使えません。

 

小春
じゃあ、等しく枝分かれしていない場合はどうするの?
そのときは場合分けをするんだ。詳しくみてみよう。

 

和の法則とはなんだろう。→場合分けして数えてる

ここでは次の例題を考えてみましょう。

 

例題

5枚のカードがあり、それぞれ0,1,2,3,4と書かれている。このうち3枚のカードを並べて、3桁の偶数を作るパターンは全部で何通りか。

 

ここでも最初に樹形図を考えますが、”3桁の偶数”を作るので一の位が偶数であればいいですね。

そこで最初に一の位の選択肢から考えていきます。

 

例えば一の位が0の数を考えると、

3桁の数を作る場合の数

選択肢が4通りに分かれて、それがさらに3通りに分かれているね。
つまり積の法則から、\(4\times 3=12\)通りだね。
小春

 

では一の位が2の場合、4の場合はどうでしょうか。

ここで注意してもらいたいのは、百の位に0を選ぶことはできないという点です。すると、

和の法則を考える

小春
あ・・・、枝分かれが均等じゃない!
その通り。だからここでは積の法則を安易に使うことができないんだ。

 

一の位が2のとき、選択肢の合計は(地道に数えてみると)、9通りです。

同様に一の位が4のときも9通りですね。

 

結論として、3桁の偶数になる場合、

  • 一の位が0のとき→12通り
  • 一の位が2のとき→9通り
  • 一の位が4のとき→9通り

なので、全部合わせて

$$12+9+9=30通り$$

となります。

 

このように枝分かれが均等でない場合、自分が考えやすい場面で場合分けして、あとで一気に足す方法を和の法則といいます。

 

まとめ→『モレなく、ダブりなく』を徹底しよう

最後に今日のまとめをします。

まとめ

  • 場合の数は『モレなく、ダブりなく』数えたいだけ。
  • モレなく、ダブりなく数えるために樹形図が有用。ただ樹形図は描くのがめんどいので↓
  • 枝分かれが均等なら『積の法則』
  • 均等でないなら場合分けして『和の法則』

 

今回例で扱った問題以外にも、実に多くのパターンの場合の数を考えることができます。

その度に意識してもらいたいのは、『モレなく、ダブりなく』数えたいだけということ。

手で数えてもいいけど、数え間違いするでしょ。
効率的に数える、ってのが大事なのね。
小春
その通り。だからこれからも色々な数え方が出てくるよ。

 

これから先には円順列や同じもの順列など、いろんなパターンの問題が登場します。

その度にどこに着目し、どんな規則性があるのかを考えてみてください。

 

以上、「場合の数の意味と和の法則/積の法則の意味」でした。

 

最初の答え
Q.2つのサイコロを投げた時、サイコロの目の出方は何通りあるか。
$$\ $$
1つ目のサイコロの目の出方は6通り。1つ目のサイコロの目の出方に対して、2つ目のサイコロの目の出方は6通りずつ対応する。
つまり、6通りの出方それぞれに6通りの枝分かれがあるので
$$6\times 6 = 36通り$$
$$\ $$
Q.2つのサイコロを投げた時、サイコロの目の和が5、もしくは6となるのは何通りか。
$$\ $$
樹形図を思い浮かべよう。

和の法則 練習問題

  • 【1つ目のサイコロの目が1の時】2通り
  • 【1つ目のサイコロの目が2の時】2通り
  • 【1つ目のサイコロの目が3の時】2通り
  • 【1つ目のサイコロの目が4の時】2通り
  • 【1つ目のサイコロの目が5の時】1通り

よって、全部合わせて9通り

 

 

\今回の記事はいかがでしたか?/

-場合の数, 数A

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