理系微分

【媒介変数表示の微分法】証明と、主な使われ方。暗記ゼロを目指そう!

媒介変数表示の微分法

Today's Topic

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

 

今日は媒介変数の微分について紹介するね。
うぅ、\(x\)も\(y\)もバラバラの動きをするやつだぁ。本当に\(\frac{dy}{dx}\)なんて求まるの?
小春
実はこれも分数と同じように計算するだけなんだ。しかも証明も簡単。
そうなの?じゃあ、しっかりマスターしよっと。
小春

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • $$\left\{ \begin{array}{l} x = \theta - \sin \theta \\ y=1 - \cos \theta \end{array} \right. $$
    の導関数\(\frac{dy}{dx}\)を求めよ。

例題で扱うね!

 

媒介変数表示の微分法

 

共通の変数\(t\)によって\(x,y\)をそれぞれ定義した媒介変数の、導関数\(\frac{dy}{dx}\)は次のように求めることができます。

ポイント

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

 

例題

$$\left\{ \begin{array}{l} x = \theta - \sin \theta \\ 1 - \cos \theta \end{array} \right. $$

の導関数\(\frac{dy}{dx}\)を求めよ。


(解答)

\(\frac{dx}{d\theta} = 1-\cos \theta,\ \frac{dy}{d\theta} = \sin \theta\)より、

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}\\\ &= \frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}\\\ \end{align}

 

 

媒介変数表示の微分法 証明

 

媒介変数表示における微分法は、

を使うことで証明することができます。

 

証明

 

\(x, y \)ともに\(t\)の関数

$$\left\{ \begin{array}{l} x = f(t)\\ y = g(t) \end{array} \right. $$

とする。

 

合成関数の微分法より、

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}\\\ \end{align}

 

ただし\(t=g^{-1}(x)\)だから、\(\frac{dt}{dx}\)が求めにくいね・・・。
あ、逆関数の微分法を使うのね!
小春

 

逆関数の微分法より、

$$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}$$
そう、これなら\(x\)を\(t\)で微分すればいいだけだから、求められるね!

 

よって、

\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{dt}\cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}} \\\ &= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\\\ \end{align}
小春
繁分数の形にまとめればOKだね!

 

媒介変数表示の微分法 使い方

 

媒介変数の微分法を使う場面は、主に2つです!

 

媒介変数表示された方程式の接線を求める

 

媒介変数の微分を使えるようになったことで、基本的にどんなグラフの接線でも求められるようになりました

例題

$$\left\{ \begin{array}{l} x=\cos^3 \theta \\ y=\sin^3\theta \end{array} \right. (0≦\theta≦\pi)$$の\(\theta = \frac{\pi}{3}\)における接線の方程式と、接点の座標を求めなさい。

▼詳しくはこちらで解説

媒介変数の接線
【媒介変数表示されたグラフの接線】を、たったの3ステップで求めよう!

続きを見る

 

媒介変数表示された方程式のグラフを描く

 

また、接線のもつ「未来の増加レベル」の意味を考えると、グラフを描くことができましたね。

つまりこの微分法によって、媒介変数表示された方程式のグラフを正確に描くことが可能になったのです!

 

例題

$$\left\{ \begin{array}{l} x=2\sin\theta \\ y=2\sin2\theta \end{array} \right. (0≦\theta≦\pi)$$のグラフを描け

▼詳しくはこちらで解説

媒介変数表示されたグラフ
【媒介変数表示のグラフ】2階微分は絶対するな!極限を使った超カンタン解答方法

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まとめ

 

媒介変数の導関数を求めること自体は、それほどハードルが高くありません

問題なのはその導関数を問題にどう活かすか、です。

「使い方」で紹介した例題から、媒介変数の微分がどう活躍するか要チェック!

 

証明はこれまでに習得した合成関数・逆関数の微分法だけでOKなので、暗記せずともクリアできるでしょう。

 

微分の意味を知っているあなたが、媒介変数の問題で「あぁ、これ微分できたら便利なのに」と感じるときにご活用ください。

 

以上、「媒介変数の微分法について」でした。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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