サインコサイン 関数

【三角関数基礎まとめ】暗記0のサインコサイン!本質から使い道まで徹底解説

こんなあなたに読んでほしい!

「サインコサインがとにかく嫌い!暗記多いしワケワカメ・・・」  

「ちゃんと勉強したいけど、問題集解いても意味わかんない。」

 

この記事では、僕が理転した際に得た『暗記0でも理解できるサインコサイン』について書いています。
暗記0!?ほんとにそんなことできるの?
小春

 

サインコサインで暗記が登場する理由、それは本質をすっ飛ばすから。楽しようとして、実際はかなり遠回りしてます。

本質を理解するのに時間はそれほどかからないので、まずはサインコサインがどんな”道具”なのかを理解するところから始めていきましょう!

 

今回は、自然と『三角関数力』が上がるように、3つのステップに分けて三角関数の基礎を身につけていきましょう!

  •  
    STEP1
    サインコサインの基礎力を作る
    サインコサインという”道具”が作られた経緯から、その本質を理解します。
  •  
    STEP2
    サインコサインを使いやすくする
    便利な”道具”のサインコサインを、もっと使いやすくするための公式を紹介します。暗記は必要ありません。
  •  
    STEP3
    サインコサインを応用する
    より発展的な問題に応用できるように、様々な公式をつなぎ合わせて新しい公式を作ります。ここまでくると、もはや暗記するのはしんどいです。

 

 

STEP1:わかりやすいサインコサインの基本 まとめ

三角関数 基本をわかりやすく

 

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    STEP1
    サインコサインの基礎力を作る
    サインコサインという”道具”が作られた経緯から、その本質を理解します。
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    STEP2
    サインコサインを使いやすくする
    便利な”道具”のサインコサインを、もっと使いやすくするための公式を紹介します。暗記は必要ありません。
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    STEP3
    サインコサインを応用する
    より発展的な問題に応用できるように、様々な公式をつなぎ合わせて新しい公式を作ります。ここまでくると、もはや暗記するのはしんどいです。

サインコサインの意味を理解しよう!

サインコサインの考え方自体はとてもシンプル。

しかしその考え方だけをすっ飛ばして、公式の暗記に頼ると、理解も使い方も間違えてしまいます

まずはサインコサインの本質から探っていきましょう。

 

 

この記事ではサインコサインがどのようにして生まれたか、その本質は何かをまとめています。

【中学生でもわかった】サインコサインとは?公式を暗記しなくても、感覚でわかる!

続きを見る

 

タンジェントの意味を理解しよう!

サインコサインがわかると、タンジェントはおまけです笑。

タンジェント系の公式もサインコサインから導出したほうが早いので、タンジェントにどういう意味が込められているかを理解してください。

公式なんて後回し!!

 

この記事ではタンジェントの意味、使い方についてまとめています。

【秒速で理解できる】タンジェントとは?計算の仕方や公式、求め方の意味など感覚で理解しよう!

続きを見る

 

度数法(〜度)から弧度法(〜rad)に切り替えるメリットを理解する

またサインコサインは度数法で考えるよりも、弧度法と呼ばれる表記のほうがカンタンです。

角度の単位が\(45^{\circ}\)から\(\frac{\pi}{4}[rad]\)になるよ!

 

なぜカンタンなのかも含めて、さらっと理解してしまいましょう。

小春
そんなに難しい話じゃなかったね。

 

この記事では弧度法についてまとめています。

弧度法(ラジアン)って何?30度がどうしてπ/6なの?→180°を作ればOK

続きを見る

 

サインコサインのグラフを描けるようになる!

基礎力の最後はサインコサインのグラフについて。

”平行移動”が理解できていれば、全く難しくない内容ですが、問題で不意打ちくらうと案外迷ってしまう人が多いと思います。

まずは平行移動を理解して、あとはグラフを眺めればOKです。

 

この記事では平行移動の考え方についてまとめています。

平行移動のやり方と公式の意味→符号を入れ替えて書き換えるだけで、グラフの問題がスラスラ解ける

続きを見る

この記事ではサインコサインのグラフをカンタンに描くためのコツをまとめています。

【たった3つのグラフを眺めるだけ】サインコサインのグラフを完璧に描くコツ→係数の能力を把握する

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STEP2:サインコサインをもっと活用する公式 まとめ

三角関数の重要公式

 

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    STEP1
    サインコサインの基礎力を作る
    サインコサインという”道具”が作られた経緯から、その本質を理解します。
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    STEP2
    サインコサインを使いやすくする
    便利な”道具”のサインコサインを、もっと使いやすくするための公式を紹介します。暗記は必要ありません。
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    STEP3
    サインコサインを応用する
    より発展的な問題に応用できるように、様々な公式をつなぎ合わせて新しい公式を作ります。ここまでくると、もはや暗記するのはしんどいです。

イメージで突破できる三角関数の変換公式

サインコサインは、グラフからもわかるとおり、周期が異なるだけで基本的な形は全く同じです。

そのためサインとコサインは互いに変換することが可能です。

 

小春
変換して何かいいことあるの?
サインとコサインバラバラの式よりも、コサインだけでまとまっている式の方が扱いやすいよね。
小春
なるほど、式を整理するのに役立つんだね。

 

しかし残念なことに、この変換公式はよく暗記として扱われがちです。

図を見れば公式を覚えなくても、ノートの端っこにマル描けばすぐわかる内容なので本質をチャチャっと理解してしまいましょう!

 

この記事では、サインコサインの変換公式についてまとめています。

【忘れても大丈夫!】サインコサインの変換公式、覚え方とコツ→単位円を描こう!

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絶対に押さえておきたい!三角関数の加法定理

三角関数をより発展させるために重要なポイントとなるのが、この加法定理。

この加法定理が分かっているだけで、サインコサインの問題を解ける幅がグンと広がります。

 

特にこの先登場するような、実践的な公式たちはほとんど加法定理から導出されるよ!
加法定理は、サインコサインをもっと使いやすくするための公式を生み出してくれたんだね!
小春

 

この記事では加法定理の使い方・覚え方についてまとめています。

加法定理の使い方とイメージしやすい証明→覚えることは2つだけ!

続きを見る

 

加法定理から発展した神公式:2倍角の公式

加法定理を利用して生み出されたのが、2倍角の公式です。

2倍角の公式は加法定理を理解する、いい練習問題になるだけでなく、これまで未知だったサインコサインの値を導出できるようになる、まさにメリットづくしの公式。

 

逆にサインコサインの問題を解く上で、加法定理、2倍角の定理は超必須の知識とも言えます。

暗記に頼ったところで使う場面を知らなければ、全く使い物になりません。

そこで、実践的な使い方を考えてみましょう。

 

この記事では実践的に使える2倍角の公式の考え方についてまとめています。

【確実に解が求まる】2倍角の公式の効率的な覚え方→『加法定理+ナニカ』

続きを見る

 

STEP3:三角関数の計算を、より発展的に使いこなす

 サインコサインの2倍角・半角・積和・和積の公式

 

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    STEP1
    サインコサインの基礎力を作る
    サインコサインという”道具”が作られた経緯から、その本質を理解します。
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    STEP2
    サインコサインを使いやすくする
    便利な”道具”のサインコサインを、もっと使いやすくするための公式を紹介します。暗記は必要ありません。
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    STEP3
    サインコサインを応用する
    より発展的な問題に応用できるように、様々な公式をつなぎ合わせて新しい公式を作ります。ここまでくると、もはや暗記するのはしんどいです。

三角関数の積分で必須:半角の公式

ここからは三角関数単体の問題ではなく、積分や複素数など、他の単元と絡み合うサインコサインをよりわかりやすくしたり、問題を解くための公式が並びます。

 

2倍角の公式は主に積分で使われるテクニックで、

$$\int \cos^2x dx$$

が代表的な例題です。

 

小春
パッと見、カンタンそうなのに、応用テクニックの半角の公式が必要なんだね・・・。
そう、いざって時にヒラメくようにしておきたいよね。

 

この記事では、半角の公式の使い方と使うシーンについてまとめています。

【半角の公式】の効率的な覚え方と、証明、使える場面→次数を調整したい

続きを見る

 

応用問題で突如出てくる:和積と積和の公式

和積の公式、積和の公式の登場頻度自体はそれほど高くありません。

数Ⅲの積分の問題などで、『どうしてもゴリ押しで解きたい場面』の際に使います。

 

ただこの公式には

  • 合計8つと数が多い。
  • ここで使うのか!とひらめく方が難しい

という難点があり、覚えるだけ時間の無駄です。

 

そこで僕がオススメするのは、自分で導出するという経験を何回かしておくこと!

 

覚えても利益は薄いですが、作り方さえ知っておけばこっちのもの。

  • 8つの公式を覚えなくてもいい
  • 式の形からなんとなく和積・積和の公式を使いそうな場面がわかる

という利点があります。

小春
ただ暗記するだけだと結局覚えてないもんね・・・。
この公式の重要な着眼点を押さえておこうってことだね!

 

この記事では、和積・積和の公式を上手に使うための着眼点についてまとめています。

【積和の公式・和積の公式】証明と覚え方、使う場面→出題頻度は低いので、自分で導く

続きを見る

 

サインコサインを統一する:三角関数の合成

サインコサイン最後の山場が、三角関数の合成です。

変換公式の際も言いましたが、サインとコサインは基本的な形は同じです。

小春
違うのは周期だけだったね!

 

変換公式は

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\sin\theta$$

のような計算をより便利にするためのツールでした。

 

一方でこの合成とは、

$$\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$$

のように、サインコサインの2つを1つのサイン、もしくはコサインにまとめて

  • グラフを考えやすくする
  • 微積などの計算をしやすくする

ためのツールです。

 

三角関数の合成には、ちょっとコツがいるからそこを重点的に押さえておこう!

 

この記事では、三角関数の合成をするコツと使う場面についてまとめています。

【三角関数の合成】やり方のコツと意味を徹底解説!複雑な三角関数の問題をラクにしよう!

続きを見る

 

三角関数は基礎も応用も、超頻出!なぜなら・・・

以上が、サインコサインをある程度の理解度までレベルアップできる、3つのステップです。

 

サインコサインは奥が深い・・・というわけではなくただ単純に『非直線的な動き』を解明するのにかなり便利というだけです。

世の中には直線的な動きはあまりなくて、むしろ非直線的な動きの方が多いんだよね。

 

非直線的な動きで溢れた世界、それはつまりサインコサインを使う問題がじゃんじゃか登場するということです。

小春
う、うへぇ・・・。

 

ただ忘れてはいけないことがあります。

それはサインコサインは、結局は(便利な)道具でしかないということ。

問題を解く時に、あなたがしっかりと

『こういう変形がしたい』

と明確な意図を持って、サインコサインを使えるようになれば、きっと素晴らしいツールになってくれます。

 

この記事を教科書のように何度も見返して、是非サインコサインを確実に扱えるようになってくださいね!

ブックマークしておくと、わからない時にすぐ見れるよ!

\今回の記事はいかがでしたか?/

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