【グラフの曲がり方】『グラフを描け』を最速で解くための最強スキルを公開。

楓

さて、今日はグラフの曲がり方について考えていこう！

曲がり方？増減表のときに扱ったカーブのこと？

小春

楓

そう！その最後に増減表の弱点について話したね。今日はその弱点を補う考え方を紹介するよ！

ということは今後、数Ⅲとかでも大事になりそうね。

小春

1階微分の弱点

数Ⅱで学んだ増減表では、カーブする地点で接線の傾きの正負が切り替わることに着目して、グラフのおおよその形を把握することができました。

しかしこの方法には、1つだけとんでもない弱点があるのです。

それは与えられた方程式が未知の場合は、使い物にならないということです。

増減表を元に書いたグラフはこれまで3次関数や4次関数程度ではないでしょうか。

これらはあらかじめグラフの形がわかっているので、増減表を見ておおよそこの形になるだろうと推察すいさつできます。

ですが未知の方程式の場合、同じ増減表ができても、カーブの仕方によって様々なグラフが考えられます。

小春

確かに増減表と一致しているね・・・。

つまり増減表を書いても、どんなグラフになるかわからないというわけ。

楓

グラフの曲がり方は4パターン

そこでまず重要になるのが、一体グラフの曲がり方は何パターンあるのか、です。

結論から言うと4パターン。

それぞれの特徴を見ていきましょう。

楓

ちなみに名前は僕が勝手につけたやつだよ笑

曲がり方を調べる2通りの方法

それでは未知の方程式だけ与えられた場合、2点を結ぶ曲線が上記4パターンのどれに該当するのか調べる方法をご紹介します。

結論から言うと、2階微分するか極限を調べるかの２タイプしかありません。

2階微分を調べる

あるグラフに対して、微分した値、つまり導関数は接線の傾きを表していました。

では2階微分は何を表すのでしょうか。

簡単に言ってしまえば接線の傾きの未来を表します。

2階微分の値が

ということになります。

例えば2階微分の値が正であるとき、曲がり方は次の2つに絞られます。

 

小春

確かに接線の傾きが、どちらも増加しているね。

ここでさらに1階微分の値が正であれば

なので、こちらに絞られます。

一覧で簡単に示すと、このような感じです。

1階微分の符号	$$+$$	$$-$$	$$+$$	$$-$$
2階微分の符号	$$-$$	$$+$$	$$+$$	$$-$$
グラフのカーブの仕方

楓

この表は暗記するのではなく、「なぜそのカーブを表すのか」をしっかりと理解しておこう！

2階微分の値が負のとき、考えうる曲がり方は次の2通り。

1階微分が正なので、

なので、この曲がり方で確定です。

極限を調べる

先ほど曲がり方4つの型を紹介しました。

そのときに接線の傾き\(f’(x)\)が端点\(a\)や\(b\)に近づくとき、どのような極限値になるのかを同時に記載しましたね。

要はこの極限を調べれば、曲がり方はわかります。

具体的な問題で見てみましょう。

小春

必ずしも\(0\)か\(\infty\)なわけではないんだね。

そう、ごくたまに\(y=x\)のような具体的な接線に近づくことがあるよ。

楓

よって、次のようなことがわかる。

よってグラフは次のようになる。

小春

ほんとだ！原点付近はほぼ\(y=x\)と重なるね！

2つの手法の使い分けかた

この2つの手法には、それぞれ適した場面があります。

【2階微分を使う手法】

• 変曲点のあるグラフを描く
• 極限を求めようにも複雑で、微分したほうが早い

特に、変曲点と呼ばれる曲がり方が突然変わる点は、2階微分の方が求めやすいということを押さえましょう。

楓

極限を使う方法だと、この変曲点の存在に気づけないんだよね。

【極限を使う手法】

• 極限の計算の方が、2階微分より手間でない
• 媒介変数表示のグラフを描く

特に媒介変数表示で表されたグラフは、この極限を使う手法の方が圧倒的に早く、簡単です。

2階微分を使ってできないことはないですが、恐ろしくめんどくさい微分をする必要があります。

楓

「できること」と、「していいこと」は別！効率的な手法を選びましょう！

まとめ

楓

最後にまとめをしましょう。

今回はグラフの曲がり方という、みんな知らないけど超重要な観点についてお話ししました。

この感覚が身についていると、「グラフを描け」問題はマジで簡単になります。

公式暗記や小手先だけのテクニックではなく、本当の意味をしっかり理解しておきましょう。

以上、「グラフの曲がり方」についてでした。