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\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}





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合成関数って、結局なんなんですか?要点だけを徹底マスター!
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この記事を読むと・・・
- 合成微分のしたいことがわかる!
- 合成微分を簡単に計算する裏ワザを知ることができる!
合成関数講座|合成関数の微分公式


まずは、合成関数を微分するとどのようになるのか見てみましょう。
合成関数の微分
2つの関数y=f(u),u=g(x)の合成関数f(g(x))をxについて微分するとき、微分した値\frac{dy}{dx}は
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}
と表せる。




合成関数の微分法のコツ
はじめにコツを紹介しておきますね。
合成関数の微分のコツ
合成関数の微分をするためには、
- 合成されている2つの関数をみつける。
- それぞれ微分する。
- 微分した値を掛け合わせる。
の順に行えば良い。
それではいくつかの例題を見ていきましょう!
例題1
例題
合成関数y=(2x+1)^3を微分せよ。
これはy=u^3, u=2x+1の合成関数。
よって


例題2
例題
合成関数y= \frac{1}{\cos x}を微分せよ。
これはy=u^{(-1)}, u=\cos xの合成関数。
よって
例題3
例題
合成関数y= \log \left({3x^2+1}\right)を微分せよ。
これはy=\log u, u=3x^2+1の合成関数。
よって
合成関数の微分法の証明
2つの関数y=f(u), u=g(x)を考えます。
合成関数y=f(g(x))をxで微分した\frac{dy}{dx}を、導関数の定義から証明していきますね。
しかしこのままだと意味が分からないので、次のような意図的な変形を施します。
(※見切れている場合はスクロール)
ポイント
式\frac{A}{B}について考えるとき、
\frac{A}{C}\cdot\frac{C}{B}
のように、無理やりCを作ることで式が考えやすくなることがある。


この変形により、リミットを分配してあげると
(※見切れている場合はスクロール)
となります。
u=g(x)なので、
が示せました。








合成関数講座|まとめ
最後にまとめです!
まとめ
- 合成関数f(g(x))の微分を考えるためには、合成されている2つの関数y=f(t),t=g(x)をそれぞれ微分してかければ良い。
- 外側の関数y=f(t)の微分をした後に、内側の関数t=g(x)の微分を掛け合わせたものともみなせる!


以上のように、合成関数の微分は合成されている2つの関数を見破ってそれぞれ微分した方が簡単に終わります。
今後重要な位置を占めてくる微分法なので、ぜひ覚えておきましょう。
以上、「合成関数の微分公式について」でした。