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指数・対数関数の極限を考えるためには、
- \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e
- \lim_{h\to \infty} \left(1+\frac{1}{h}\right)^{h} = e
- \lim_{h\to 0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1
- \lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1
のどれかに帰着させて考えれば良い。
ただし、1^{\infty}不定形の場合は、ネイピア数の定義である公式1、もしくは公式2を使うと良い。
参考【指数関数の極限（基礎）】底に着目すれば暗記ゼロ！実践で使える指数関数の考え方
参考【対数関数の極限（基礎）】実践で使える重要な性質と対数関数の極限の意味
この記事を読むと、この問題が解ける！
- \lim_{n\to\infty} n\left\{\log(n+1)-\log n\right\}
- \lim_{x\to0}\frac{x}{2^x-1}
【覚えるべき公式4選】全てはeの定義に持ち込める！
まず結論から述べると、指数・対数関数の極限で覚えるべき公式は次の4つに限定されます。
ポイント
- \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e
- \lim_{h\to \infty} \left(1+\frac{1}{h}\right)^{h} = e
- \lim_{h\to 0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1
- \lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1
お気づきかもしれませんが、公式1はネイピア数eの定義そのものです。
参考自然対数、ネイピア数とは？なぜあの定義なのか、何が自然なのか。お金の話で超簡単に理解できる！！
そして公式2は、公式1のhを\frac{1}{h}に書き換えた形になっています。
どちらもそのまま計算すると1^{\infty}不定形になりますので、この公式はしっかり覚えておかないと対処できなくなります。
公式3は公式1を使って、公式4は公式3を使って導くことができます。
公式1のネイピア数の定義を用いる。
\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e
両辺に自然対(\log\)をとると、
\log\left( \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}}\right) = \log e = 1
リミットとログは入れ替えることができるので、
\lim_{h\to 0} \log(1+h)^{\frac{1}{h}} = 1
よって、
\lim_{h\to 0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1
\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1
においてt = e^h-1とおくとき、
- h\to0のときt \to 0
- h=\log(1+t)
なので、
\begin{align} \lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} &= \lim_{h\to 0} \frac{t}{\log(1+t)}\\\ &= 1\\\ \end{align}
4つの公式の中で、
- 公式1、公式2：1^{\infty}不定形
- 公式3、公式4：\frac{0}{0}不定形
となっていることに着目すると、次のような使い分けができるようになります。
【使い分けの奥義】1^{\infty}不定形はeの公式を使え！
上記4つの式ですが、実は使い分けのコツがあります。
それは
というものです。
例題
\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x-2}{x}\right)^x
そのまま極限を考えると1^{\infty}となっていますね。
そこでネイピア数の定義である公式1、もしくは公式2が使える形に持っていきます。
h=-\frac{2}{x}とおくと、x\to \infty のときh \to 0なので、
となります。
これでは少々物足りないでしょうから、もう少し複雑な例題も扱ってみましょう。
例題
\lim_{x\to\infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^x
なので、これはそのまま計算すると1^{\infty}の不定形になりますね。
そこで先ほどと同様、h=-\frac{2}{x+1}とおいてみましょう。
すると、
- x\to\inftyのとき、h\to 0
- x = -\frac{2}{h}-1
なので、次のように式変形できます。
このように1^{\infty}不定形の場合はネイピア数の定義に帰着すればいいことが多く、それ以外の不定形は式変形をうまく駆使して\frac{0}{0}不定形に持ち込むことで公式3、4が使えるようになります。
まとめ
それではまとめます。
まとめ
指数・対数関数の極限を考えるためには、
- \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e
- \lim_{h\to \infty} \left(1+\frac{1}{h}\right)^{h} = e
- \lim_{h\to 0} \frac{\log (1+h)}{h} = 1
- \lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1
のどれかに帰着させて考えれば良い。
ただし、1^{\infty}不定形の場合は、ネイピア数の定義である公式1、もしくは公式2を使うと良い。
指数・対数関数の極限は数問解いていくうちに「解くためのコツ」がほとんど共通していることに気がつけます。
それほど難しい内容ではないので、さっと理解した上で問題をガッツリ解いてみると力になりますよ！
以上、「指数・対数関数の極限」についてでした。
チェック問題
例題
\lim_{n\to\infty} n\left\{\log(n+1)-\log n\right\}
（※見切れている場合はスクロール）
より、このまま計算すると\infty \times 0不定形になる。
ここで繁分数
の考え方を用いると、
となり\frac{1}{n} \to 0より、与式は\frac{0}{0}不定形まで変形することができた。
ここまで来れば公式3を使うことで
と導くことができる。
例題
\lim_{x\to0}\frac{x}{2^x-1}
ネイピア数の公式
を用いる。
参考log(ログ)って何？常用対数、自然対数とは？対数を徹底解説！！
