サインコサイン 数Ⅱ

【中学生でもわかった】サインコサインとは?公式を暗記しなくても、感覚でわかる!

Today's Topic

\(\sin\theta,\cos\theta\)とはなんなのか。

なぜ\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)が成り立つのか。

 

小春
サインコサインの意味が全くわからないし、何を覚えたらいいかも、何をしているのかもわかんないよぅ泣
サインコサインは、円と直角三角形を一緒に考えると実はそれほど覚えることはないし、当たり前のことしか言っていないんだ。
小春
円と直角三角形?
そう!今日はサインコサインの本質を理解していこう!

 

こんなあなたへ

「サインコサインなんて暗記でしょ?」

「覚える公式が多くて嫌い、何しているかもわかんないし」

 

この記事を読むと・・・

  •  サインコサイン の意味や使い道が、図で簡単にわかる!
  •  サインコサイン の値を暗記しなくても、自分で秒速で求められる!

 

三角関数を一気に理解したい方への記事は、こちらにまとめてあります。

サインコサイン基本講座|【意味を理解しよう】サインは高さ、コサインは横幅

サインコサインには、『三角比』と『三角関数』の2つの捉え方があるんだ。
同じものを、別々の捉え方をしてるってこと?
小春
そう!だけどこの2つのサインコサインの定義はちょっと異なるんだよね・・・
うわぁ、頭の中がごちゃごちゃしそうだなぁ。
小春

 

なので、まずはサインコサインを使いたくなる気持ちを理解していきましょう

理解した上で定義を見てみると、そういうことか!とすぐに理解できるようになります。

小春
ほんとかなぁ〜。
大丈夫、中学2年生も納得したから笑

 

まず、下の図をみてください。

単位円周上の3点

半径が1、中心が原点となっている円です。

この円のことを単位円と言うよ。これから重要になるから、覚えておこう。

 

この単位円上の2点A,Bの座標を求められるでしょうか?

小春
\(A(0,1)\)で\(B(1,0)\)じゃないの?
そうだよ。

 

では点Cの座標を求めてみてください。

小春
・・・・・
小春
・・???????
小春
えぇ〜ん、もうすでにわからないよぅ泣

 

そうですね、点Cの座標なんて分かるはずがありません

小春
あ、わからなくて大丈夫なのね。
要は点Cに関する情報が少なすぎるんだよね。

 

そこで下の図のように、半径1であることと、\(\angle BOC\)に着目します。

単位円上の直角三角形
\(OC=1\)で、\(\angle BOC\)は\(\theta\)とおくよ。

 

するとここに斜辺が1、底辺がOD、高さがCDの直角三角形が出現します。

このとき

ポイント

\(CD=\sin\theta\)

\(OD=\cos\theta\)

サインとコサインのわかりやすい定義図

と表します。

つまり直角三角形の横幅をコサイン、高さをサインと言っているだけ!

 

サインコサイン基本講座|サインコサインの2つの定義

この気持ちを理解した上で、サインコサインの2つの定義「三角比」「三角関数」を見てみましょう。

 

三角比の定義

三角比の定義

直角三角形ABC

\(0<\theta<90^{\circ}\)のとき

$$\cos\theta=\frac{AB}{AC}$$

$$\sin\theta=\frac{BC}{AC}$$

 

小春
あれ、どっちも\(AC\)で割られているよ?
それは斜辺の長さを強制的に1にしたいからだよ!

 

中学校で習った相似の考え方で、3つの辺を全て同じ値で割っても三角形の形は変わりません(大きさは変わるけどね)。この相似の性質を利用して、\(AC,AB,BC\)の3辺を\(AC\)で割ることで、斜辺の長さが1の同じ形の三角形を考えることなります。

直角三角形の相似を考える

サインコサインの本質的な意味は、斜辺が1の直角三角形の高さと横幅。どうしても斜辺が1の直角三角形を作る必要があるわけですね。

 

三角関数の定義

三角関数の定義

単位円周上の1点

\(x\)軸の正の部分を原点中心に、反時計回りに\(\theta\)だけ回転させた半直線\(OC\)と、単位円の交点の座標を\((\cos\theta,\sin\theta)\)とする。

こっちの定義は半径が1、つまり直角三角形の斜辺を、最初から1と定義しているんだね。
こっち定義の方が、より本質的な感じがするね。私はこっちの方が好きかな。
小春

 

この定義における\(\theta\)は、点\(C\)が点\((1,0)\)を出発してできる半直線が作る角度ということになっています。

この点\((1,0)\)には、始点という名前がついています。

 

サインコサイン基本講座|【暗記は必要ない】サインコサインの値

これまでは定義しただけ。具体的なサインコサインの値はまだわかりません。

 

サインコサインの定義がしっかり理解できたところで、皆さんが学校で無理やり覚えさせられるあの値について考えていきましょう。

$$\Large{\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}}$$

 

どうしてこの\(\frac{1}{2}\)という値が出てきたんだと思う?
気分?
小春
・・・・・・

 

実は先ほどの意味解説の場面でも、定義の場面でも必ず登場したキーワードがあります。

それは直角三角形です。

直角三角形といえば、重要な定理があったね。
あ、三平方の定理!!
小春

 

中でも値を求める上で重要なのは、三平方の定理を使って求められる有名三角形の比率です。

有名三角形の辺の比率①

【有名三角形①】

直角三角形の辺の比率

内角が\(90^{\circ},60^{\circ},30^{\circ}\)で構成されている直角三角形\(\triangle ABC\)の辺は、\(BC\)の長さが1のとき\(AC=2,AB=\sqrt{3}\)となる。

 

有名三角形の辺の比率②

【有名三角形②】

直角三角形の辺の比率

内角が\(90^{\circ},45^{\circ},45^{\circ}\)で構成されている直角二等辺三角形\(\triangle ABC\)の辺は、\(BC\)の長さが1のとき\(AC=\sqrt{2},AB=1\)となる。

小春
\(30^{\circ}\)が登場するのは前者の有名三角形①の方だね。

 

そして、サインコサインの定義の中には、「直角であること」と同じくらい重要なポイントがあります。

小春
直角三角形の斜辺が1ってことだね!
その通り!!いつでも「斜辺が1の直角三角形」を意識しておいてね。

 

有名三角形①の斜辺を1にするために、3つ全ての辺に\(\times\frac{1}{2}\)してみましょう。

すると高さが\(\frac{1}{2}\)、底辺が\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)の直角三角形になりますね。

直角三角形の相似関係

 

では、\(\sin30^\circ\)と\(\cos30^\circ\)が意味する場所を考えてみてください。(「サインは高さ、コサインは横幅」を意味するのでした。)

$$\Large{\sin30^\circ=BC=\frac{1}{2}}$$
$$\Large{\cos30^\circ=AB=\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

となりますね。

 

他の覚えさせられる値も、同じように考えると導出できるよ!
こんなに簡単なら、覚えなくても自分で導出できそう。
小春
自分で値を求めることで暗記なんかしなくても求める手順が分かるし、意味もわかるから一石二鳥だよ!

 

サインコサイン基本講座|【2秒で覚えられる】サインコサインの値一覧と覚え方

先ほど紹介した導出方法を用いると、以下の覚えさせられる値は簡単に導出できます。

\(\theta\) \(0^{\circ}\) \(30^{\circ}\) \(45^{\circ}\) \(60^{\circ}\) \(90^{\circ}\) \(120^{\circ}\) \(135^{\circ}\) \(150^{\circ}\) \(180^{\circ}\)
\(\sin\theta\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)
\(\cos\theta\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\)

(見切れている場合はスクロール)

小春
でもなぁ、テストの時とかは導出するよりも、パッと思い出したいけどなぁ。
裏ワザ教えてあげる!

 

この表の値を1つずつ覚えてもいいのですが、表丸ごとワンセットで覚えてしまいましょう。

その覚え方というのは、\(\frac{\sqrt{○}}{2}\)の形で統一するという方法です。

 

実際、統一してみると・・・

\(\theta\) \(0^{\circ}\) \(30^{\circ}\) \(45^{\circ}\) \(60^{\circ}\) \(90^{\circ}\) \(120^{\circ}\) \(135^{\circ}\) \(150^{\circ}\) \(180^{\circ}\)
\(\sin\theta\) \(\frac{\sqrt{0}}{2}\) \(\frac{\sqrt{1}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{4}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{1}}{2}\) \(\frac{\sqrt{0}}{2}\)
\(\cos\theta\) \(\frac{\sqrt{4}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{1}}{2}\) \(\frac{\sqrt{0}}{2}\) \(\frac{\sqrt{1}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{4}}{2}\)

(見切れている場合はスクロール)

サインの分子のルートの中身は0→4→0の順に、コサインの分子のルートの中身は4→0→4の順になっていますね。

小春
覚えやすい!!

 

ちなみに、覚える値が\(0^{\circ}\)とか\(30^{\circ}\)のように決められているのは、三平方の定理で求めることができる角度だから。

\(\sin27^{\circ}\)とか言われても三平方の定理から求めることができないし、綺麗な値でもないのであまり有用性がないんですね。

 

サインコサイン基本講座|サインコサインの公式

なんども言うけど、サインコサインは斜辺が1の直角三角形がルーツとなっているんだ!

 

サインコサインの値は、有名三角形2つの辺の比を元に導出することができました。

ですが直角三角形の重要定理、三平方の定理を満たすことも忘れてはいけません。

内角がどんな構成になっている直角三角形でも、三平方の定理は必ず成立します。

三平方の定理

直角三角形では必ず三平方の定理が成り立つ

どの直角三角形でも、\(BC^2+AB^2=AC^2\)を満たす。

 

つまり、サインコサインにこの考えを適用すると次の式が得られます。

単位円上の直角三角形からサインコサインを考える

図の\(\triangle ODC\)において、\(CD^2+OD^2=OB^2\)。

よって、\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1^2=1\)となるわけです。

ポイント

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)

 

そのほかにサインコサインには

のように、大量に公式があります。

 

ただし、これらは全て覚えるというよりは、理解することが重要です。

それぞれの変形では何が意識されていて、何をするときに適用するのか。そう言ったことを意識してみるようにしてください。

 

サインコサイン基本講座|【いつ使う?】サインコサインの活用場面

結局サインコサインて、何がすごいのよ。

 

サインコサインはこれまでみてきた通り、斜辺の長さ・底辺と斜辺がなす角\(\theta\)さえわかれば、直角三角形の底辺や高さが求められます。

これの恩恵を、数学的な場面でみてみましょう。

 

三角形の面積

三角形の面積を求める公式はご存知ですね?

そう、底辺\(\times\)高さ\(\div2\)です。

では、次の三角形の面積はどのように求められるでしょうか。

適当な三角形
小春
あれ、高さがわからないよ?
サインコサインを使えば、この悩みが解決されるんだ。

 

図のように、頂点から底辺に垂線\(CD\)を下ろしてみましょう。

頂点から垂線を下ろした直角三角形

するとここに、2つの直角三角形\(\triangle ADC,\triangle BDC\)が登場します。

CDが高さに該当しますが、これまでの流れでお分かりの通り、

$$CD=AC\times\sin\theta$$

で求めることができます。

 

小春
なんでAC倍されてるの?
\(\sin\theta\)はあくまで斜辺が1、つまり\(AC=1\)のときの高さを表しているからさ。この図だと斜辺ACが1とは限らないだろ?
小春
なるほど、だからAC倍することで相似な図形を考えているんだね。

 

ポイント

よってどんな三角形の面積でも

$$三角形の面積=\frac{1}{2}\times AB \times AC\times\sin\theta$$

で求められることがわかります。

\(\frac{1}{2}\times 底辺 \times高さ\)って言っているだけだね。

サインコサイン基本講座|まとめ

では今回のまとめです。

 

まとめ

  1. サインコサインは斜辺が1の直角三角形の高さと底辺のこと。
  2. サインコサインの値を求めるためには、有名三角形の比率を考えれば良い。
  3. サインの値を覚えるためには、ルートの中身は0→4→0の順にすれば良い。
  4. コサインの値を覚えるためには、ルートの中身は4→0→4の順にすれば良い。
  5. \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)など、いろんな場面に合わせた変形ができる。

 

サインコサインは、数学を学ぶ上でかなり大事な部分になってきます。公式を覚えるのではなく、理解してしっかり使えるようになってください。

今回のサインコサインの意味をしっかり押さえておけば、問題を解く際に「あれ、お前サインコサイン使うんじゃね?」的な感覚が働くようになりますよ!

 

以上、「サインコサイン基本講座」でした。

\今回の記事はいかがでしたか?/

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