対数 数Ⅱ 関数

対数関数 攻略の6ポイント→値の増え方と指数関数に着目

Today's Topic

対数関数\(y=\log_a x\)は、

  1. 指数関数に直して考えるとわかりやすい。
  2. 底\(a\)が1以下の小数か、1以上か場合分けして考える。
  3. 底の値によらず、必ず点\((1,0)\)を通る。
  4. \(y\)軸を漸近線にもつ。
  5. 指数関数とは、逆関数の関係にある。
  6. \(x\)が増えても、\(y\)の値がほとんど増えない。

 

小春
対数関数って、いろいろ条件があって覚えにくいよぅ泣
実は対数関数は、指数関数と比較して考えると非常にわかりやすくなるんだ。
小春
そういえば、対数って指数の決まりをもとに考えるんだったね。
その通り。今回は指数のルールから、「なぜ対数でそのルールがあるのか」を重視しながら、重要な性質や条件を見ていくよ!

 

この記事を読むと、この意味がわかる!

  • 対数関数の基本性質
  • 指数関数との関係性

 

対数関数のグラフ

 

対数関数\(y=\log_a x\)は、指数関数をベースに考えています。

 

そしてその指数関数は、便宜上

指数関数\(y=a^x\)について

\(0<a<1\)もしくは、\(1<a\)のときのみ考える

ため、対数関数も同様に、\(0<a<1\)もしくは、\(1<a\)のときのみを考えます。

 

なぜ指数関数が\(0<a<1\)もしくは、\(1<a\)のときのみ考えるのかは、指数関数の記事を参照してね!

 

加えて、対数と指数の関係を考えると

\(y=\log_a x  \iff a^y = x\)

であることから、\(x\)は正の値しか取りません。

小春
正の数\(a\)を何乗しても、負や0にはならないからね。
これを真数条件というよ。

 

以上、対数関数\(y=\log_a x\)において

  • 底\(a\)は\(0.〜\)もしくは、1以上の値
  • 真数\(x\)は負の値にはならない→第1、第4象限だけにグラフが描ける

という2点に注意すると、対数関数のグラフは場合分けにより

  • 底が0.〜のとき
  • 底が1より大きい数のとき

の2つ描けることがわかります。

 

それじゃあ、実際に描いてみるよ!

 

\(0<a<1\)のとき

小春
\(a\)の値が0.〜のとき、\(x\)が大きくになるに従って、グラフは下に降りていくんだね。

 

\(1<a\)のとき

\(a\)の値が1よりも大きいとき、\(x\)が大きくになるに従って、グラフは上に登っていくよ。

 

対数関数のグラフ|4つの重要性質

ここでは、対数関数の覚えておきたい4つの性質を押さえましょう。

 

必ず1を通る

2つの対数関数

  • \(y=\log_{\frac{1}{2}} x\)
  • \(y=\log_2 x\)

を同時に描いてみると、このようになります。

底の数によらず、必ず1を通ることがわかるね。

 

これは対数の定義を思い出してもらえば、当然のことです。

 

\(y=\log_a x  \iff a^y = x\)

を思い出してください。

 

どんな\(x\)の値でも成り立つように拡張した指数法則では、\(y=0\)のとき、必ず\(x=1\)になる(と定義する)のでしたね。

小春
つまり、指数法則の定義から、\((1,0)\)を通るのは当たり前のことなのね。

 

\(x\)が正のときのみ考え(真数条件)、漸近線(ぜんきんせん)がある

 

またまた

\(y=\log_a x  \iff a^y = x\)

を思い出してください。

 

底\(a\)の値が正のときのみ、指数関数/対数関数を考えることができ、

正の数\(a\)を何乗しても、正の数にしかならない

という、ムチャクチャ当たり前なことから、\(x>0\)のときしか考えません。

 

では、\(x\)の値が0に近づくとどうなるのでしょうか。

グラフを見ると簡単で、\(y\)軸に近づきますが、一致することや超えることはありません。

小春
どちらグラフも\(y\)軸に近づいてはいるけど、絶対に交わらないのね。
小春
(交わってるように見えるけど・・・)

 

ここで\(a^y = x\)について

  • \(a=\frac{1}{2}\)
  • \(a=2\)

のときを考えてみましょう。

 

\(a=\frac{1}{2}\)のとき
$$\left(\frac{1}{2}\right)^y=x \iff 2^{-y}=x$$

となることから、\(x\)の値が0に近づく(どんどん小さくなる)とき、\(y\)の値はどんどん大きくなります。

底が0<a<1の時、グラフはxが小さくなるほど上昇 

小数を何回もかけるほど、値は小さくなるもんね。

 

\(a=2\)のとき
$$2^{y}=x$$

\(x\)の値が0に近づいて0.〜と表されるとき、(有理数であれば)分数で\(\frac{1}{ナントカ}\)と表現できます。

 

この\(\frac{1}{ナントカ}\)を表現するためには、指数\(y\)の値は負となりますね。

そのため、\(x\)の値が0に近づくと、\(y\)の値は次第に小さくなります。

底が1<aの時、グラフはxが小さくなるほど下降

 

 

ただどちらの場合も、\(x\)が0になることは決してありません

小さな数を何乗しても、0になることはないからです

そのためどちらも\(y\)軸(\(x=0\))に触れることはありません。

 

ちなみに、この触れてるようだけど、どんなに近づいても決して触れることがない線のことを漸近線(ぜんきんせん)といいます。

 

指数関数の逆関数

 

逆関数自体は数Ⅲで登場しますが、指数対数の関係性がよくわかるので知っておくといいでしょう。

参考逆関数とは?グラフから考える『入れ替える』意味とその性質

 

対数関数\(y=\log _a x\)は

\(y=\log_a x  \iff a^y = x\)

であることから、指数関数\(y=a^x\)と見比べてみると、ちょうど\(x\)と\(y\)を入れ替えた関係になっていることがわかります。

逆関数である証拠だね。

 

実際、2つのグラフを\(a=2\)として描いてみると、\(y=x\)を軸に線対称となっています。

『\(y=x\)を軸に線対称となる』は逆関数の重要性質だったね。

 

yの増え方がかなり遅い

 

グラフからもわかる通り、

対数関数\(y=\log_a x\)は、\(x\)の値が大きくなると、

  • \(0<a<1\)(\(a\)の値が0.〜)のとき、\(y\)の値はどんどん小さくなる。
  • \(1<a\)(\(a\)の値が1よりも大きい)とき、\(y\)の値はどんどん大きくなる。

という性質があります。

対数関数の値の増え方

 

しかし、この\(y\)の値の変化はかなり遅いです。

例えば\(\log _2 x\)において、計算機を使うと

\(x=100\)のとき、\(\log _2 100=6.64\cdots\)
\(x=1000\)のとき、\(\log _2 1000=9.96\cdots\)
\(x=10000\)のとき、\(\log _2 10000=13.28\cdots\)

のように、\(x\)が10倍されていっても、4程度しか増えていません。

 

ポイント

指数関数は\(x\)が1増えると爆発的に値が上昇するのに対して、対数関数はほとんど増えない。

 

まとめ

対数関数のまとめ!

 

まとめ

対数関数\(y=\log_a x\)は、

  1. 指数関数に直して考えるとわかりやすい。
  2. 底\(a\)が1以下の小数か、1以上か場合分けして考える。
  3. 底の値によらず、必ず点\((1,0)\)を通る。
  4. \(y\)軸を漸近線にもつ。
  5. 指数関数とは、逆関数の関係にある。
  6. \(x\)が増えても、\(y\)の値がほとんど増えない。

 

対数関数基本的に指数関数との比較や、上記6つの性質がわかっていればそれほど難しくありません。

だからこそ、出題者は複雑な形に見える問題を作るわけですが、対数の演算とグラフを思い浮かべることができれば、全然乗り切れます。

わからなくなったら、指数関数に戻す。これが鉄則!!!

 

以上、「対数関数について」でした。

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