サインコサイン 数Ⅱ

【たった3つのグラフを眺めるだけ】サインコサインのグラフを完璧に描くコツ→係数の能力を把握する

Today's Topic

\(y=a\sin\left(kx+p\right)\)のブラフを描くためには、3つの基本をおさえれば良い。

 

小春
楓くん、複雑なサインコサインのグラフが全然描けないの。。。
確かに波を描くし、捉えにくいところもあるけど、3つのグラフを眺めれば簡単にわかるよ?
小春
眺めるだけ?
そう、眺めるだけ。各係数や文字によって、グラフにどんな影響があるかを眺めると、かなり特徴的なんだ!
小春
じゃあ今日は、その特徴を教えて欲しいな!

 

こんなあなたへ

「\(2\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\)のグラフってどういう意味・・・」  

「サインコサイン のグラフが複雑すぎて、全く書けない・・・」

 

この記事を読むと、こんな問題が解ける!

  • \(y=2\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\)のグラフを描け。
  • \(y=2\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\)のグラフの周期と、最大・最小値を求めよ。
途中、例題として扱うよ!

 

三角関数を一気に理解したい方への記事は、こちらにまとめてあります。

 

サインコサインのグラフ|【基本形】\(y=\sin x,y=\cos x\)のグラフ

まずは基本形のグラフを見てみよう!

 

サインコサインの定義

図のような、斜辺1、\(\angle BOA = x\)の直角三角形を考えます。

円周上の点Aの

  • \(x\)座標を\(\cos x\)
  • \(y\)座標を\(\sin x\)

と表すということを意識しておくと、グラフを区別することがカンタンになります。

について復習したい人はこちらを参考にしてください。

 

サイン、コサインのグラフは次のように、波を描きます。

\(y=\sin x\)のグラフ

 

小春
\(x=0\)のとき、点Aの\(y\)座標は0だからサインのグラフは原点スタートなんだね。

 

\(y=\cos x\)のグラフ

一方、\(x=0\)のとき、点Aの\(x\)座標が1となることから、コサインのグラフは\((0,1)\)スタートなんだ。

 

サインコサイン のグラフの特徴は、次のようなことが挙げられます。

  • 波を描く
  • サインとコサインのグラフは、\(x\)軸方向に\(\frac{\pi}{2}\)ズレているだけ
  • 最大値は(単位円の半径の)1である
  • 山と谷2つで、1周期という
    サインカーブの周期の定義

 

ここからは実際にグラフを見ていきますが、サインとコサインのグラフは\(\frac{\pi}{2}\)ズレているだけで、形は全く一緒。

なので掲載するグラフはサインだけにしておきます。コサインのグラフは頭の中で\(\frac{\pi}{2}\)ズラしてあげてください。

サインコサインのグラフ|\(y=k\sin x,y=k\cos x\)のグラフ

じゃあ基本形のグラフを、少しずつ変形させていくよ。

 

まずはグラフから見ていきます。

\(y=\sin x\)のグラフ\(y=3\sin x\)のグラフを比較してみましょう。

定数倍されたサインカーブ

 

周期や、最大値を取る\(x\)座標などは変化していません。

ところがグラフの形が、より大きな波を描いていることがわかります。

小春
\(y=3\sin x\)の最大値は3になっているね。

 

このように、

  • \(y=k\sin x\)
  • \(y=k\cos x\)

のグラフは、元の\(y=\sin x\)や\(y=\cos x\)のグラフを、縦に\(k\)倍に大きくしたグラフを描く特徴があります。

 

つまり

ポイント

\(y=k\sin x\)や\(y=k\cos x\)のグラフは、

波の高さをk倍に変える

能力がある!

ということがわかります。

 

サインコサインのグラフ|\(y=\sin\left(x+a\right),y=\cos\left(x+a\right)\)のグラフ

小春
まずはグラフを見てみるよ!

 

\(y=\sin x\)\(y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\)を比較してみましょう。

平行移動したサインカーブ

グラフ全体が、\(x\)軸方向に\(-\frac{\pi}{2}\)だけズレました。

 

これは\(y=\sin x = f(x)\)として捉えると理解しやすいです。

このとき、\(y=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\)は\(y=f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\)と表せます。

 

ここで思い出して欲しいのは、平行移動の規則。

ポイント

\(y=f(x)\)のグラフを\(x\)軸方向に\(+p\)、\(y\)軸方向に\(+q\)だけ平行移動したグラフの方程式は

$$y-q=f(x-p)$$

と表せる。

平行移動について復習したい人はこちらを参考にしてください。

 

つまり、\(y=f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\)と表せる\(y=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\)は、

\(y=\sin x = f(x)\)を横に\(-\frac{\pi}{2}\)だけ平行移動すると言っているのです。

小春
平行移動と考えれば、それほど難しくないね!

 

よって

ポイント

\(y=\sin\left(x+a\right),y=\cos\left(x+a\right)\)のグラフは、

グラフを横に\(-a\)だけズラす

という効果がある

ということがわかります。

 

サインコサインのグラフ|\(y=\sin nx,y=\cos nx\)のグラフ

最後は\(x\)を\(n\)倍したグラフを見てみよう。

 

例として\(y=\sin x\)と\(y=\sin 3x\)のグラフを、\(x\)の係数に着目して比較してみましょう。

周期が定数倍されたサインカーブ

 

図を見ると、0から\(\pi\)の間に、

  • \(y=\sin 1x\) は山が1つ
  • \(y=\sin 3x\)は山が3つ

あることがわかります。

 

この発見から、

  • \(y=\sin x\)は1周期が\(2\pi\)
  • \(y=\sin 3x\) は1周期が\(\frac{2\pi}{3}\)

と言えますね。

小春
1周期は、山2個分だったね!

 

つまり

ポイント

\(y=\sin nx,y=\cos nx\)のグラフは、

  • \(0≦x≦\pi\)間に山を\(n\)個つくる
  • (山の個数が増えることによって、)1周期の区間が短くなる

という効果がある

ということがわかります。

 

サインコサインのグラフ|応用例題

サクサク進みましたが、これまでのことを思い出して例題を解いてみよう。
そんなに難しい話じゃなかった気がする・・・!
小春

 

例題

\(y=2\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\)の最大値と最小値、周期を求めよ。

最大値、最小値のグラフは頭や式で考えるよりもグラフで考えた方がわかりやすいよ。

 

まずはグラフを想像してみることにしましょう。

step
1
波の高さを2倍してみる。

まず\(y=\sin x\)を2倍して、\(y=2\sin x\)のグラフを考えます。

サインカーブを定数倍する

小春
\(y=k\sin x\)は波の高さを変える能力があったね。

 

step
2
\(x\)を3倍してみる。

次に\(x\)の係数を1から3に変更してみましょう。

周期が変わったサインカーブ

\(x\)の係数は、\(0≦x≦\pi\)間の山の個数を変化させる能力があったね。
0から\(pi\)の区間に山が3つになったね!
小春
つまり、1周期が\(\frac{2\pi}{3}\)になったってことさ。

 

step
3
グラフを横にズラしてみる。

最後に平行移動を考えてあげます。

\(y-q=f(x+p)\)のグラフは\(y=f(x)\)のグラフを横に\(-p\)だけ動かすので、\(y=2\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\)のグラフは、\(y=2\sin\left(3x\right)\)グラフを横に\(-\frac{\pi}{4}\)だけズレます。

負の方向に動くことを忘れないでね。

平行移動したサインカーブ

平行移動するときは、原点など、特徴のある点に注目するとわかりやすいよ。
これで完成だね!
小春

 

グラフが想像できてしまえば、あとの問題は楽勝です。

  • 最大値:\(y=2\)
  • 最小値:\(y=-2\)
  • 周期:\(\frac{\pi}{3}\)

はグラフを見たらわかりますね。

 

ここではSTEP1からSTEP3でグラフを描きましたが、順番はどのステップからやっても構いません。

が、平行移動はなるべく最後にやったほうがパパッと終わる気がします。

 

サインコサインのグラフ|まとめ

それでは最後にまとめます。

 

まとめ

  1. サインとコサインのグラフは、\(\frac{\pi}{2}\)ズレているだけで形は同じ
  2. \(y=k\sin x\)や\(y=k\cos x\)のグラフは、波の高さを\(k\)倍する
  3. \(y=\sin\left(x+a\right),y=\cos\left(x+a\right)\)のグラフは、波を横に\(-a\)だけズラす
  4. \(y=\sin nx,y=\cos nx\)のグラフは、0から\(\pi\)の間に\(n\)個の山を生み出す。

 

波の高さや周期、平行移動など、式の中の係数はそれぞれ表現するものが違います。

1つ1つの数字が何を表しているか、しっかり見極めて問題を見てみると、サインコサインのグラフは難しくないでしょ?

慣れてくると、紙の端っこにぺぺっと書いて答えがわかるので、ぜひグラフ力を鍛えてください!

 

以上、「サインコサイン のグラフ」についてでした。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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