【微分係数】って結局ナニ？導関数との違いや、接線の傾きの重要性を解説します！

Today's Topic

微分係数

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

小春

楓くん、微分係数って結局何を求めた値なの？

微分係数は接線の傾きを表す。けど、重要なのはそこじゃないんだ。

楓

小春

え、そうなの？！

実は微分が数学界で人気なのは、その接線の傾きに超重要な意味があるからなんだ！

楓

小春

じゃあ今日は、接線の意味までしっかり教えてね！

この記事を読むと、この意味がわかる！

微分係数の求め方と、意味
微分係数を使う場面

Contents

1 微分係数とは？
2 微分係数の意味
3 微分係数を使う場面
- 3.1 微分係数は（少し未来の）増加レベルを表す
4 導関数との違い
5 まとめ

微分係数とは？

微分係数は

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

で定義された数。

一般にこれを$f'(a)$と表します。

これは２点A,Bの距離を、どんどん縮めたときの平均変化率を表しています。

小春

ん？どういう意味？

イメージを使って説明していくね。

楓

微分係数の意味

まずは２点A,Bの平均変化率

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

を考えてみましょう。

平均変化率は、実際のところ直線ABの傾きを求めているだけでしたね。

この２点A,Bの距離をどんどん０に近づけて（$h\to0$）みると、直線ABは次のような動きをします。

ご覧の通り、最終的に直線ABは点Aにおける$f(x)$の接線になりました。

ただしこれはあくまで$h\to0$なので、直線ABが点Aにおける接線と完全に一致するわけではありません。

楓

つまり点Aと点Bは超近いけど、重なってはないってことね。

微分係数を使う場面

微分係数を使う目的はただ１つ。

すでに書いたように点Aにおける接線の傾きを求めるためだけです。

小春

接線を求めてどうするの？

そう、実はそこが大事なんだ！！

楓

数学において、微分はかなり重宝されます。

ただ接線の傾きを求めているだけなのに、なぜそれほど重視されるのでしょうか。

その理由は接線の持つ意味にあります。

微分係数は（少し未来の）増加レベルを表す

ここでは微分からちょっと離れて、接線の傾きの意味について考えてみます。

微分係数導出の練習も兼ねて、次の例題をやってみましょう。

例題

関数$y=x^2$上の2点$A(1,1),B(2,4)$における接線の傾きを求めてみよう。

楓

練習がてら、微分係数の定義から考えてみよう

\begin{align} f'(1) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(1+2h+h^2)-(1^2)}{h}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}(2+h)\\\ &= 2\\\ \end{align}

\begin{align} f'(2) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(4+4h+h^2)-(2^2)}{h}\\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}(4+h)\\\ &= 4\\\ \end{align}

このことから、点Aにおける接線の傾きよりも、点Bにおける接線の傾きの方が大きいということがわかりました。