理系微分

【陰関数の微分法】カンタン3ステップ。効果的な使い方と具体例

Today's Topic

陰関数$$f(x,y)=0$$を微分するためには、両辺微分して、合成関数の微分法を使えば良い。

 

小春
楓く〜ん、陰関数って不気味なのに、微分法までやるの?!
あー、まぁ見た目はグロいね。でも陰関数の微分法は、一回経験しておけば大丈夫!
小春
ほんと?わかりやすく教えてね!

 

この記事を読むと、この問題がわかる!

  • 陰関数$$x^2+y^2-1=0$$を微分せよ。
  • 陰関数$$f(x,y)=y^2-x^2\left(4-x^2\right)=0$$の導関数\(\frac{dy}{dx}\)を求めよ。

例題と最後で答えを出すよ!

 

 

陰関数の微分法のコツ→合成関数の微分法を適用

 

例題を通して、具体的な手法を学んでいきましょう!

たったの3ステップでOK!

 

例題

陰関数\(f(x,y) = x^2 + y^2 -1 = 0\)の\(x=\frac{1}{2}\)における微分係数を求めよ。

 

STEP1. 両辺を\(x\)で微分

 

両辺を\(x\)について微分すると、

(左辺)
\begin{align} \frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2 -1\right) &= 2x +\color{red}{ \frac{d}{dx}y^2} +0\\\ \end{align}
小春
\(y^2\)は\(x\)で微分できないね・・・。

 

STEP2. 合成関数の微分法を用いて、\(\frac{d}{dx}f(y)\)を解決

 

ここで合成関数の微分法より、

\begin{align} \color{red}{ \frac{d}{dx}y^2} &= \frac{d}{dy}y^2 \cdot \frac{dy}{dx} \\\ &= 2y\cdot \frac{dy}{dx}\\\ \end{align}

 

STEP3. \(\frac{dy}{dx}について解く\)

 

右辺を微分すると0。STEP2も併せて考えると、

$$2x + 2y\cdot \frac{dy}{dx} = 0$$

 

これを \(\frac{dy}{dx}\)について解くと、

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

これで陰関数の微分はOKです。

 

あとは微分係数を求めるために、\(x=\frac{1}{2}\)を代入してあげましょう。

\(x=\frac{1}{2}\)のとき、\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)

 

よって、\(x=\frac{1}{2}\)のときの微分係数は

\begin{align} -\frac{x}{y} &= -\frac{\frac{1}{2}}{\pm \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{dy}{dx} \\\ &= \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\\\ \end{align}
小春
繁分数の計算をすれば、あっという間に出せるね。

 

ところで、この陰関数は円の方程式を陰関数表示したものですね。

つまりこの微分係数がわかったことで、図のように\(x=\frac{1}{2}\)のときの円の接線の傾きがわかりました。

円の接線の方程式

 

陰関数の微分でやってはいけないこと

 

陰関数の微分の問題が出題されたとき、一番やってはいけないこと。

それは陽関数表示しようと試みることです。

陰関数についての記事でも扱いましたが、基本的に陰関数は陽関数表示することが困難、というより不可能です。

 

先ほどの例題は確かに

$$y = \pm \sqrt{1-x^2}$$

と陽関数表示することは可能です。

 

では、次のような陰関数はどうでしょうか。

 

例題

$$f(x,y) = x^3y+x ^2 y^2 -y = 0$$

 

小春
いや、しんどい・・・。というかできるの・・・泣
さぁね。陽関数にしたいと思わないからどうでもいいや。

 

合成関数の微分法をマスターしてさえいれば、今回の陰関数の微分もそれほど難しくはないですよね。

 

変に陽関数表示にしてから微分という、危ないしできるかもわからない手法を使うよりも、陰関数の微分法を使ったほうが安心ですね。

 

まとめ

最後にまとめます。

 

まとめ

陰関数を微分するためには、

  1. 両辺を\(x\)で微分し、
  2. \(\frac{d}{dx}f(y)\)を合成関数の微分法を使って\(\frac{d}{dy}f(y)\cdot\frac{dy}{dx}\)の形にし、
  3. \(\frac{dy}{dx}\)について解けば良い。

 

数Ⅲの複雑な微分法をこれまで見てきましたが、

結局、合成関数の微分法さえできればなんとかなるんじゃね

と思ったあなた。えらい、出世します。

 

陰関数の問題自体は頻出するわけではありませんが、おまけ程度に頭の片隅に入れておきたいですね。

 

以上、「陰関数の微分法について」でした。

 

チェック問題

 

例題

陰関数$$f(x,y)=y^2-x^2\left(4-x^2\right)=0$$の導関数\(\frac{dy}{dx}\)を求めよ。

 

両辺\(x\)について微分すると、

(左辺)

\begin{align} \frac{d}{dx}y^2-\frac{d}{dx}\left\{x^2(4-x^2)\right\} &= \underbrace{\frac{d}{dy}y^2\cdot\frac{dy}{dx}}_{合成関数の微分法} - \underbrace{2x(4-x^2)-2x^3}_{積の微分法}\\\ &= 2y\cdot\frac{dy}{dx}+4x(x^2-2)\\\ \end{align}

(※見切れている場合はスクロール)

 

(右辺)は0なので、

$$2y\cdot\frac{dy}{dx}+4x(x^2-2) = 0$$

 

\(y\neq 0\)として\(\frac{dy}{dx}\)について解くと、

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x(x^2-2)}{y}$$

 

 

ちなみに陰関数\(f(x,y)=0\)を陽関数表示してみると、

$$y = x\sqrt{4-x^2}$$

となるので、

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x(x^2-2)}{ x\sqrt{4-x^2}}$$

と表すこともできます。

ただし、\(x\neq 0,\pm 2\)であることに注意!

\今回の記事はいかがでしたか?/

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